遼寧省丹東市2025屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試（一）數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題：楊曉東孫穎劉巍肖揚郁文笛審核：楊曉東
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試
卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次方程和不等式解出集合，再求交集即可.
【詳解】由一元二次方程可得
又，
所以 .
故選：D
2. 已知向量，則與的夾角為（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量夾角坐標(biāo)公式可得答案.
第 1頁/共 19頁
【詳解】由題， .
又，則 .
故選：C
3. 圓關(guān)于軸對稱的圓的圓心坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓圓心坐標(biāo)，由題意可知所求圓的圓心與圓圓心關(guān)于軸對
稱，
由此得到所求圓的圓心坐標(biāo).
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，
若題干所求圓與圓關(guān)于軸對稱，則所求圓的圓心也與圓的圓心關(guān)于軸對稱，
故與圓關(guān)于軸對稱的圓的圓心坐標(biāo)為 .
故選：A.
4. 已知隨機變量，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二項分布的概率公式計算即可.
【詳解】根據(jù)題意，，
所以，
所以 .
故選：B
5. 已知函數(shù) 在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù) 的取值范圍
第 2頁/共 19頁
為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出，再由單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式即可.
【詳解】因為函數(shù) 在上單調(diào)遞增，所以，
又，所以，
所以實數(shù) 的取值范圍為 .
故選：C
6. 已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心
率為（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由雙曲線的定義結(jié)合題干條件可解得的長度，再利用勾股定理即可算出離心率.
【詳解】設(shè)雙曲線的實半軸、虛半軸、半焦距分別為，
由雙曲線的定義可知，結(jié)合題干條件，
解得，又，，
由勾股定理可得，解得離心率 .
故選：A.
7. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由兩角正弦的和差公式可得答案.
第 3頁/共 19頁
【詳解】由于
，故 .
從而 .
故選：A
8. 已知圓臺的上，下底面的直徑分別為 2 和 6，母線與下底面所成角為，則圓臺的外接球表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根據(jù)題干條件求出圓臺的母線和高，再分類討論外接球的球心位于下底面之下還是上下底面
之間，算出外接球的半徑即可得圓臺外接球的表面積.
【詳解】如圖，設(shè)圓臺的上下底面的圓心分別為，半徑分別為，
母線為，高為，由題干知，，
因為，所以母線長為，高，
設(shè)圓臺外接球的半徑為，球心到下底面的距離為，
若球心位于下底面的下面，則有，解得（舍去），
若球心位于上下底面之間，則有，解得，
所以圓臺的外接球的表面積為 .
故選：B.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題
第 4頁/共 19頁
目要求．全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 已知復(fù)數(shù) z，則下列說法正確的是（）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則的虛部為 D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】設(shè)復(fù)數(shù) ，根據(jù)復(fù)數(shù)的模，乘方運算，實部虛部，幾何意義等知識逐個對各個選項分析即
可.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù) ，其中，為虛數(shù)單位，
對于 A：，只能得到，有無數(shù)組解滿足方程，
而不是只有選項 A 所述的，故 A 錯誤；
對于 B：為一個新的復(fù)數(shù)，若，
表示這個新的復(fù)數(shù)可以和比較大小，故，解得，
此時，故 B 正確；
對于 C：，若，則，
解得，此時，虛部為，故 C 錯誤；
對于 D：，
由復(fù)數(shù)的幾何意義可知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點的集合為圓心在坐標(biāo)原點的單位圓，
而表示該單位圓的點到點的距離，
可知單位圓上的點到點的距離最小為，最大為，所以，故 D 正確.
故選：BD.
10. 已知函數(shù) ，其中相鄰的兩條對稱軸間的距離為，且經(jīng)過點
，則（）
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A. B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. D. 在上有 4 個解
【答案】BCD
【解析】
【分析】正弦函數(shù)的性質(zhì)先求出，即可判斷 A；結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷 B，
結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷 C；結(jié)合圖象可判斷 D.
【詳解】由題意，，則，即，
此時，
又，則，
因為，所以，故 A 錯誤；
則，
當(dāng) 時，，
因為函數(shù) 在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，故 B 正確；
由，得，
而，
所以，故 C 正確；
畫出函數(shù) 和在上的圖象，
第 6頁/共 19頁
由圖可知，函數(shù) 和在上有 4 個交點，
所以在上有 4 個解，故 D 正確.
故選：BCD.
