一、教材分析
浙教版數(shù)學(xué)七年級下冊《4.1因式分解的意義》是學(xué)生在掌握了整式的乘法運算和多項式相等的基礎(chǔ)知識后，進一步學(xué)習(xí)的知識點．這一節(jié)內(nèi)容主要介紹了因式分解的定義、方法和應(yīng)用．教材通過具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生掌握因式分解的基本技巧，并能夠靈活運用到實際問題中．本節(jié)課的內(nèi)容是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)二次方程及不等式等知識的基礎(chǔ)，具有重要的意義．

二、學(xué)情分析
學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)掌握了整式的乘法運算和多項式相等的基礎(chǔ)知識．他們能夠進行簡單的整式乘法運算，但對于因式分解的概念和方法可能還比較陌生．因此，在教學(xué)過程中，教師需要通過具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法．

三、教學(xué)目標(biāo)
1.了解因式分解的概念和意義；
2.認識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系--相反變形，并會運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式
分解的方法；
3.在探索過程中，體會轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并養(yǎng)成善于思考的良好習(xí)慣.

四、教學(xué)重難點
重點：了解因式分解的概念和意義．
難點：認識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系，會運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法．

五、教學(xué)過程
情境導(dǎo)入
在小學(xué)時我們學(xué)過怎樣把一個整數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個整數(shù)的積，在代數(shù)中，我們也嘗嘗需要把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積．
復(fù)習(xí)回顧
1.你能說一說多項式與多項式相乘的法則嗎？
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加
2.你能說出整式乘法中的平方差公式嗎？
(a+b)(a?b)=a2-b2
師生活動：學(xué)生代表回答，如出現(xiàn)錯誤或者不完整，請其他學(xué)生修正或者補充，教師點評．
設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)多項式與多項式相乘的法則及平方差公式，為引出因式分解的概念和意義做好學(xué)新知識的準(zhǔn)備．
探究新知
活動一：探究因式分解的概念
前面我們學(xué)過整式的乘法，例如兩個整式x和x?y相乘的積是xx?y，即xx?y=x2?xy.根據(jù)等式的性質(zhì),可得x2?xy= xx?y．像這樣把多項式x2?xy 轉(zhuǎn)化為兩個整式x與x?y的積的形式，是一種重要的代數(shù)式變形．觀察下列兩種代數(shù)式變形的例子，它們之間有什么關(guān)系?
一般地,把一個多項式化成幾個整式的積的形式,叫作因式分解,有時我們也把這一過程叫分解因式.
活動二：根據(jù)要求編一道因式分解的例子
先寫出兩個整式相乘(其中至少一個是多項式)的例子，你能由此得到相應(yīng)的多項式的因式分解嗎?把結(jié)果與你的同伴交流.
解：2a2?a=a(2a?1) （不唯一）
總結(jié)：因式分解和整式的乘法是過程相反的變形，因此，可以用整式的乘法運算來幫助我們尋找因式分解的方法，檢驗因式分解的正確性．
師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生進一步體會因式分解的概念，提高學(xué)生探究創(chuàng)新的能力．
應(yīng)用新知
例1．下列代數(shù)式變形中，哪些是因式分解？并說明理由.
(1) 2m(m?n)=2m2?2mn； (2)12ab2-ab= 12 ab (b -2)
(3) 4x2?4x+1=(2x?1) 2 (4) x2-3x+1=x( x-3) +1
解： (1) 2m(m?n)=2m2?2mn是整式乘法，不是因式分解；
(2)12ab2-ab= 12 ab ( b -2)是因式分解;
(3) 4x2?4x+1=(2x?1)2是因式分解;
(4) x2-3x+1=x ( x-3)+1結(jié)果是和的形式，不是因式分解.
例2．檢驗下列因式分解是否正確.
(1) x2y?xy2 = xy(x?y) ； (2) 2x2?1=(2x+1)(2x?1) ；
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2) .
分析：檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊幾個整式相乘的積與左邊的多項式是否相等.
解： (1)因為xy(x?y)= x y·x?xy·y=x2y?xy2 ，所以該因式分解正確.
(2)因為(2x+1)(2x?1)=4x2?1 ≠ 2x2?1 ，所以該因式分解不正確.
(3)因為x+1x+2=x2+2x+x+2=x2+3x+2，所以該因式分解正確.
例3．用簡便方法計算下列各題.
(1) 872 +87×13； (2) 1012 ?992
解： (1) 872 +87×13
= 87×(87+13)
=87×100
=8700
(2) 1012 ?992
=(101+99)×(101-99)
=200×2
=400
師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示，規(guī)范書寫格式．
設(shè)計意圖：通過典型例題鞏固新知，讓學(xué)生學(xué)會解題格式并思考過程，同時讓學(xué)生領(lǐng)會因式分解的方法．
