命題人：安道波 周亞明 何艷國 校對人：安道波
本試卷共6頁.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
注意事項：
1.答題前，考生先將自己的姓名?準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整?筆跡清楚.
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破?弄波，不準使用涂改液?修正帶?刮紙刀.
第I卷
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1.已知集合，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知復數(shù)為虛數(shù)單位，則的共軛復數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
3.設(shè)命題，則為（ ）
A. B.
C. D.
4.向量旋轉(zhuǎn)具有反映點與點之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學數(shù)學中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
5.某產(chǎn)品的宣傳費用（萬元）與銷售額（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：
根據(jù)上表可得回歸方程，則宣傳費用為6萬元時，銷售額最接近（ ）
A.55萬元 B.60萬元 C.62萬元 D.65萬元
6.《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，若都是直角圓錐底面圓的直徑，
則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)的定義域為，值域為，且，函數(shù)的最小值為2，則（ ）
A.12 B.24 C.42 D.126
8.已知向量與的夾角為，且，向量滿，且，記向量在向量與方向上的投影數(shù)量分別為.現(xiàn)有兩個結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（ ）
A.①不成立，②成立 B.①成立，②不成立
C.①成立，②成立 D.①不成立，②不成立
二?多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9.某城市有甲?乙兩種報紙供市民訂閱，記事件為“只訂甲報紙”，事件為“至少訂一種報紙”，事件為“至多訂一種報紙”，事件為“不訂甲報紙”，事件為“一種報紙也不訂”.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.與是互斥事件
B.與是互斥事件，且是對立事件
C.與不是互斥事件
D.與是互斥事件
10.已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于，兩點，點在上的射影為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若，則
B.以為直徑的圓與準線相切
C.設(shè)，則
D.過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有2條
11.已知正方體的棱長為為的中點，為正方形所在平面內(nèi)一動點，則下列命題正確的有（ ）
A.若，則線段中點的軌跡所圍成圖形的面積為
B.若到直線與到直線的距離相等，則點的軌跡為拋物線
C.若直線與所成的角為，則點的軌跡為雙曲線
D.若直線與平面所成的角為，則點的軌跡為橢圓
12.甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實數(shù)分別為甲?乙兩方初始實力，為比賽時間；分別為甲?乙兩方時刻的實力；正實數(shù)分別為甲對乙?乙對甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當甲?乙兩方任何一方實力為0時比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時長為.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若且，則
B.若且，則
C.若，則甲比賽勝利
D.若，則甲比賽勝利
第II卷
三?填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）
13.已知隨機變量，且，則__________.
14.已知，且，則的最小值為__________.
15.定義：對于各項均為整數(shù)的數(shù)列，如果均為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”；不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在數(shù)列與不是同一數(shù)列，且滿足下面兩個條件：
（1）是的一個排列；（2）數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.給出下面三個數(shù)列：
①數(shù)列的前項和；
②數(shù)列
③數(shù)列.
具有“性質(zhì)”的為__________；具有“變換性質(zhì)”的為__________.（第一空2分，第二空3分）
16.已知為坐標原點，是雙曲線的左?右焦點，雙曲線上一點滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為__________.點是雙曲線上一定點，過點的動直線與雙曲線交于兩點，為定值，則當時實數(shù)的值為__________.（第一空2分，第二空3分）
四?解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
17.（本小題滿分10分）
已知函數(shù)的最小正周期為是函數(shù)一個零點.
（1）求；
（2）在中，角的對邊分別為，求面積的最大值.
18.（本小題滿分12分）
某大學有兩個餐廳為學生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲?乙兩位學生每天午餐和晩餐都在學校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：
假設(shè)甲?乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.
（1）分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；
（2）記為甲?乙在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
（3）假設(shè)表示事件“餐廳推出優(yōu)惠套餐”，表示事件“某學生去餐廳就餐”，，一般來說在推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：.