11. 設(shè)正實數(shù) 滿足，則（）
A. 有最大值為 1 B. 有最小值為 4
C. 有最小值 5 D. 有最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式結(jié)合題意可判斷選項正誤；
【詳解】對于 A，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，故 A 正確；
對于 B，，由 A，，則
，即最小值為 2，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，故 B 錯誤；
對于 C，，當(dāng)且僅當(dāng) ，
則，即時取等號，故 C 正確；
對于 D，，
又，則、當(dāng)且僅當(dāng) ，即時取等號，則
，即有最大值為 .
故選：ACD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
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12. 已知實數(shù) 滿足，則 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】對一個等式兩邊取次冪，由指數(shù)的運算法則和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】由，兩邊同時取次冪，得，
化簡得，可知 .
故答案為： .
13. 將 5 個 1 和 2 個 0 隨機排成一行，則 2 個 0 不相鄰的排法有______種．（用數(shù)字作答）
【答案】15
【解析】
【分析】采用插空法計算即可.
【詳解】采用插空法，5 個 1 有六個空，將兩個 0 插入其中可得 .
故答案：15
14. 已知為橢圓的左右焦點，直線與相切于點（點在
第一象限），過作，垂足分別為，為坐標(biāo)原點，，則
______，的方程為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由兩直線垂直斜率關(guān)系設(shè) 方程，聯(lián)立直線方程，解出坐標(biāo)，利用兩點間距離公式表示
可得焦距；再聯(lián)立直線和曲線方程由判別式等于零可得，然后結(jié)合橢圓的關(guān)
系可得橢圓方程.
【詳解】
第 8頁/共 19頁
因為，
所以由兩直線垂直斜率關(guān)系可設(shè) 方程為，
所以由可得，
同理可得，
又，即，即，①
又，即，即，
所以 .
聯(lián)立曲線和直線方程可得
，消去可得，
因為直線與橢圓相切，所以，
化簡可得，由①得，
又由橢圓的性質(zhì)可得，所以，
所以橢圓方程為 .
故答案為：； .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 為調(diào)查居民購車傾向與性別的關(guān)系，對某地區(qū)隨機抽查了 200 名居民進行調(diào)查，得到如下表格：
購買傾向
合計
新能源車燃油車
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男 64 36 100
女性 46 54
合計 90 200
（1）求；
（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為居民的購車傾向與性別有關(guān)？
（3）從傾向燃油車的 90 人中按性別分層抽樣抽取 5 人，再從這 5 人中任選 2 人，求選中男性的人數(shù)的分
布列和期望．
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）
（2）與性別有關(guān) （3）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）直接由表格數(shù)據(jù)可計算得；
（2）根據(jù) 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)算出，若，說明沒有充分證據(jù)推斷假設(shè)不成立，
即可以認(rèn)為居民的購車傾向與性別有關(guān)，否則與性別無關(guān)；
（3）根據(jù)分層隨機抽樣算出抽到的男性和女性人數(shù)，則男性人數(shù)的分布符合超幾何分布，
利用組合數(shù)即可算得男性的人數(shù)的分布列，從而算得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可算得；
（2）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，故可以認(rèn)為居民的購車傾向與性別有關(guān)；
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（3）從傾向燃油車的 90 人中按性別分層抽樣抽取人，則男性有人，
女性有人，設(shè)選中男性的人數(shù)為，則的取值分別為，
所以，，，
則的分布列為
0 1 2
期望 .
16. 已知函數(shù) ．
（1）求在處的切線方程；
（2）證明：當(dāng) 時，；
（3）若在上單調(diào)遞增，求整數(shù) 的最大值．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）1
【解析】
【分析】（1）直接求導(dǎo)得導(dǎo)數(shù)數(shù)，算出，利用點斜式即可求得切線方程；
（2）根據(jù)題干條件構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和最值，從而證得所
求不等式；
（3）由（2）可知則在上單調(diào)遞增，注意到，
由零點存在定理可知，使得，所以，從而得出整數(shù) 的最大值為 .
【詳解】（1）因為，
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所以在處的切線的斜率為，且，
則在處的切線方程為，即；
（2）證明：因為，
令，
在上恒成立，
即在上單調(diào)遞增，所以，
即時，成立；
（3）由，得，
由（2）可知，當(dāng) 時，，則在上單調(diào)遞增，
，由零點存在定理可知，使得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為，滿足，即，所以整數(shù) 的最大值為 .
