1. 復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，故虛部為.
故選：B
2. 已知集合，，有且只有2個(gè)子集，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. 1D. e
【答案】C
【解析】令，則，記，則，
當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，
且當(dāng)，,
因此只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，則，
由于有且只有2個(gè)子集，則只有一個(gè)元素，故，
故選：C
3. 已知函數(shù)在處取得最大值，則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】由題設(shè)，則，，
又，則.
故選：D
4. 在正方形中，，為的中點(diǎn)，為邊上靠近的四等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意，為的夾角，而，
所以，
，
，
綜上，.
故選：A

5. 若隨機(jī)變量，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由題設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為1.
故選：C
6. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
構(gòu)造函數(shù)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由于，，且，
則，即，
又，
所以.
故選：A.
7. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，在直線上任取一點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，則到直線距離的最大值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】設(shè),,可得,，
設(shè)以為切點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立與拋物線的方程可得，
故，解得，
故以為切點(diǎn)的切線方程為:,即——①
同理可得,以為切點(diǎn)的切線方程為: ——②
設(shè)過直線上任一點(diǎn)為
代入①②得
所以直線的方程為,即,
故過定點(diǎn),
當(dāng)時(shí),到的距離的最大值為:.
故選:B
8. 對(duì)于，將表示為，其中，當(dāng)時(shí)，為0或1，定義為正整數(shù)的表達(dá)式中的個(gè)數(shù)，則（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】由，則.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，所以，所以，故A對(duì)；
因?yàn)?，所以?br>由，所以，故B對(duì)；
若，滿足，顯然不成立，故C錯(cuò)；
當(dāng)，則，必有，
當(dāng)，則，故，必有，
故D對(duì).
故選：ABD
10. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 一定有兩個(gè)極值點(diǎn)
B. 若，則或
C. 過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有一條
D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】AB
【解析】由題設(shè)，
當(dāng)或時(shí)，，則在、上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
所以分別為極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，A對(duì)；
由，令，則，
所以或，故對(duì)于，則或，B對(duì)；
由且，則處的切線為，過，
由，則處的切線過，
所以過的切線至少有兩條，C錯(cuò)；
由，，
所以，故，D錯(cuò).
故選：AB
11. 如圖，矩形中，分別為中點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折，得到三棱錐，則在翻折的過程中，下列說法正確的是（ ）

A. 三棱錐體積的最大值為8
B. 存在某個(gè)位置使
C. 三棱錐外接球半徑為3
D. 直線被三棱錐外接球截得的線段長(zhǎng)的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
A：當(dāng)面面BCD時(shí)，三棱錐體積最大，由題設(shè)易知，
所以三棱錐的高為，則，對(duì)．
B：在矩形ABCD中連接CM，有，易得，則，
如下圖，翻折過程中始終有，又在平面內(nèi)，
所以平面，翻折過程中平面，即恒有，
且平面，翻折過程中恒有平面平面，
所以，在翻折的過程中，點(diǎn)M在底面BCD的投影落到平面在平面的投影直線上，
顯然，翻折過程中同一平面內(nèi)的DN與DB不平行，故不成立，錯(cuò)．
C：在翻折的過程中，和都是直角三角形，
所以兩個(gè)面的外接圓圓心都在BD的中點(diǎn)處，故三棱錐外接球半徑為3，對(duì)．
D：因?yàn)榍蛐臑锽D的中點(diǎn)O，連接OM，ON，所以，
又直線MN被三棱錐外接球截得的線段長(zhǎng)，其中h為O到MN的距離，
所以h只受與的夾角的影響，其中夾角越大，線段越長(zhǎng)，
當(dāng)剛要翻折時(shí)線段最長(zhǎng)，趨近于直徑6，當(dāng)將要與面BCD重合時(shí)，線段最短，
如圖所示，因?yàn)?，所以?br>
所以，所以，故線段長(zhǎng)為，
綜上，線段長(zhǎng)的取值范圍為，對(duì)．
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 一個(gè)大于1的自然數(shù)，只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)．在不超過20的質(zhì)數(shù)中任取三個(gè)不同數(shù)，則其和是偶數(shù)的取法有______種．
【答案】21
【解析】不超過20的質(zhì)數(shù)有：共有8個(gè)數(shù)，
要使得取出的三個(gè)數(shù)和為偶數(shù)，則必須得有2，再?gòu)氖Ｏ?個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則共有種，
故答案為：21
13. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則__________
【答案】
【解析】由題設(shè)，數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
則，所以，
當(dāng)，則，顯然滿足上式，
所以.
故答案為：
14. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則______；若，則面積的最大值為______．
【答案】①. 2 ②.
【解析】（1）法一：因?yàn)椋?br>可得，
由正弦定理可得： 所以；
法二：因?yàn)?，由正弦定理可得?br>由余弦定理得：
化簡(jiǎn)得：，即，所以.
（2）方法一：可得，
由余弦定理可得，
且，
所以
所以，即時(shí)，的最大值為3，所以面積的最大值為．
方法二：以AB邊所在直線為x軸，以邊AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，
即頂點(diǎn)C在以為圓心，以為半徑的圓（除去與x軸的交點(diǎn)）上，
所以的AB邊上的高最大值為，
所以面積的最大值為．
故答案為：2；
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)棱與底面所成的角為，且．底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其重心為在線段上，且滿足．
（1）求證：平面；
（2）求直線與底面所成角的正弦值．
證明：（1）∵側(cè)面底面，側(cè)棱與底面成60°的角，
∴，
又，取的中點(diǎn)，則底面.
以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則，，，，，，
∵為的重心，
∴，∵，∴，
∴，又，
所以，則，
又平面，平面，
∴側(cè)面.
（2）由（2）得，，
易得平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
即直線與底面所成角的正弦值為．
16. 每年3月20日是國(guó)際幸福日，節(jié)日的意義在于追求幸福，建設(shè)未來．某中學(xué)為紀(jì)念國(guó)際幸福日舉辦了幸福種植計(jì)劃，一名同學(xué)記錄了種子的發(fā)芽情況，
通過對(duì)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別提出了兩個(gè)回歸模型：①；②，
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算模型①中的關(guān)于的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01），若，則選擇模型①，否則選擇模型②，試問應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)第6天種子的胚芽長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.01）．
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．
樣本相關(guān)系數(shù)為．
參考數(shù)據(jù)：．
令．
解：（1）由題設(shè)，，所以，
所以，故應(yīng)選模型②；
（2）令，則求出線性回歸方程，
所以，，
所以，
所以，
又，則，故，
所以回歸方程為，故，有厘米，
所以，預(yù)測(cè)第6天種子的胚芽長(zhǎng)度為5.51厘米.
17. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)．
（?。┰O(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
（ⅱ）證明：對(duì)任意的，有．
解：（1）由，則，
令且，則，
令且，則，即在上單調(diào)遞增，
所以，即，故在上單調(diào)遞增，則，
綜上，.
（2）（i）時(shí)，且，則，故在上單調(diào)遞增；
（ii）令，則，
由，則，
由（i）知，，即在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，故，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，則，
所以，
綜上，對(duì)任意的，有.
18. 已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且直線與圓相切于點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若上兩點(diǎn)滿足．
（?。┊?dāng)直線斜率不存在時(shí)，求直線的方程；
（ⅱ）求直線被圓所截得弦長(zhǎng)的最小值．
解：（1）由題意，知PF與x軸垂直，，
令，解得，即，解得或（舍去），
故，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）（i）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，設(shè)，
則，，
由，知，又，解得或1（舍去），
故直線AB的方程為；
（ii）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立橢圓C的方程，得，
設(shè)，由韋達(dá)定理知，
于是，
由知，
，
若，則直線AB為，直線AB恒過定點(diǎn)，不合題意，
若，則直線AB，直線AB過定點(diǎn)，
當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB也過點(diǎn)，
于是直線AB恒過定點(diǎn)，
當(dāng)直線AB與OM垂直時(shí)，圓心O到直線AB的距離最大，為，
故直線AB被圓O所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為．

