遼寧省大連市2023屆高三下學期適應性測試（二）數學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、選擇題1、已知集合M, N, 滿足,則(   )A. B. C. D.2、已知復數,i為虛數單位, 則z的共軛復數為(   )A. B. C. D.3、設命題,則為(   )A., B.,C., D.,4、向量旋轉具有反映點與點之間特殊對應關系的特征, 在電子信息傳導方面有重 要應用.平面向量旋轉公式在中學數學中用于求旋轉相關點的軌跡方程具有明顯 優(yōu)勢, 已知對任意平面向量, 把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到 向量, 叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉角 得到點P. 已知平面內點, 點, 把點B繞點A沿順時針方向 旋轉 后得到點P, 則點P的坐標為(   )A. B. C. D.5、某產品的宣傳費用 x(萬元) 與銷售額y(萬元) 的統計數據如表所示:宣傳費用x (萬元)2345銷售額y(萬元)24304250根據上表可得回歸方程, 則宣傳費用為6萬元時, 銷售額最接近(   )A.55萬元 B.60月元 C.62萬元 D.65萬元6、《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作, 其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓雉為直角圓錐.如圖,若AB, CD都是直角圓錐SO底面圓的直徑, 則異面直線SA與 BD所成角的余弦值為(   )A. B. C. D.7、已知函數 的定義域為R, 值域為 , 且 , ,函數 的最小值為 2 , 則 (   )A.12 B.24 C.42 D.1268、已知向量a與 b 的夾角為, 且, 向量c滿 , 且 , 記向量c在向量a與b方向上的投影數量分別為 x, y. 現有兩個結論:①若,則 ;② 的最大值為. 則正確的判斷是(   )A.①不成立, ②戊立 B.①成立, ②不成立C.①成立, ②戊立  D.①不成立, ②不成立二、多項選擇題9、某城市有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件A 為“只訂甲報紙”，事件B 為“至少訂一種報紙”，事件C 為“至多訂一種報紙”，事件D 為“不訂甲報紙”，事件E 為“一種報紙也不訂”.則下列結論正確的是A.A 與C 是互斥事件 B.B 與E 是互斥事件，且是對立事件C.B 與C 不是互斥事件 D.C 與E 是互斥事件10、已知拋物線的焦點為F, 準線為l, 過點F的直線與拋物線交于 , 兩點, 點P在l上的射影為, 則下列結論正確的是(   )A.若, 則 B.以PQ為直徑的圓與準線l相切C.設, 則D.過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條11、已知正方體 的棱長為 2, M 為 的中點,N為正方形ABCD所在平面內一動點, 則下列命題正確的有(   )A.若, 則線段MN中點P的軌跡所圍成圖形的面積為B.若N到直線與到直線DC的距離相等, 則點N的軌跡為拋物線C.若直線與 AB所成的角為, 則點N的軌跡為雙曲線D.若直線MN與平面ABCD所成的角為, 則點N的軌跡為橢圓12、甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實數，分別為甲、乙兩方初始實力，t為比賽時間;,分別為甲、乙兩方t時刻的實力;正實數 a, b分別為甲 對乙、乙對甲的比賽效果系數. 規(guī)定當甲、乙兩方任何一方實力為 0 時比賽結束, 另 一方獲得比賽勝利, 并記比賽持續(xù)時長為T. 則下列結論正確的是(   )A.若且, 則B.若且, 則C.若,則甲比賽勝利D.若,則甲比賽勝利三、填空題13、已知隨機變量, 且, 則_________.14、已知, 且, 則的最小值為__________.15、定義：對于各項均為整數的數列,如果 均為完全平方數, 則 稱數列具有 “P 性質”;不論數列是否具有 “P性質”,如果存在數列 與不是同一數列, 且滿足下面兩個條件:(1),,,,是,,,,的一個排列;（2）數列具有 “P性質”, 則稱數列具有 “變換P性質”.給出下面三個數列:①數列的前n項和;②數列 ;③數列 ：1，2，3，4，5，6.具有“P性質” 的為___________; 具有 “變換P性質” 的為__________.16、已知O為坐標原點,,是雙曲線的左、右焦點,雙曲線C上一點P滿足,且,則雙曲線C的漸近線方程為_________.