19.（本小題滿分12分）
在①②；③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中的橫線上，并解答.已知等差數(shù)列的前項和為，__________，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）數(shù)列的所有項按照“當為奇數(shù)時，放在前面；當為偶數(shù)時，放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
20.（本小題滿分12分）
已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線分別交于點且，點在直線上，為的中點，且直線平面.
（1）設(shè)，試用基底表示向量；
（2）證明：四面體中至少存在一個頂點從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個三角形；
（3）證明：對所有滿足條件的平面，點都落在某一條長為的線段上.
21.（本小題滿分12分）
已知圓，定點是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點.
（1）求的軌跡的方程；
（2）若過的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.
22.（本小題滿分12分）
（1）非零實數(shù)，滿足：.證明不等式：.
（2）證明不等式：.
2023年大連市高三適應(yīng)性測試參考答案與評分標準
數(shù)學
說明：
一?本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細則.
二?對解答題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答末改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三?解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù).
四?只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分.
一?單項選擇題：
1.（B） 2.（B） 3.（C）
4.（D）
解：由題意可知，把點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到點，
設(shè)，則，
所以，解得，
所以點的坐標為，故選：.
5.（B）
解：，由回歸方程過點，故，得，
即.
當時，，所以最接近的是60，故選：B.
6.（C）
解：如圖，連接.
因為為中點，且，所以四邊形為矩形，
所以，所以或其補角為異面直線與所成的角.
設(shè)圓的半徑為1，則.因為，所以.
在直角中，，得.所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.
7.（D）
解：方法一
令，有，
因為，
所以，
因為，
所以，
所以，
所以，
故選D
方法二：抽象出特殊函數(shù)，快速求得答案
，
故選D.
8.（A）
解：由，解得：，當時，，
由得：，即，
由得：，因為，假設(shè)，則可求出，
，代入中，等號不成立，故①錯誤；
設(shè)，因為，由向量共線定理可知，
點在線段上，如圖，設(shè)，則，因為，
所以，即，
故在方向的投影等于在方向的投影相等，故點滿足，又，，所以，其中，
而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：
，當且僅當
時，等號成立，所以最小值為，所以最大值為，故
的最大值為，②正確.故選：A.
二?多項選擇題：
9.（BC）
解：事件為“只訂甲報紙”，事件為“至少訂一種報紙”，包含為訂甲報紙，訂乙報紙，訂甲乙兩種報紙，事件為“至多訂一種報紙”包含訂甲報紙或訂乙報紙，事件為“不訂甲報紙”，事件為“一種報紙也不訂”.
A.與不互斥不對立事件，所以與是互斥事件，不正確；
.與是互斥事件，且是對立事件，正確；
與不互斥不對立事件，所以與不是互斥事件正確；
與既不互斥也不對立事件.所以與是互斥事件不正確；
10.（ABC）
解析：對于選項A，因為，所以，則，故A正確；
對于選項B，設(shè)為的中點，設(shè)點在1上的射影為，點在1上的射影為，
則由梯形中位線的性質(zhì)可得，故B正確；
對于選項C，因為，所以，故C正確；
對于選項D，顯然直線與拋物線只有一個公共點，設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立消去并整理，得，令，則，所以直線與拋物線也只有一個公共點，此時有三條直線符合題意，故D錯誤.故選.
11.（BC）
解：對于，所以，
則的中點到中點的距離為，
中點的軌跡為以中點為圓心，為半徑且平行于平面的圓，其面積為，故A錯誤；
對于平面即為到直線的距離，
在平面內(nèi)，點到定點的距離與到定直線的距離相等，
所以點的軌跡就是以為焦點，為準線的拋物線，故B正確；
對于，如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)，
所以，
化簡得，即，所以的軌跡為雙曲線，故C正確；
對于與平面所成的角為，所以，
則，所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故D錯誤.故選：BC.