19. 若存在無窮多組正整數(shù)組，滿足，且對(duì)任意正整數(shù)，不存在正數(shù)，使得，則稱正整數(shù)是有趣數(shù)，稱為的一列有趣數(shù)組（不必考慮所有的有趣數(shù)組）．
（1）判斷下列數(shù)組是否為1的一列有趣數(shù)組，不需要說明理由；
①；②．
（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交圓于另一點(diǎn)，由此證明：2是有趣數(shù)，并找出2的一列有趣數(shù)組；
（3）從中任取兩個(gè)數(shù)，求它們都是有趣數(shù)的概率．
（1）解：①不是，因?yàn)閿?shù)組中任何兩個(gè)都是比例關(guān)系；
②是，因?yàn)閿?shù)組中的任何兩個(gè)都不是比例關(guān)系.
（2）證明：直線AB的方程為，聯(lián)立圓的方程，
整理得，
由韋達(dá)定理得，即，
于是，又點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足圓的方程，
于是，即．
取，其中，
若存在正整數(shù)i和j且i，，使，那么．
因?yàn)?，則有比例性質(zhì)，
于是，
，
故，則，矛盾！
故對(duì)任意正整數(shù)i，j，不存在正數(shù)，使得，則2是有趣數(shù)，
所以2的一列有趣數(shù)組為．
（3）解：由（1）可知1是有趣數(shù)；由（2）可知2是有趣數(shù)；
當(dāng)時(shí)，假設(shè)方程有正整數(shù)解，
設(shè)是所有正整數(shù)解中使x最小的一組解，由，故是3的倍數(shù)，
若，k，l為非負(fù)整數(shù)，則不可能是3的倍數(shù)，矛盾！
同理，或，或也不成立．
若為3的倍數(shù)，則也為3的倍數(shù)，
設(shè)，則，即，故為3的倍數(shù)．
設(shè)，則有，所以也是原方程的一組正整數(shù)解，且，矛盾．
因此方程沒有正整數(shù)解，則3不是有趣數(shù)，
當(dāng)時(shí)，由（1）知，則，
此時(shí)取，其中，…，
由比例性質(zhì)同理可知對(duì)任意正整數(shù)i，j，不存在正數(shù)，使得，則4是有趣數(shù)，
當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作斜率為的直線交圓于另一點(diǎn)D，
則直線CD的方程為，聯(lián)立圓的方程，
整理得，
由韋達(dá)定理可得，即，
于是，又點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足圓的方程，
于是，即．
取，其中，…，
由比例性質(zhì)同理知：對(duì)任意正整數(shù)i，j，不存在正數(shù)，使得，則5是有趣數(shù)．
當(dāng)時(shí)，假設(shè)方程有正整數(shù)解，
設(shè)是所有正整數(shù)解中使x最小的一組解．
由于，故是3的倍數(shù)，
由時(shí)分析可知和都是3的倍數(shù)，
設(shè)，則，即，
故：為3的倍數(shù)．
設(shè)，則有．
所以也是原方程的一組正整數(shù)解，且，矛盾．
因此方程也沒有正整數(shù)解，則6不是有趣數(shù)．
因此1，2，…，6中的有趣數(shù)為1，2，4，5，所求概率為．天數(shù)
1
2
3
4
5
胚芽長(zhǎng)度（厘米）
0.8
1.1
1.5
2.4
4.2

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