一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數(shù)1(1?i)2的虛部為( )
A. ?12B. 12C. ?12iD. 12i
2.已知集合A={(x,y)|y=ex，x∈R}，B={(x,y)|y=x+a，x∈R}，A∩B有且只有2個子集，則實數(shù)a=( )
A. ?eB. ?1C. 1D. e
3.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx?π6)(00,b>0),則1a+1b的最小值為（）
A. 14B. 12C. 1D. 2
6.已知a=14，b=ln22，c=ln33，則a，b，c的大小關系為( )
A. a0)的右焦點，P(1,32)是C上一點，且直線PF與圓O:x2+y2=1相切于點F．
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若C上兩點A，B滿足PA⊥PB．
(ⅰ)當直線AB斜率不存在時，求直線AB的方程;
(ⅱ)求直線AB被圓O所截得弦長的最小值．
19.(本小題17分)
若存在無窮多組正整數(shù)組(an,bn,cn)，滿足an2+bn2=mcn2，且對任意正整數(shù)i，j，不存在正數(shù)λ，使得aiaj=bibj=cicj=λ，則稱正整數(shù)m是有趣數(shù)，稱(an,bn,cn)為m的一列有趣數(shù)組(不必考慮所有的有趣數(shù)組)．
(1)判斷下列數(shù)組是否為1的一列有趣數(shù)組，不需要說明理由;
①(3n,4n,5n);
②(2n,n2?1,n2+1)(n=2,3,?).
(2)過點A(?1,?1)作斜率為n的直線交圓x2+y2=2于另一點B，由此證明：2是有趣數(shù)，并找出2的一列有趣數(shù)組(an,bn,cn);
(3)從1，2，?，6中任取兩個數(shù)，求它們都是有趣數(shù)的概率．
參考答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.C
6.A
7.B
8.C
9.ABD
10.AB
11.ACD
12.21
13.2n?1
14.2； 3
15.解：(1)延長B1E交BC于F，
∵△B1EC1∽△FEB，BE=12EC1
∴BF=12B1C1=12BC，從而F為BC的中點．
∵G為△ABC的重心，
∴A、G、F三點共線，且FGFA=FEFB1=13，
∴GE//AB1，
又GE?側面AA1B1B，AB1?側面AA1B1B，
∴GE//側面AA1B1B；
(2)連接CG并延長，交AB于點O，連接OA1，
在△OAA1中，因為OA=1，AA1=2，∠A1AO=60°，
所以A1O= 3，所以OA1⊥AB，
又因為平面AA1B1B⊥平面ABC，且交線為AB，
所以OA1⊥平面ABC，
因為△ABC為正三角形，所以OC⊥OB，
故如圖建立空間直角坐標系O?xyz，
因為平面ABC的法向量n=(0,0,1)，B1G=( 33,?2,? 3)，
設直線B1G與底面ABC所成的角為θ，
則sinθ=|cs|=|B1G?n||B1G||n|= 3 223=3 2222，
即直線B1G與底面ABC所成角的正弦值為3 2222．

16.解：(1)由題意得，x=1+2+3+4+55=3，
所以i=15(xi?x)2=(1?3)2+(2?3)2+(3?3)2+(4?3)2+(5?3)2=10，
所以r=i=15(xi?x)(yi?y) i=15(xi?x)2 i=15(yi?y)2=≈0.94，
所以應該選擇模型 ②；
(2)令ui=xi2，則需求出線性回歸方程y=mu+n，
所以u=1+4+9+16+255=11，y=0.8+1.1+1.5+2.4+4.25=2，
所以i=15(ui?u)2=(1?11)2+(4?11)2+(9?11)2+(16?11)2+(25?11)2=374，
所以m=i=15(ui?u)(yi?y)i=15(ui?u)2=52.1374≈0.139，
由2=0.139×11+n，得n=0.471≈0.47，
所以y=0.14u+0.47，
所以y與x的回歸方程為y=0．14x2+0.47．
當x=6時，y=0.14×62+0.47=5.51，
所以，預測第6天種子的胚芽長度為5.51厘米．
17.解：(1)x≥1時，f(x)=(x?1)lnx?ax≥0，所以a≤(x?1)lnxx，
令?(x)=(x?1)lnxx(x≥1)，?′(x)=(lnx+x?1x)x?(x?1)ln xx2=lnx+(x?1)x2，
令φ(x)=lnx+x?1，φ′(x)=1x+1=1+xx≥0恒成立，所以φ(x)≥φ(1)=0，
所以?′(x)≥0恒成立，即?(x)在[1,+∞)單調遞增，所以?(x)≥?(1)=0，
所以?min(x)=0，故a≤0.