課堂練習(xí)
1．檢驗下列因式分解是否正確.
(1)m2+nm=m ( m+n ) ； (2)a2?b2 =(a+b)(a?b) ；
(3) x2 ?x?2=(x+2) (x ? 1)；
解： (1)因為m2+nm=m ( m+n ) ，所以該因式分解正確.
(2)因為a2?b2=(a+b)(a?b) ，所以該因式分解正確.
(3)因為x2 ?x?2=(x? 2) (x + 1) ，所以該因式分解不正確.
2．下列等式中，哪些從左到右的變形是因式分解？
(1) x+2y=(x+y)+y； (2)p(q+?)= pq+p?
(3) 4a2?4a+1= 4a(a?1)+1 (4) 5x2y ?10xy2=5x y (x? 2y )
解：(1)不是積的形式，不是因式分解;
(2)是整式的乘法，不是因式分解;
(3)不是積的形式，不是因式分解;
(4)是因式分解.
3．把相等的代數(shù)式用線連起來.
2a2?2a a2+6a+9 4?a2 3 a2+12a
(2?a)(2+a) 2a(a?1) (a+3)2 3 a (a+4)
師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，完善過程，學(xué)生代表板演做題的過程，然后給大家講解，教師再總結(jié)提升．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生用所學(xué)知識解決問題，加深學(xué)生對法則的應(yīng)用和理解，進一步掌握解題技巧，激發(fā)學(xué)生興趣．
課堂檢測
1．下列因式分解正確的有（ ）個.
(1) a3+a 2+ a = a(a 2+ a ) ；(2) -2 a 2 + 4 a =-2 a (a +2)；
(3) x2+ xy=x (x + y)； (4) x2+ x-6=(x -2) (x +3).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： (1)因為 a3+a 2+a =a (a 2+a +1) ，所以原式錯誤.
(2)因為-2a2 + 4a =-2a(a-2 ) ，所以原式錯誤.
(3)因為x2+ xy=x (x + y) ，所以原式正確.
(4) 因為x2+ x-6=(x -2) (x +3)所以原式正確.
故選B
2．下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是( )
A. a(m+n)=am+an B. a2?b2?c2=(a?b)(a+b)?c2
C. 10x2?5x=5x(2x?1) D. x2?16+6x=(x+4)(x?4)+6x
解：A.該變形為去括號，故A 不是因式分解；
B.該等式右邊沒有化為幾個整式的乘積形式，故B 不是因式分解；
C.符合因式分解定義，故C 是因式分解；
D.該等式右邊沒有化為幾個整式的乘積形式，故D 不是因式分解．
故選C ．
3．下列多項式中，不能進行因式分解的是( )
A.?a2+b2 B. ?a2?b2
C. a3?3a2+2a D. a2?2ab+b2?1
解析：根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，進而判斷得出即可.
A.?a2+b2=(b+a) (b?a) ，故此選項錯誤;
B. ?a2?b2 ，無法分解因式，故此選項正確;
C. a3?3a2+2a=a(a?2) (a?1),故此選項錯誤;
D. a2?2ab+b2?1=(a?b+1)?(a?b?1)，故此選項錯誤; 故選: B
4.下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是( )
A. 8x2 y3=2x2?4 y3 B. ( x+1)( x?1)=x2?1
C. 3x?3y?1=3( x?y)?1 D. x2?8x+16=( x?4)2
解：A.是單項式的變形，不是因式分解；B.是多項式乘以多項式的形式，不是因式分解； C.左側(cè)是多項式加減，右側(cè)也是多項式加減，不是因式分解；D.符合因式分解的定義，結(jié)果是整式的積， 正確；故選D .
總結(jié)：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，因式分解的結(jié)果是“整式的積”的形式，是解題的關(guān)鍵．
5．下列從左到右的變形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？
(1)(x+5)(x?5)=x2?25；
(2)x2?9=(x+3)(x?3)；
(3)x2+x+1=x(x+1)+1；
(4)m2n+mn2+m=m(mn+n2+1)．
解：(1)(x+5)(x?5)=x2?25，從左到右是整式乘法運算，不是因式分解；
(2)x2?9=(x+3)(x?3)，從左到右是因式分解；
(3)x2+x+1=x(x+1)+1，從左到右變形，不符合因式分解的定義；
(4)m2n+mn2+m=m(mn+n2+1)，從左到右是因式分解．
6．用簡便方法計算下列各題，并說明你的算法.
(1) 242 +24； (2) 7.52 ?0.52
分析： (1) 242 +24可以寫成 24×(24+1) ，再計算即可.
解：242 +24×1
=24×(24+1)
=24×25
=600
分析：(2)7.52 ?0.52可以寫成(7.5+0.5)×(7.5?0.5) ，再計算即可.
解：7.52 ?0.52
= (7.5+0.5)×(7.5?0.5) =8×7=56
師生活動：學(xué)生先獨立思考再作答．
設(shè)計意圖：學(xué)生通過做題，明白運因式分解的定義，正確解答，提高學(xué)生解決問題的能力．
歸納總結(jié)
師生活動：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．
1．本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2．因式分解與整式乘法有著怎樣的關(guān)系？
設(shè)計意圖：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主歸納，使學(xué)生對所學(xué)知識及時納入學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)．