點A是雙曲線C上一定點, 過點的動直線l與雙曲線C交于M, N兩點,為定值, 則當 時實數的值為__________.四、解答題17、已知函數的最小正周期為,是函數 一個零點.(1)求,;(2)在 中,角A, B,C的對邊分別為a,b,c,,求面積的最大值.18、某大學有A，B 兩個餐廳為學生提供午餐與晚餐服務，甲、乙兩位學生每天午餐和晚餐都在學校就餐,近100天選擇餐廳就餐情況統計如下：選擇餐廳情況 (午餐,晩餐)甲30 天20 天40 天10 天乙20 天25 天15 天40 天假設甲、乙選擇餐廳相互獨立, 用頻率估計概率.(1)分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率, 乙午餐和晩餐都選擇B 餐廳就餐的概率;(2)記x為甲、乙在一天中就餐餐廳的個數, 求x的分布列和數學期望;(3)假設M表示事件 “A 餐廳推出優(yōu)惠套餐”, N表示事件“某學生去A 餐廳就餐”, , 一般來說在推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu) 惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大, 證明: .19、在①; ②;③，這三個條件中任 選一個,補充在下列問題中的橫線上,并解答.已知等差數列的前n項和為,________ ,數列是公比為2的等比數列,且.(1) 求數列和的通項公式;(2) 數列,的所有項按照 “當n為奇數時,放在前面; 當n為偶數時,放在前面”的要求進行“交叉排列” ,得到一個新數列 ，,，，，，,，求數列的前項和.20、已知四棱錐的底面是平行四邊形,平面與直線AD, TA, TC分別交于點P, Q,R且 , 點M在直線TB上,N為CD的中點, 且直線平面 .(1)設,,試用基底表示向量;(2)證明:四面體 中至少存在一個頂點從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個三角形;(3)證明:對所有滿足條件的平面, 點M都落在某一條長為的線段上.21、已知圓, 定點,M是圓上的一動點,線段的垂直平分線交半徑 于點P.(1)求P的軌跡Q的方程;(2)若過,的直線 ,分別交軌跡Q與A,C和 B,D,且直線,的斜率之積為, 求四邊形ABCD 面積的取值范圍.22、回答下列問題.(1)非零實數x, 滿足:. 證明不等式:.(2)證明不等式:.
參考答案1、答案：B解析：2、答案：B解析：3、答案：C解析：4、答案：D解析：由題意可知, 把點B繞點A逆時針方向旋轉, 得到點P, 設, 則 , 所以 , 解得, 所以點P的坐標為, 故選:D.5、答案：B解析：, 由回歸方程過點, 故, 得, 即 .當 時, , 所以最接近的是60 , 故選: B.6、答案：C解析：如圖, 連接 AD, BC, AC, SC.因為O為AB, CD中點, 且, 所以四邊ADBC為矩形, 所以, 所以 或其補角為異面直線SA與BD所成的角.設圓O的半徑為1 , 則. 因為, 所以.在直角 中, , 得. 所以,所以異面直線SA與BD所成角的余弦值為.故選：C.7、答案：D解析：令,有,因為,所以,因為,所以,所以,所以,故選 D8、答案：A解析：由 , 解得: , 當 時, , 由 得: , 即, 由 得: , 因為, 假設, 則可求出 , , 代入 中, 等號不成立, 故①錯誤;設 , ，因為 , 由向量共線定理可 知, 點C在線段 AB上, 如圖, 設, 則 , 因為 , 所 以 , 即 , 故a在c方向 的投影等于b在 c方向的投影相等, 故點 滿足 , 又 , , 所以,其中,而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：當且僅當時，等號成立，所以最小值為，所以 最大值為, 故 ，的最大值為,②正確. 故選: A.9、答案：BC解析：事件A 為“只訂甲報紙”，事件B 為“至少訂一種報紙”，包含為訂甲報紙，訂乙報紙，訂甲乙兩種報紙，事件C 為“至多訂一種報紙”包含訂甲報紙或訂乙報紙，事件D 為“不訂甲報紙”，事件E 為“一種報紙也不訂”.A.A 與C 不互斥不對立事件，所以A 與C 是互斥事件，不正確；B.B 與E 是互斥事件，且是對立事件，正確；C.B 與C 不互斥不對立事件，所以B 與C 不是互斥事件正確；D.C 與E 既不互斥也不對立事件.所以C 與E 是互斥事件不正確；10、答案：ABC解析：對于選項 A, 因為, 所以, 則, 故 A 正確; 對于選項B, 設N為 PQ 的中點, 設點N在l上的射影為, 點Q在l上的射影為,則由梯形中位線的性質可得,故 B正確;對于選項C, 因為, 所以, 故 C 正確; 對于選項D, 顯然直線,與拋物線只有一個公共點, 設過M的直線方程為 , 聯立 消去y并整理,得,令 ,則 ,所以直線與拋物線也只有一個公共點,此時有三條直線符合題意, 故 D 錯誤. 