一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，則與的夾角為（ ）．
A．B．C．D．
3．圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
4．已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
7．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知圓臺(tái)的上，下底面的直徑分別為2和6，母線與下底面所成角為，則圓臺(tái)的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知復(fù)數(shù)z，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則的虛部為D．若，則
10．已知函數(shù)，其中相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．D．在上有4個(gè)解
11．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．有最大值為1B．有最小值為4
C．有最小值為5D．有最大值為
三、填空題
12．已知實(shí)數(shù)滿足，則 ．
13．將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的排法有 種．（用數(shù)字作答）
14．已知為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過(guò)作，垂足分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則 ，的方程為 ．
四、解答題
15．為調(diào)查居民購(gòu)車傾向與性別的關(guān)系，對(duì)某地區(qū)隨機(jī)抽查了200名居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下表格：
(1)求；
(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為居民的購(gòu)車傾向與性別有關(guān)？
(3)從傾向燃油車的90人中按性別分層抽樣抽取5人，再?gòu)倪@5人中任選2人，求選中男性的人數(shù)的分布列和期望．
附：，
16．已知函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)若在上單調(diào)遞增，求整數(shù)的最大值．
17．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，．
(1)求；
(2)求證：數(shù)列是常數(shù)列；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
18．如圖，在三棱錐，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的等邊的重心，，，點(diǎn)在棱上，且是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的平面為，與此三棱錐的面相交，交線圍成一個(gè)多邊形．
（?。┱?qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)多邊形（不必說(shuō)出畫法和理由），并求出將三棱錐分成兩部分的幾何體體積之比；
（ⅱ）求與平面所成角的正弦值．
19．記為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，在第一象限，兩點(diǎn)位于軸上，已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓內(nèi)切于．
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；
(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的長(zhǎng)；
(3)求面積的最小值．
購(gòu)買傾向
合計(jì)
新能源車
燃油車
男
64
36
100
女性
46
54
合計(jì)
90
200

0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
參考答案
1．D
【詳解】由一元二次方程可得
又，
所以.
故選：D
2．C
【詳解】由題，.
又，則.
故選：C
3．A
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，
若題干所求圓與圓關(guān)于軸對(duì)稱，則所求圓的圓心也與圓的圓心關(guān)于軸對(duì)稱，
故與圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)為.
故選：A.
4．B
【詳解】根據(jù)題意，，
所以，
所以.
故選：B
5．C
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，
又，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C
6．A
【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸、半焦距分別為，
由雙曲線的定義可知，結(jié)合題干條件，
解得，又，，
由勾股定理可得，解得離心率.
故選：A.
7．A
【詳解】由于
，故.
從而.
故選：A
8．B
【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)的上下底面的圓心分別為，半徑分別為，
母線為，高為，由題干知，，
因?yàn)?，所以母線長(zhǎng)為，高，
設(shè)圓臺(tái)外接球的半徑為，球心到下底面的距離為，
若球心位于下底面的下面，則有，解得（舍去），
若球心位于上下底面之間，則有，解得，
所以圓臺(tái)的外接球的表面積為.
故選：B.
9．BD
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，其中，為虛數(shù)單位，
對(duì)于A：，只能得到，有無(wú)數(shù)組解滿足方程，
而不是只有選項(xiàng)A所述的，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：為一個(gè)新的復(fù)數(shù)，若，
表示這個(gè)新的復(fù)數(shù)可以和比較大小，故，解得，
此時(shí)，故B正確；
對(duì)于C：，若，則，
解得，此時(shí)，虛部為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
由復(fù)數(shù)的幾何意義可知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓，
而表示該單位圓的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
可知單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小為，最大為，所以，故D正確.
故選：BD.
10．BCD
【詳解】由題意，，則，即，
此時(shí)，
又，則，
因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；
則，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
由，得，
而，
所以，故C正確；
畫出函數(shù)和在上的圖象，
由圖可知，函數(shù)和在上有4個(gè)交點(diǎn)，
所以在上有4個(gè)解，故D正確.