六、板書設(shè)計
第四章 因式分解
4．1因式分解的意義
因式分解的概念：
分解因式與整式乘法是互逆 過程

七、教學(xué)反思
本節(jié)課是第四章《因式分解》的第一節(jié)，是七年級數(shù)學(xué)下冊一個重要的內(nèi)容，也是初中階段必考易錯的知識點，同時也是教學(xué)難點，學(xué)習(xí)時節(jié)奏應(yīng)該放慢一些，講課的時候是一節(jié)課講一種方法，先分析符合條件的形式再練習(xí)，主要是以練習(xí)為主．教學(xué)的過程是非常順利的，我以為學(xué)生的掌握程度還好，就出了一些綜合性的練習(xí)題，此時才發(fā)現(xiàn)效果是不太好的，他們只是看到很表層的東西，而對于較為復(fù)雜的式子，卻無從下手．
1.思想上不重視，覺得太簡單，只是將它作為一個簡單的內(nèi)容來看，課后沒有以足夠的練習(xí)來鞏固，忽略了學(xué)生的接受能力，也沒有注意到靈活運用方面的鞏固及題型的多樣化．
2.在學(xué)習(xí)過程中太過于強調(diào)形式，按照教師的思路，直接教給學(xué)生解決問題的方法，忽略了學(xué)生對方法的理解．
3.為了達到理想的教學(xué)效果，本節(jié)課精心采用了合作探究學(xué)習(xí)的方式，在小組合作中，學(xué)生們相互交流、啟發(fā)，教師則在一旁巧妙引導(dǎo)，助力學(xué)生進一步深入理解算理．通過這樣的學(xué)習(xí)模式，學(xué)生應(yīng)用知識的能力得到了顯著提升．同時，針對應(yīng)用過程中極易出現(xiàn)的易錯點，教師進行了細致入微的辨析，讓學(xué)生清晰認識到錯誤根源，并且嚴格規(guī)范學(xué)生的書寫格式，使學(xué)生養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ)．
整式乘法
多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積
a(a+1)=a2+a
a2+a=a(a+1)
(a+b)(a?b)=a2?b2
a2?b2=(a+b)(a?b)
(a+1)2=a2+2a+1
a2+2a+1=(a+1)2

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初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）七年級下冊（2024）電子課本 新教材

4.1 因式分解的意義

版本： 浙教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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