故選 ABC.11、答案：BC解析：對于A,,所以, 則MN的中點到 MD中點的距離為, MN中點P的軌跡為以MD中點為圓心,為半徑且平行于平面 ABCD 的圓, 其面積為, 故 A 錯誤; 對于B, 平面 ABCD, NB 即為N到直線 的距離, 在平面 ABCD內, 點N到定點B的距離與到定直線DC的距離相等, 所以點N的軌跡就是以B為焦點,DC為準線的拋物線, 故 B 正確; 對于 , 如圖, 建立空間直角坐標系, 設, ,,所以,,,化簡得, 即, 所以N的軌跡為雙曲線, 故 C 正確; 對于 D, MN與平面 ABCD所成的角為, 所以, 則, 所以點N的軌跡為以D為圓心, 為半徑的圓, 故 D錯誤. 故選: BC.12、答案：ABD解析：對于A, 若 且, 則,即, 所以,由可得 , 即 A 正確;對于, 當 時根據A中的結論可知, 所以乙方實力先為 0 ,即化簡可得,即, 兩邊同時取對數可得,即, 所以比賽持續(xù)時長為 ,所以B正確;對于C, 若甲方獲得比賽勝利, 則甲方可比賽時間大于乙方即可, 設甲方實力為 0 時所用時間為, 乙方實力為 0 時所用時間為,即, 可得同理可得即, 解得 又因為,,a,b都為正實數, 所以可得, 甲方獲得比賽勝利; 所以可得 C 錯誤, D 正確.故答案為: ABD.13、答案：解析：14、答案：解析：15、答案： ①;②解析：對于①, 當 時, ,， 為完全平方數數列具有 “P性質” ;對于②, 數列1,2,3,4,5, 具有 “變換P性質” , 數列為 3,2,1,5,4, 具有 “P性質”, 數列具有 “變換P性質” ;對于③, 6,1都只有與3 的和才能構成完全平方數, 1,2,3,4,5,6, 不 具有 “變換P性質”. 故答案為:①;②.16、答案：，解析：(1)根據, 可知, 即為直角三角 形. 設, 依題意有, 解得,根據勾股定理得, 解得, 故雙曲線為等軸雙曲線, 漸近線為 .(2)當時, 雙曲線, 設直線, ，聯立方程組, 化簡得,，，，因為 為定值, 所以解得17、答案： (1)(2)解析：(1) 因為, 所以,因為, 且,所以,(2) 因為, 所以,因為, 所以,由余弦定理得,因為,所以 (當且僅當 時, bc有最大值4),因為,所以 面積的最大值為 18、答案：(1)0.4(2)1.9(3)解析：（1）設事件C為“一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A 餐廳就餐”，事件D 為“乙員工午餐和晚餐都選擇B 餐廳就餐”，因為100 個工作日中甲員工午餐和晚餐都選擇A 餐廳就餐的天數為30，乙員工午餐和晚餐都選擇B 餐廳就餐的天數為40，所以，（2）由題意知，甲員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，乙員工午餐和晚餐都選擇A 餐廳就餐的概率為0.2，記X 為甲、乙兩員工在一天中就餐餐廳的個數，則X 的所有可能取值為1、2，所以，所以X 的分布列為：X12P0.10.9所以X 的數學期望(3)由題知,即, 即 即,即, 即,即.19、答案： (1)(2)解析: (1)設等差數列的公差為d,選擇①, 可知 , 所以.又, 所以數列的公差,所以;選擇②，, 可知，, 則 所以;選擇③，, 可知, 則 所以.又因為, 所以數列 的通項公式為.(2)由題意20、答案： (1)(2) AT，AC,AB構成三角形(3)對所有滿足條件的平面, 點M 都落在某一條長為 的線段上解析：(1), 而, ,所以.(2)不妨設AB是四面體最長的棱, 則在，中, , ,, 即,故，至少有一個大于AB, 不妨設,AT，AC,AB構成三角形.(3)設, ,由（1）知 .又, 有,,,,因為 平面PQR, 所以存在實數 y,z使得:,, 消元: 在 有解. 當 時, , 即;當 時, , 解得. 綜上, 有.所以對所有滿足條件的平面, 點M 都落在某一條長為的線段上.21、答案： (1) (2)解析：(1)因為線段 的垂直平分線交半徑 與點P, 所以,所以,所以，，,所以 P的軌跡Q 的方程.(2)設, 所以, 設圓心為 , 因為直線 ,的斜率之積為 ,所以 ,設直線方程 ,點 到 的距離為 ,所以,同理 ,設四邊形 面積為 ,則,令 , 則 ,所以 , 所以 ,設四邊形 ABCD 面積為S, 因為 ,所以.22、答案： (1)見解析(2)解析：證明: (1)顯然: 且 且原不等式令且則當時,，在 遞增, ， 時, ，在 遞減, 在 遞減, 在 遞減, 在 時, , 在 時, (2)因為原不等式等價為:即證: 在(1)中,令，在(1)中,令，
 

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