1. 已知集合，則（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由一元二次方程可得
又，
所以.
故選：D
2. 已知向量，則與的夾角為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題，.
又，則.
故選：C
3. 圓關(guān)于軸對稱的圓的圓心坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，
若題干所求圓與圓關(guān)于軸對稱，則所求圓的圓心也與圓的圓心關(guān)于軸對稱，
故與圓關(guān)于軸對稱的圓的圓心坐標(biāo)為.
故選：A.
4. 已知隨機變量，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，，
所以，
所以.
故選：B
5. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
又，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：C
6. 已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的實半軸、虛半軸、半焦距分別為，
由雙曲線的定義可知，結(jié)合題干條件，
解得，又，，
由勾股定理可得，解得離心率.
故選：A.
7. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于
，故.
從而.
故選：A
8. 已知圓臺的上，下底面的直徑分別為2和6，母線與下底面所成角為，則圓臺的外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)圓臺的上下底面的圓心分別為，半徑分別為，
母線為，高為，由題干知，，
因為，所以母線長為，高，
設(shè)圓臺外接球的半徑為，球心到下底面的距離為，
若球心位于下底面的下面，則有，解得（舍去），
若球心位于上下底面之間，則有，解得，
所以圓臺的外接球的表面積為.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)z，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則的虛部為D. 若，則
【答案】BD
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，其中，為虛數(shù)單位，
對于A：，只能得到，有無數(shù)組解滿足方程，
而不是只有選項A所述的，故A錯誤；
對于B：為一個新的復(fù)數(shù)，若，
表示這個新的復(fù)數(shù)可以和比較大小，故，解得，
此時，故B正確；
對于C：，若，則，
解得，此時，虛部為，故C錯誤；
對于D：，
由復(fù)數(shù)的幾何意義可知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的集合為圓心在坐標(biāo)原點的單位圓，
而表示該單位圓的點到點的距離，
可知單位圓上的點到點的距離最小為，最大為，所以，故D正確.
故選：BD.
10. 已知函數(shù)，其中相鄰的兩條對稱軸間的距離為，且經(jīng)過點，則（ ）
A. B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. D. 在上有4個解
【答案】BCD
【解析】由題意，，則，即，
此時，
又，則，
因為，所以，故A錯誤；
則，
當(dāng)時，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
由，得，
而，
所以，故C正確；
畫出函數(shù)和在上的圖象，
由圖可知，函數(shù)和在上有4個交點，
所以在上有4個解，故D正確.
故選：BCD.
11. 設(shè)正實數(shù)滿足，則（ ）
A. 有最大值為1B. 有最小值為4
C. 有最小值5D. 有最大值為
【答案】ACD
【解析】對于A，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；
對于B，，由A，，則，即最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B錯誤；
對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，
則，即時取等號，故C正確；
對于D，，
又，則、當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則，即有最大值為.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知實數(shù)滿足，則______．
【答案】1
【解析】由，兩邊同時取次冪，得，
化簡得，可知.
故答案為：.
13. 將5個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的排法有______種．（用數(shù)字作答）
【答案】15
【解析】采用插空法，5個1有六個空，將兩個0插入其中可得.
故答案：15
14. 已知為橢圓的左右焦點，直線與相切于點（點在第一象限），過作，垂足分別為，為坐標(biāo)原點，，則______，的方程為______．
【答案】①. ②.
【解析】因為，
所以由兩直線垂直斜率關(guān)系可設(shè)方程為，
所以由可得，
同理可得，
又，即，即，①
又，即，即，
所以.