(2)(i)a=0時，g(x)=f′(x)=lnx+x?1x(x>1)，所以g′(x)=1x+1x2>0在x∈(1,+∞)上恒成立，
故g(x)在(1,+∞)上單調遞增;
(ii)令k(m)=f(m+n)?f(m)?f(n)，
所以k′(m)=f′(m+n)?f′(m)=g(m+n)?g(m)，
因為m，n∈(1,+∞)，所以m+n>m>1，
由(1)得，g(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以g(m+n)>g(m)，
所以k′(m)>0在(1,+∞)上恒成立，所以k(m)在(1,+∞)上單調遞增，
所以k(m)>k(1)=f(n+1)?f(1)?f(n)=f(n+1)?f(n)，
因為g(x)>g(1)=0，所以f(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以f(n+1)>f(n)，
所以k(m)>k(1)=f(n+1)?f(n)>0．
綜上，對任意的m，n∈(1,+∞)，有f(m+n)>f(m)+f(n)．
18.解：(1)由題意可知PF與x軸垂直，c=1．
令x=c，解得y=b2a=32，即a2?c2a=a2?1a=32，解得a=2或?12(舍去)，
故b2=a2?c2=3，橢圓C的標準方程為x24+y23=1．
(2)(i)當直線AB斜率不存在時，設A(x0,y0)，B(x0,?y0)，
則PA=(x0?1,y0?32)，PB=(x0?1,?y0?32)，
由PA?PB=0可知(x0?1)2?y02+94=0．
又x024+y023=1，解得x0=17或1(舍去)，
故直線AB的方程為x=17．
(ii)當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，
聯(lián)立橢圓C的方程x24+y23=1可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2?12=0．
設A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由韋達定理可知x1+x2=?8km4k2+3，x1x2=4m2?124k2+3．
于是PA=(x1?1,y1?32)，PB=(x2?1,y2?32)，
由PA?PB=0可知(x1?1)(x2?1)+(y1?32)(y2?32)=(x1?1)(x2?1)+(kx1+m?32)(kx2+m?32)
=(k2+1)x1x2+(km?32k?1)(x1+x2)+(m?32)2+1=(2k+2m?3)(2k+14m+3)4(4k2+3)=0．
若2k+2m?3=0，則直線AB的方程為y=kx+m=k(x?1)+32，直線AB恒過定點(1,32)，不符合題意，舍去．
若2k+14m+3=0，則直線AB的方程為y=kx+m=k(x?17)?314，直線AB過定點(17,?314).
當直線AB斜率不存在時，直線AB也過點(17,?314).
于是直線AB恒過定點M(17,?314).
當直線AB與OM垂直時，圓心O到直線AB的距離最大，為|OM|= 1314，
故直線AB被圓O所截得的弦的長度的最小值為 1837．
19.解：(1) ①不是，因為數(shù)組(3n,4n,5n)中的任何兩個都是比例關系；
②是，因為數(shù)組(2n,n2?1,n2+1)(n=2,3,?)中的任何兩個都不是比例關系．
(2)直線AB的方程為y=nx+n?1，聯(lián)立圓x2+y2=2的方程可得(n2+1)x2+(2n2?2n)x+n2?2n?1=0，
由韋達定理可得(?1)xB=n2?2n?1n2+1，即xB=?n2?2n?1n2+1．
于是yB=nxB+n?1=n2+2n?1n2+1，
又點B的坐標滿足圓x2+y2=2的方程，于是(?n2?2n?1n2+1)2+(n2+2n?1n2+1)2=2，
即(n2?2n?1)2+(n2+2n?1)2=2(n2+1)2．
取an=n2?2n?1，bn=n2+2n?1，cn=n2+1，其中n=3，4，?，
若存在正整數(shù)i和j且i，j≥3，使得aiaj=bibj=cicj=λ>0，
那么i2?2i?1j2?2j?1=i2+2i?1j2+2j?1=i2+1j2+1．
因為ab=cd，則有比例性質ab=a?cb?d．
于是i2+1j2+1=i2?2i?1j2?2j?1=i2+1?(i2?2i?1)j2+1?(j2?2j?1)=i+1j+1，i2+1j2+1=i2+2i?1j2+2j?1=i2+2i?1?(i2+1)j2+2j?1?(j2+1)=i?1j?1，
故i+1j+1=i?1j?1，則i=j，矛盾!
故對任意正整數(shù)i，j，不存在正數(shù)λ，使得aiaj=bibj=cicj=λ，
則2是有趣數(shù)，2的一列有趣數(shù)組(an,bn,cn)為(n2?2n?1,n2+2n?1,n2+1)．
(3)由(1)可知1是有趣數(shù);由(2)可知2是有趣數(shù);
當m=3時，假設方程x2+y2=3z2有正整數(shù)解，設(x0,y0,z0)是所有正整數(shù)解中使x最小的一組解．
由于x02+y02=3z02，故x02+y02是3的倍數(shù)，若x0=3k+1，y0=3l+1，k，l為非負整數(shù)，
則x02+y02=9(k2+l2)+6(k+l)+2不可能是3的倍數(shù)，矛盾!
同理可知x0=3k+1，y0=3l+2，或x0=3k+2，y0=3l+1，或x0=3k+2，y0=3l+2也不成立．
若x0為3的倍數(shù)，則y0也為3的倍數(shù)，
設x0=3x1，y0=3y1，則(3x1)2+(3y1)2=3z02，即3x12+3y12=z02，故z0為3的倍數(shù)．
設z0=3z1，則有x12+y12=3z12.所以(x1,y1,z1)也是原方程的一組正整數(shù)解，且x1

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