本試卷共4頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分 (選擇題，共40分)
一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。
1.在長方體中,化簡
(A)(B)(C)(D)
2.若向量,則
(A)(B)4(C)(D)5
3.已知經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為,那么
(A)-2(B)-1(C)(D)2
4.已知為平面的一個法向量,為一條直線,為直線的方向向量,則“”是“”的
(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件
5.如圖所示,直線的斜率分別為,則下列結(jié)論正確的是
(A)(B)(C)(D)
6.如圖,在四面體中,為BC的中點,為AD的中點,則可用向量表示為
(A)(B)(C)(D)
7.如圖,在直三棱柱中,且,則與所成的角為
(A)(B)(C)(D)
8.已知,過點的直線與線段AB沒有公共點,則直線斜率的取值范圍是
(A)或(B)(C)(D)或
9.如圖,在棱長為1的正方體中,為線段AB上的點,且,點在線段上,則點到直線AD距離的最小值為
(A)(D)1
10.如圖,在棱長為a的正方體中,為的中點,為上任意一點,E,F為CD上任意兩點,且EF的長為定值,則下面的四個值中不為定值的是
(A)點P到平面QEF的距離(B)直線PQ與平面PEF所成的角
(C)三棱錐P-QEF的體積(D)二面角P-EF-Q的大小
第二部分(非選擇題，共110分)
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。
11.若是直線的一個方向向量,則直線的傾斜角大小為_____________.
12.已知點三點共線,則實數(shù)的值為____________
13.正三棱柱中,,則直線與平面所成角的正弦值為__________.
14.如圖,四面體ABCD的每條棱長都等于2,M,N分別是AB,CD上的動點，則MN的最小值是____________.
此時=____________.
15.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱ABF-DCE組合而成，為上的動點,給出下列四個結(jié)論:
①G為的中點時，平面平面BCG;
②存在點G,使得平面ADG ;
③有且僅有一個點G，使得三棱錐E-ACG體積是12;
④不存在點G,使得直線CF與平面BCG所成的角為60°其中所有正確結(jié)論的序號是____________.
三、解答題共6小題,共85分。解答題應(yīng)寫出文字說明,驗算步驟或證明過程。
16.(13分)
已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點.
(I)求直線AB的斜率和傾斜角;
(II)若A,B,C,D可以構(gòu)成平行四邊形,且點在第一象限,求點的坐標(biāo).
17.(14分)
已知向量.
(I)若,求實數(shù)的值;
(II)求;
(III)若不能構(gòu)成空間向量的一個基底,求實數(shù)的值.
18.(13分)
如圖所示,平面ABCD,底面ABCD邊長為1的正方形,2,P是MC上一點,且.
(I)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求點坐標(biāo);
(II)求證:.
19.(15分)
圖1是邊長為的正方形ABCD,將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐,且.
(I)證明:平面平面ABC;
(II)棱PA上是否存在一點,使得平面ABC與平面MBC的夾角的余弦值為,若存在,指出點的位置；若不存在，請說明理由.
20.(15分)
如圖,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,為棱PD的中點.
(I)求證:PB//平面ACQ;
(II)若,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知,使四棱錐P-ABCD唯一確定,并求:
(i)直線PC與平面ACQ所成角的正弦值;
(ii)點P到平面ACQ的距離.
條件①：二面角P-CD-A的大小為;
條件②:;
條件③:.
21.(15分)
在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點，若直線以為方向向量且經(jīng)過點,則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為;若平面以為法向量且經(jīng)過點,則平面的點法式方程表示為.
(I)已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為,平面的點法式方程可表示為,求直線與平面所成角的正弦值;
(II)已知平面的點法式方程可表示為,平面外一點,求點到平面的距離;
(III)（i）若集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積；
(ii)若集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為,求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小.