聯(lián)立曲線和直線方程可得
，消去可得，
因為直線與橢圓相切，所以，
化簡可得，由①得，
又由橢圓的性質(zhì)可得，所以，
所以橢圓方程為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 為調(diào)查居民購車傾向與性別的關(guān)系，對某地區(qū)隨機抽查了200名居民進行調(diào)查，得到如下表格：
（1）求；
（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為居民的購車傾向與性別有關(guān)？
（3）從傾向燃油車的90人中按性別分層抽樣抽取5人，再從這5人中任選2人，求選中男性的人數(shù)的分布列和期望．
附：，
解：（1）由表格數(shù)據(jù)可算得；
（2）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，故可以認為居民的購車傾向與性別有關(guān)；
（3）從傾向燃油車的90人中按性別分層抽樣抽取人，則男性有人，
女性有人，設(shè)選中男性的人數(shù)為，則的取值分別為，
所以，，，
則的分布列為
期望.
16. 已知函數(shù)．
（1）求在處的切線方程；
（2）證明：當(dāng)時，；
（3）若在上單調(diào)遞增，求整數(shù)的最大值．
（1）解：因為，
所以在處的切線的斜率為，且，
則在處的切線方程為，即；
（2）證明：因為，
令，
在上恒成立，
即在上單調(diào)遞增，所以，
即時，成立；
（3）解：由，得，
由（2）可知，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
，由零點存在定理可知，使得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為，滿足，即，所以整數(shù)的最大值為.
17. 記為數(shù)列的前項和，．
（1）求；
（2）求證：數(shù)列是常數(shù)列；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
（1）解：當(dāng)時，，所以
（2）證明：當(dāng)時，
得，即
同乘得，
所以
所以數(shù)列是常數(shù)列．
（3）解：由（2）知，所以，則
所以．
18. 如圖，在三棱錐，點是邊長為的等邊的重心，，，點在棱上，且是的中點．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)過點的平面為，與此三棱錐的面相交，交線圍成一個多邊形．
（ⅰ）請在圖中畫出這個多邊形（不必說出畫法和理由），并求出將三棱錐分成兩部分的幾何體體積之比；
（ⅱ）求與平面所成角的正弦值．
證明：（1）因為點是等邊的重心，連接并延長交于點，
所以是的中點，連接，
在中，，
所以，
平面平面，所以平面．
（2）解：（?。┦堑冗吶切?，為重心，是的中點，所以三點共線，連接，所以的三邊是與三棱錐的面的交線，
則兩部分的幾何體分別為三棱錐和四棱錐，
設(shè)，三棱錐的高為，
則，
，
所以，即，
所以三棱錐的體積與四棱錐的體積之比為．
（ⅱ）取的中點，連接，平面，
所以平面平面，則平面平面，
以為坐標(biāo)原點，方向為軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
可知軸在平面內(nèi)．
，設(shè)，
解得，
所以，
由，得，
因為，
設(shè)平面的法向量，由，
可得，可取，
設(shè)平面的法向量，由，
可得，可取，
所以，設(shè)平面與平面所成角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
19. 記為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，在第一象限，兩點位于軸上，已知圓經(jīng)過點，且圓內(nèi)切于．
（1）求拋物線準(zhǔn)線方程；
（2）若，求點的坐標(biāo)及的長；
（3）求面積的最小值．
解：（1）圓經(jīng)過，有，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．
（2）解法1：
因為，由題意可知，點位于點的上方，則直線的傾斜角為，
設(shè)與圓切于點，所以由直角三角形中角所對直角邊等于斜邊的一半可得與軸的交點為，
設(shè)聯(lián)立，得，則或（舍），
所以點的坐標(biāo)為，
過點作軸，垂足為，，所以是等腰直角三角形，
則，所以，所以，且有，
，
所以，即.
解法2：因為，由題意可知，點位于點的上方，則直線的傾斜角為設(shè)與圓切于點，所以與軸的交點為，
設(shè)聯(lián)立，得，則或（舍），
所以點的坐標(biāo)為，
則，
在中，，
則，
因為，所以，且有，
，
所以，即.
（3）設(shè)，不妨設(shè)，
直線，圓心到直線的距離為2，，整理得，
同理直線，得，
所以是方程的兩個根，則有，
則，所以，
所以面積，
令，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以當(dāng)時，積的有最小值為32．購買傾向
合計
新能源車
燃油車
男
64
36
100
女性
46
54
合計
90
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2

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