故選：BCD.
11．ACD
【詳解】對(duì)于A，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；
對(duì)于B，，由A，，則，即最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，
則，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；
對(duì)于D，，
又，則、當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，即有最大值為.
故選：ACD
12．1
【詳解】由，兩邊同時(shí)取次冪，得，
化簡(jiǎn)得，可知.
故答案為：.
13．15
【詳解】采用插空法，5個(gè)1有六個(gè)空，將兩個(gè)0插入其中可得.
故答案為：15
14．
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以由兩直線垂直斜率關(guān)系可設(shè)方程為，
所以由可得，
同理可得，
又，即，即，①
又，即，即，
所以.
聯(lián)立曲線和直線方程可得
，消去可得，
因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，
化簡(jiǎn)可得，由①得，
又由橢圓的性質(zhì)可得，所以，
所以橢圓方程為.
故答案為：；.
15．(1)
(2)與性別有關(guān)
(3)分布列見(jiàn)解析，
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可算得；
（2）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，故可以認(rèn)為居民的購(gòu)車傾向與性別有關(guān)；
（3）從傾向燃油車的90人中按性別分層抽樣抽取人，則男性有人，
女性有人，設(shè)選中男性的人數(shù)為，則的取值分別為，
所以，，，
則的分布列為
期望.
16．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)1
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以在處的切線的斜率為，且，
則在處的切線方程為，即；
（2）證明：因?yàn)椋?br>令，
在上恒成立，
即在上單調(diào)遞增，所以，
即時(shí)，成立；
（3）由，得，
由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
，由零點(diǎn)存在定理可知，使得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，滿足，即，所以整數(shù)的最大值為.
17．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以
（2）當(dāng)時(shí)，
得，即
同乘得，
所以
所以數(shù)列是常數(shù)列．
（3）由（2）知，所以，則
所以．
18．(1)證明見(jiàn)解析
(2)（?。┳鲌D見(jiàn)解析，；（ⅱ）
【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是等邊的重心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
所以是的中點(diǎn)，連接，
在中，，
所以，
平面平面，所以平面．
（2）（?。┦堑冗吶切?，為重心，是的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，連接，所以的三邊是與三棱錐的面的交線，
則兩部分的幾何體分別為三棱錐和四棱錐，
設(shè)，三棱錐的高為，
則，
，
所以，即，
所以三棱錐的體積與四棱錐的體積之比為．
（ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，平面，
所以平面平面，則平面平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
可知軸在平面內(nèi)．
，設(shè)，
解得，
所以，
由，得，
因?yàn)椋?br>設(shè)平面的法向量，由，
可得，可取，
設(shè)平面的法向量，由，
可得，可取，
所以，設(shè)平面與平面所成角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
19．(1)
(2)，
(3)32
【詳解】（1）圓經(jīng)過(guò)，有，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．
（2）
解法1：
因?yàn)?，由題意可知，點(diǎn)位于點(diǎn)的上方，則直線的傾斜角為，
設(shè)與圓切于點(diǎn)，所以由直角三角形中角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可得與軸的交點(diǎn)為，
設(shè)聯(lián)立，得，則或（舍），
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，，所以是等腰直角三角形，
則，所以，所以，且有，
，
所以，即.
解法2：因?yàn)椋深}意可知，點(diǎn)位于點(diǎn)的上方，則直線的傾斜角為設(shè)與圓切于點(diǎn)，所以與軸的交點(diǎn)為，
設(shè)聯(lián)立，得，則或（舍），
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
在中，，
則，
因?yàn)?，所以，且有?br>，
所以，即.
（3）設(shè)，不妨設(shè)，
直線，圓心到直線的距離為2，，整理得，
同理直線，得，
所以是方程的兩個(gè)根，則有，
則，所以，
所以面積，
令，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，積的有最小值為32．
0
1
2

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