答案
一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。
1.D2.A3.A4.B5.C
6.D7.C8.C9.A10.B
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。
11.12.013.14.15.①②④
注：14題第一空3分，第二空2分；15題選對1個給3分，選對兩個給4分，有錯誤不給分．
三、解答題共6小題,共85分。解答題應(yīng)寫出文字說明,驗算步驟或證明過程。
16.解:(I)直線AB的斜率=，…………………………………………………………..4分
傾斜角為…………………………………………………………………………………………..6分
(II)不妨設(shè)坐標(biāo)原點為,
當(dāng)構(gòu)成時,則,
即D(-5,0),不在第一象限，舍;…………………………………………………………………………..8分
當(dāng)構(gòu)成時,則,
即D(1,-5),不在第一象限，舍;…………………………………………………………………………分
當(dāng)構(gòu)成時,則,
即,在第一象限,………………………………………………………………………………………12分
綜上,點的坐標(biāo)為.………………………………………………………………………………13分
17.解：（I）由得………………………………………………………3分
解得x=-4.……………………………………………………………………………………………………4分
(II)因為,
,…………………………………………………………………………7分
所以,. ……………………………………………………………………………9分
（III）若不能構(gòu)成空間向量的一個基底，則向量共面，……………………………………10分
則存在,使得,.…………………………………………………………………………11分
所以,解得
所以,實數(shù)的值為-6. ………………………………………………………………………………………14分
18.解：(I)因為平面ABCD且平面ABCD,
所以,,
在正方形ABCD中,,
所以兩兩垂直,……………………………………………………………………………….2分
建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，. ………………………………………………………………3分
則,………………………………………………………………4分
,……………………………………………………………………………………………5分
設(shè)，
由,可得,
解得,即.………………………………………………………………7分
(II)因為,
所以,,即,………………………………………………………………………11分
所以,. ………………………………………………………………………………………13分
19.解:(I)取AC的中點,連接OB,OP,
在正方形ABCD中,,并且………………………………………………1分
在中,,
所以,,. ………………………………………………………………………………………2分
因為平面PAC,
所以,平面……………………………………………………………………………………4分
而平面ABC,
所以,平面平面ABC..………………………………………………………………………………6分
(II)因為OB,OA,OP兩兩垂直,
所以建立空間直角坐標(biāo)系………………………………………………………………………7分
則,………………………………………………………………8分
因為平面ABC,
所以平面ABC的法向量為……………………………………………………………………10分
假設(shè)存在滿足題意的點,且,則,
設(shè)平面MBC的法向量為,
則有
不妨設(shè),得,………………………………………………………………….12分
所以, ……………………………………………………………….14分
兩邊平方，整理得，
解得或(舍),
經(jīng)檢驗，滿足題意，因此，存在點，只需即可.……………………………15分
20.解:(I)證明:連接BD,交AC于,連接OQ,
在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,
所以,是BD的中點,
因為為棱PD的中點，
所以,, ……………………………………………………………………………………2分
因為面面ACQ,
所以,平面ACQ. ………………………………………………………………………….4分
(II)因為,所以,,
選擇①②:
因為,且平面平面
所以,是二面角的平面角,即,
因為,
所以,,故,
因為平面PAD,
所以,平面PAD,即證AB,AD,AP兩兩垂直. …………………………………………………7分
選①③:
因為,且平面平面
所以,是二面角的平面角,即,
因為平面PAD,
所以,平面PAD,
因為平面PAD,所以,,
因為平面PCD,
所以,平面PCD,
因為平面PCD,所以,,
因為為PD中點,所以,,
所以,,即,
因為平面PAD,
所以,平面PAD,即證AB,AD,AP兩兩垂直.……………………………………………7分
選②③:
因為平面PAD,
所以,平面PAD,
因為平面PAD,所以,,
因為平面PCD,
所以平面PCD,
因為平面PCD,所以,
因為為PD中點,,
所以,,即,
因為平面PAD,
所以,平面PAD,即證AB,AD,AP兩兩垂直.………………………………………7分
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，…………………………………………………8分
則,
……………………………………………9分
設(shè)為面ACQ的一個法向量,
則
令,得,……………………………………………………………………11分
(i)所以,,
所以直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為13分
(ii)點到平面ACQ的距離為分
21.解：（I）直線的方向向量為1分
平面的法向量為,………………………………………………2分
所以,,
(II)平面的法向量為,………………………………………………………5分
設(shè)點是平面上一點,則,
不妨令,則,即點是平面上一點, ……………………6分
點到平面的距離為.……………………………………………8分
(III)(i)幾何體為底面為邊長為的正方形,高為2的長方體, ……………………………10分
所以的體積為.………………………………………………………………12分
(ii)考慮幾何體關(guān)于原點中心對稱,我們只考慮第一象限內(nèi)的幾何體,
由確定,
考慮平面和這兩個面的法向量為……………………13分
,……………………………………………………………………………14分
因為該二面角為針角,所以,二面角的大小為…………………………………………………………15分

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