一、單選題（本大題共8小題）
1．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．52B．58C．56D．50
2．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的極小值為B．的極大值為
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．，B．C．D．
4．若函數(shù)f(x)＝(a＞0)在[1，+∞)上的最大值為，則a的值為（ ）
A．＋1B．C．D．?1
5．運(yùn)動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個場地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．72B．96C．114D．124
6．函數(shù)圖像是
A．B．
C．D．
7．關(guān)于函數(shù)，下列判斷錯誤的是（ ）
A．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為
B．是函數(shù)的一個極值點(diǎn)
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，不等式的解集為
8．已知函數(shù)，若存在 ，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知在處取得極大值3，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．一個袋子里裝有3個紅球，7個黃球，每次隨機(jī)的摸出一個球，摸出的球不再放回則下列說法正確的是（ ）
A．第二次摸出紅球的概率為
B．第一次摸出黃球的條件下，第二次摸出紅球的概率為
C．第一次摸出黃球且第二次摸出紅球的概率為
D．已知第二次摸出紅球，則第一次摸出黃球的概率為
11．若，則（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是 ．
13．已知的展開式中第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于72，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
14．已知，若關(guān)于x的方程有3個不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．（1）計算：；
（2）若，求的值;
（3）化簡求值：.
16．已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128.
(1)求展開式中項(xiàng)的系數(shù)；
(2)求展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng).
17．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．已知函數(shù)，其中．
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；
(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．
19．已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值；
(3)若方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案
1．【答案】A
【詳解】偶數(shù)可分為兩類：
①末位為0：共種
②末位為2或4：首位有4種選擇，共有種
則共有52種.
故選A.
2．【答案】B
【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號變化得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>令，得或；令，得；
所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在處有極大值，極大值為；
在處有極小值，極小值為.
故選B.
3．【答案】C
【詳解】定義域?yàn)椋?br>，則，
則得；得，
則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
故選C.
4．【答案】D
【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論研究函數(shù)在上的單調(diào)性，而求出最大值，即可得到的值．
【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，
當(dāng)時，時，，單調(diào)減，
當(dāng)時，，單調(diào)增，
當(dāng)時，取得最大值，
解得，不合題意；
當(dāng)時，在遞減，最大，且為，不成立；
當(dāng)時，在遞減，最大，
即，解得，
故選．
【方法總結(jié)】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1 通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2 利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3 根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
5．【答案】C
【詳解】將5名志愿者分為1，2，2，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，
則不同的安排方法有種.
將5名志愿者分為1，1，3，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，
則不同的安排方法有種.
故不同的安排方法共有種.
故答案為C.
6．【答案】C
【詳解】由函數(shù)，知，是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A，D；
當(dāng)時，，
則，
令，解得，
當(dāng)時，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時，則單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，
結(jié)合選項(xiàng)可知，C為正確選項(xiàng)，
故選C.
7．【答案】B
【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，求出函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程，即判斷A；根據(jù)時，恒成立，得到函數(shù)單調(diào)，無極值點(diǎn)，可判斷B；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出時，的最小值，即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判斷時函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>所以，因此函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即，故A正確；
當(dāng)時，在上恒成立，即函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；故B錯；
當(dāng)時，，由得；由得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
因此，即；故C正確；
當(dāng)時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；由可得，解得：，故D正確；
故選B.
8．【答案】B
【解析】由可得：存在，使得，轉(zhuǎn)化成：存在，使得，求出，問題得解．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以存在 ，使得，可轉(zhuǎn)成：
存在 ，使得，
即：存在 ，使得，
即：，又
所以
故選B.
9．【答案】AD
【詳解】由題意可得，
且是函數(shù)的極大值點(diǎn)，即，可得，
又極大值為3，所以，解得或；
當(dāng)時，，此時，
時，，時，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
此時函數(shù)在處取得極小值，與題意不符，即舍去；
當(dāng)時，，此時，
時，，時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
此時函數(shù)在處取得極大值，符合題意，
所以，，即，所以A正確，B錯誤；
此時，所以，，即C錯誤，D正確.