12.（ABD）
詳解：對于A，若且，則，
即，所以，
由可得，即A正確；
對于，當時根據(jù)中的結(jié)論可知，所以乙方實力先為0，
即，化簡可得，
即兩邊同時取對數(shù)可得，
即，所以比賽持續(xù)時長為，
所以B正確；
對于，若甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時間大于乙方即可，
設(shè)甲方實力為0時所用時間為，乙方實力為0時所用時間為，
即可得
同理可得
即，解得
又因為都為正實數(shù)，所以可得，甲方獲得比賽勝利；
所以可得錯誤，D正確.
故答案為：.
三?填空題：
13. 14.
15.①；②
解：對于①，當時，，
為完全平方數(shù)
數(shù)列具有“性質(zhì)”；
對于②，數(shù)列，具有“變換性質(zhì)”，數(shù)列為，具有“性質(zhì)”，
數(shù)列具有“變換性質(zhì)”；
對于③，都只有與3的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，，不具有“變換性質(zhì)”.故答案為：①；②.
16.
解：（1）根據(jù)，可知，即為直角三角形.
設(shè)，依題意有，解得，
根據(jù)勾股定理得，解得，故雙曲線為等軸雙曲線，漸近線為.
（2）當時，雙曲線，設(shè)直線，
聯(lián)立方程組，化簡得，
因為為定值，所以
法一：
，解得
法二：，解得
四?解答題：
17.（本小題滿分10分）
解：
（1）因為，所以，
因為，且，
所以，
（2）因為，所以，
因為，所以，
由余弦定理得，
因為，
所以（當且僅當時，有最大值4），
因為，
所以面積的最大值為.
18.（本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)事件為“一天中甲員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐”，
事件為“乙員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐”，
因為100個工作日中甲員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的天數(shù)為30，
乙員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的天數(shù)為40，
所以.
（2）由題意知，甲員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的概率為0.1，
乙員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的概率為0.2，
記為甲?乙兩員工在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則的所有可能取值為，
所以，
所以的分布列為：
所以的數(shù)學期望.
（3）由題知，
即，即，
即，
即，即，
即.
19.（本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
選擇①，可知，所以.
又，所以數(shù)列的公差，
所以；
選擇②，
可知，則
所以；
選擇③，
可知，則
所以.
又因為，所以數(shù)列的通項公式為.
（2）由題意
20.（本小題滿分12分）
（1），而，
，
所以.
（2）不妨設(shè)是四面體最長的棱，則在中，，
，
即，
故至少有一個大于不妨設(shè)，
構(gòu)成三角形.
（3）設(shè)，由（1）知.
又，有，
，
設(shè)，又
因為平面，所以存在實數(shù)使得：，
，消元：在有解.
當時，，即；
當時，，
解得.
綜上，有.
所以對所有滿足條件的平面，點都落在某一條長為的線段上.
21.（本小題滿分12分）
解：（1）因為線段的垂直平分線交半徑與點，
所以，
所以，
所以，
所以的軌跡的方程.
（2）解法一
設(shè).由已知得：直線的方程為；
設(shè)，.由已知得：直線的方程為
由得，即，
所以，
.
故
同理可得，
所以，
故
設(shè)分別為點到直線的距離，
則.
又到直線在異側(cè)，則
所以，
令
所以
解法二
設(shè)，所以，設(shè)圓心為，
因為直線的斜率之積為，
所以，
設(shè)直線方程，
點到的距離為，
所以，
同理，
設(shè)四邊形面積為，
則，
令，則，
所以，
所以，
設(shè)四邊形面積為，因為，
所以.
22.（本小題滿分12分）
證明：（1）顯然：且且
原不等式
令且
則
當時，在遞增，
時，在遞減，
在遞減，在遞減，
在時，，在時，
（2）因為
原不等式等價為：
即證：
在（1）中，令
在（1）中，令
宣傳費用（萬元）
2
3
4
5
銷售額（萬元）
24
30
42
50
選擇餐廳情況（午餐，晩餐）
甲
30天
20天
40天
10天
乙
20天
25天
15天
40天
1
2
0.1
0.9

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