17. 記為數(shù)列的前項和，．
（1）求；
（2）求證：數(shù)列是常數(shù)列；
（3）設(shè) ，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）由，結(jié)合題意可得答案；
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（2）由結(jié)合題意可得，然后可完成證明；
（3）由（2）結(jié)合錯位相減法可得答案.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時，，所以
【小問 2 詳解】
當(dāng) 時，
得，即
同乘得，
所以
所以數(shù)列是常數(shù)列．
【小問 3 詳解】
由（2）知，所以，則
所以．
18. 如圖，在三棱錐，點是邊長為的等邊的重心，，，點
在棱上，且是的中點．
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（1）求證：平面；
（2）設(shè)過點的平面為，與此三棱錐的面相交，交線圍成一個多邊形．
（ⅰ）請在圖中畫出這個多邊形（不必說出畫法和理由），并求出將三棱錐分成兩部分的幾何體體積之比；
（ⅱ）求與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）（?。┳鲌D見解析，；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由線段成立比得到，再由線面平行的判定定理證明即可；
（2）（i）由面面相交可畫出多邊形；利用小三棱錐的體積比上大三棱錐的體積減去小三棱錐的體積可得兩
部分體積比；
（ii）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，代入空間二面角的余弦公
式再由同角的三角函數(shù)關(guān)系可得；
【小問 1 詳解】
證明：因為點是等邊的重心，連接并延長交于點，
所以是的中點，連接，
在中，，
所以，
平面平面，所以平面．
【小問 2 詳解】
（?。?是等邊三角形，為重心，是的中點，所以三點共線，連接，所以
的三邊是與三棱錐的面的交線，
則兩部分的幾何體分別為三棱錐和四棱錐，
第 14頁/共 19頁
設(shè) ，三棱錐的高為，
則，
，
所以，即，
所以三棱錐的體積與四棱錐的體積之比為．
（ⅱ）取的中點，連接，平面，
所以平面平面，則平面平面，
以為坐標(biāo)原點，方向為軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
可知軸在平面內(nèi)．
，設(shè) ，
解得，
所以，
由，得，
因為，
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設(shè)平面的法向量，由，
可得，可取，
設(shè)平面的法向量，由，
可得，可取，
所以，設(shè)平面與平面所成角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為 .
19. 記為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，在第一象限，兩點位于軸上，已知圓
經(jīng)過點，且圓內(nèi)切于．
（1）求拋物線準(zhǔn)線方程；
（2）若，求點的坐標(biāo)及的長；
（3）求面積的最小值．
【答案】（1）
（2），
（3）32
【解析】
【分析】（1）由原點在圓上，代入方程可得，再由拋物線的準(zhǔn)線方程可得；
（2）解法一，由點斜式設(shè)出直線方程聯(lián)立曲線解出點坐標(biāo)即可；過點作軸，由三角形面積公
式可得；
解法二，由點斜式設(shè)出直線方程聯(lián)立曲線解出點坐標(biāo)即可；然后由幾何關(guān)系和二倍角的正弦公式和三角
第 16頁/共 19頁
形的面積公式可得；
（3）設(shè) ，不妨設(shè) ，分別由點斜式得到方程，然后由
點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，從而得到是方程的兩個根，
表示出韋達定理，然后由三角形的面積公式結(jié)合換元法令和基本不等式求解.
【小問 1 詳解】
圓經(jīng)過，有，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．
【小問 2 詳解】
解法 1：
因為，由題意可知，點位于點的上方，則直線的傾斜角為，
設(shè) 與圓切于點，所以由直角三角形中角所對直角邊等于斜邊的一半可得與軸的交點為
，
設(shè) 聯(lián)立，得，則或（舍），
所以點的坐標(biāo)為，
過點作軸，垂足為，，所以是等腰直角三角形，
則，所以，所以，且有，
，
所以，即 .
解法 2：因為，由題意可知，點位于點的上方，則直線的傾斜角為設(shè) 與圓
切于點，所以與軸的交點為，
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設(shè) 聯(lián)立，得，則或（舍），
所以點的坐標(biāo)為，
則，
在中，，
則，
因為，所以，且有，
，
所以，即 .
【小問 3 詳解】
設(shè) ，不妨設(shè) ，
直線，圓心到直線的距離為 2，，整理得
，
同理直線，得，
所以是方程的兩個根，則有，
則，所以，
所以面積，
令，
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所以，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時，等號成立，
所以當(dāng) 時，積的有最小值為 32．
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