故選AD.
10．【答案】ABD
【詳解】對于A、第二次摸出紅球分兩種情況：
第一次摸出黃球，第二次摸出紅球，其概率為
第一次摸出紅球，第二次摸出紅球，其概率為，
可得第二次摸出紅球的概率為：，所以選項(xiàng)A正確；
對于B、設(shè)“第一次摸出黃球”為事件A，“第二次摸出紅球”為事件，
由選項(xiàng)A的分析可知，，
根據(jù)條件概率公式，所以選項(xiàng)B正確；
對于C、由選項(xiàng)A可知，第一次摸出黃球且第二次摸出紅球的概率為，
所以選項(xiàng)C錯誤；
對于D、設(shè)第一摸出黃球求事件，第二次摸出紅球?yàn)槭录?br>由前面的計算可得，
由條件概率公式，所以選項(xiàng)D正確.
故選ABD.
11．【答案】AC
【詳解】A.令得，，故，選項(xiàng)A正確;
B.令得，，故，選項(xiàng)B錯誤;
C.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，
∴，
當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，
令得，，選項(xiàng)C正確;
D. 令得，，
∵，∴，選項(xiàng)D錯誤.
故選AC.
12．【答案】
【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且?br>令，得，可知的單調(diào)增區(qū)間為，
若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，依題意，解得，
所以的取值范圍是.
13．【答案】/
【詳解】由題意，即，
即，解得（舍去），
根據(jù)展開式的通項(xiàng)，
令，則，
故常數(shù)項(xiàng)為.
14．【答案】
【詳解】當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，當(dāng)時，恒為正，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
畫出的圖象如下：
要想關(guān)于x的方程有3個不同實(shí)根，則要函數(shù)與有3個不同的交點(diǎn)即可，
顯然當(dāng)時，符合要求.
15．【答案】（1）；（2）；（3）.
【詳解】（1）
（2）依題意，，則，
整理得：，而，所以.
（3）由題意知，需滿足且
即滿足不等式組，即，解得
所以原式.
16．【答案】(1);
(2).
【詳解】（1）次二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，
由題意，得，即，
由二項(xiàng)式通項(xiàng)公式，得，
即，令，得
展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.
（2）設(shè)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，
則有，
化簡得，即為，
解得，
，則，
展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為.
【規(guī)律方法】求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的思路：
第一步，首先要弄清所求問題是求展開式中“二項(xiàng)式系數(shù)的最大值”“項(xiàng)的系數(shù)的最大值”以及“最大項(xiàng)”三者中的哪一個；
第二步，若是求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解．若是求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，設(shè)展開式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值只需解不等式組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得結(jié)果．求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值或系數(shù)的最大值只需要寫系數(shù)，求最大項(xiàng)需要把完整的那一項(xiàng)寫出來．
17．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)的定義域是，，
令，得，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，
令，得，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，
綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）由任意，知恒成立.
因，故，在上恒成立.
設(shè)，則，
令，得，（舍去），
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，且，
所以若在上恒成立，則，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18．【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【詳解】（1）由可得，，且，
因是函數(shù)的極值點(diǎn)，故，解得.
當(dāng)時，，
由可得，由可得或，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是的極小值點(diǎn).
故；
（2）由（1），，因，
由，解得或.
① 若，則，
當(dāng)時，，當(dāng)或時，.
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
② 若，即，
當(dāng)時，，當(dāng)或時，.
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③ 若，則，
則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.
綜上所述，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【易錯警示】討論分段函數(shù)的單調(diào)性時，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意分段點(diǎn)處的函數(shù)值．
19．【答案】(1)；
(2)最大值為，最小值；
(3).
【詳解】（1），則，
因函數(shù)在處取得極值，
則，得，
此時，，
得或，得，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，故.
（2）由（1）可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，
則在區(qū)間上的最大值為和最小值.
（3）令，則，
則與單調(diào)性相同，
因方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，
則，得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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