2024-2025學(xué)年廣東省茂名一中高三（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（一）（3月份）（含答案）

這是一份2024-2025學(xué)年廣東省茂名一中高三（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（一）（3月份）（含答案），共10頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.已知集合A={x|x+3x?1≥0}，B={x|x2≤4}，則A∩B=( )
A. [?2,1]B. [?2,1)C. [1,2]D. (1,2]
2.某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了10位業(yè)主2月份每戶的天然氣使用量，數(shù)據(jù)如下(單位：cm3)：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24.估計該小區(qū)業(yè)主月均用氣量的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為( )
A. 21B. 21.5C. 22D. 22.5
3.已知直線m、n，平面α、β，給出下列命題：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β；②若m//α，n//β，且m//n，則α//β；
③若m⊥α，n//β，且m⊥n，則α⊥β；④若m⊥α，n//β，且m//n，則α//β．
其中正確的命題是( )
A. ①③B. ②④C. ③④D. ①
4.已知正項數(shù)列{an}，令bn=lgan，則“{bn}為等差數(shù)列”是“{an}為等比數(shù)列”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
5.若tan(α?β)=3，tan2α?tan2β1?tan2αtan2β=18，則tan2α=( )
A. ?12B. ?2C. ?319D. ?917
6.現(xiàn)有A，B，C，D，E五人站成一排，則A，B相鄰且C，D不相鄰的排法種數(shù)共有( )
A. 6B. 12C. 24D. 48
7.已知函數(shù)f(x)=sin2x1+2cs2x的最大值是( )
A. 12B. 33C. 13D. 22
8.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|+|BF1|=3|F1F2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( )
A. (1,3+ 6]B. (1,3+ 52]
C. [3+ 52,3+ 5]D. [3+ 62,3+ 6]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1+z2=4，z1?z2=8，則( )
A. |z1|?|z2|=8B. |z1?z2|=4C. |z1|+|z2|=4D. |z1z2|=1
10.若等邊三角形ABC的邊長為2，BD=λBC(00，且9a+b=ab，則a+4b的最小值為______．
13.已知函數(shù)f(x)=2sin(x+π3)，若方程f(x)=b在區(qū)間(0,13π6)內(nèi)有三個實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，且x10，解得x>lnm，所以f(x)在(lnm,+∞)單調(diào)遞增，
令f′(x)0,ex?1>0，
令?′(x)e?1>0，令t=e?m∈(0,1)，
則et?1>0，則?(t)=et?1t?lnt?m>?lnt?m=?lne?m?m=0，
可知?(x)在(t,1)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，
且當(dāng)x趨近于+∞，?(x)趨近于+∞，
可知(1,+∞)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，
即m>e?1，符合題意，
綜上所述，m的取值范圍為(e?1,+∞)．
18.解：(1)由已知得F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1，
設(shè)直線AB的方程為x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，弦AB的中點(diǎn)T(x0,y0)，如圖所示，

聯(lián)立x=my+1y2=4x，消去x并整理得y2?4my?4=0，Δ=16m2+16>0，
則y1+y2=4m，y1y2=?4，所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，
所以x0=x1+x22=2m2+1,y0=y1+y22=2m，即T(2m2+1,2m)，
所以|AB|=x1+x2+2=4m2+4，△ABC為等邊三角形，則m≠0，
否則m=0時，不妨設(shè)A(1,2)，B(1,?2)，
則由等邊三角形的對稱性可知C的坐標(biāo)只能是(?1,0)，但|AC|=2 2≠4=|AB|，
則設(shè)直線CT的方程為y?2m=?m(x?2m2?1)，即y=?mx+2m3+3m，所以點(diǎn)C(?1,2m3+4m)，
又|CT|= 32|AB|，所以(2m2+2)2+(2m+2m3)2=34(4m2+4)2，解得m2=2，
所以|AB|=4m2+4=12，
又|CM|= 32|AB|=6 3，故S△ABC=12|AB|?|CT|=36 3；
(2)由題P?ABC為正三棱錐，即AB=AC=BC，PA=PB=PC，
又正三棱錐各側(cè)面三角形都全等，所以PA?PB=PB?PC=PC?PA，
而AM⊥MN，M，N為PC，BC的中點(diǎn)，
從而AM?MN=(?PA+12PC)?12PB=?12PA?PB+14PB?PC=?14PB?PC=0，
所以PA?PB=PB?PC=PC?PA=0，
因此PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，即PA，PB，PC兩兩垂直，故可將三棱錐P?ABC補(bǔ)成如圖所示的正方體，
以P為原點(diǎn)，PA所在直線為x′軸，PB所在直線為y′軸，PC所在直線為z′軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

因?yàn)锳B=AC=BC=12，所以PA=PB=PC=6 2，顯然，BP⊥面MPA，
故可取面MPA的一個法向量PB=(0,6 2,0)，
又N為BC的中點(diǎn)，則PN=12PB+12PC=(0,3 2,3 2)，且PA=(6 2,0,0)，
設(shè)平面PAN的法向量n=(x,y,z),PA?n=0PN?n=0，即6 2x=03 2y+3 2z=0，取y=1，則n=(0,1,?1)，
由圖可知二面角M?PA?N是銳角，
則二面角M?PA?N的余弦值為csθ=|csn,PB|=|n?PB||n|?|PB|= 22．
19.解：(1)證明：當(dāng)n為正偶數(shù)時，設(shè)n=2k，因?yàn)?k=2k?1+1=ak+1+b1∈{ai+bj|i,j∈N?}，
所以n∈{ai+bj|i,j∈N?}；
當(dāng)n為正奇數(shù)時，設(shè)n=2k?1(k∈N?)，
因?yàn)?k?1=2k?3+2=ak+b2∈{ai+bj|i,j∈N?}，
所以n∈{ai+bj|i,j∈N?}．
綜上所述，?n∈N?,n∈{ai+bj|i,j∈N?}，
因此N??{ai+bj|i,j∈N?}，所以數(shù)列{an}，{bn}是“和諧數(shù)列”；
(2)證明：由于an=(?1)n，因此a2n=1，a2n?1=?1，
假設(shè)數(shù)列{an}，{bn}是“和諧數(shù)列”，那么存在i1,j1∈N?，使得ai1+bj1=1，
由于數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，因此bj1≠0，從而ai1≠1，因此ai1=?1,bj1=2．
由于存在i2,j2∈N?，使得ai2+bj2=2，又因?yàn)閍i2=1或?1，
因此bj2=1或3，
如果bj2=1，由于bj1=2，且數(shù)列{bn}是等比數(shù)列且各項均為整數(shù)，那么b1=1，b2=2，
因此公比為2，所以bn=2n?1，顯然4?{ai+bj|i,j∈N?}，與假設(shè)矛盾；
如果bj2=3，由于bj1=2，且數(shù)列{bn}是等比數(shù)列且各項均為整數(shù)，
那么2，3為數(shù)列{bn}中的相鄰兩項，并且公比為32，
因此bn=bj1(32)n?j1=2×(32)n?j1,bj1+2=2×(32)2=92不是整數(shù)，
因此數(shù)列{bn}中存在不是整數(shù)的項，與題意不符．
綜上所述，數(shù)列{an}，{bn}不是“和諧數(shù)列”；
(3)證明：對于任意m∈N?，必存在k∈N，使得2k≤m