八年級上學期期末數(shù)學試卷
一、單選題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．下列命題是真命題的是（ ）
A．三角形的一個外角大于任何一個內角
B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
C．等腰三角形一邊上的高與這條邊上的中線、角平分線重合
D．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=25°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
3．安陽是甲骨文最早發(fā)現(xiàn)地．甲骨文“天人合一”四個字中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．根據(jù)步驟作圖：①分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N；②作直線MN，交AB于點D，交AC于點E．若S△ABC=9，則S△ADE=（ ）
A．2B．94C．3D．274
5．下列計算結果正確的是（ ）
A．(a3)3=a6B．(?ab4)2=a2b8
C．a(chǎn)6÷a3=a2D．(a+b)2=a2+b2
6．如圖，∠BOC＝9°，點A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第3條線段A2A3…這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n＝（ ）
A．10B．9C．8D．7
7．如圖，在等邊△ABC中，以A為直角頂點作等腰直角△CAD，AF⊥BD 分別交BD 、CD于 點E 、F，N 為線段BG上一動點，M為線段AD上一動點，且BN=AM， 以下4個結論：①∠CBN=3∠ABD；②DF=2EF；③DF=CF+AF；④當CN+CM的值最小時， ∠ACM=∠DCM． 正確的個數(shù)為( )
A．4個B．3 個
C．2 個D．1 個
8．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，且AD=CD，若∠CBD=α，則∠ADC一定等于（ ）
A．3αB．90°+2αC．135°?2αD．180°?2α
9．如圖，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，則∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關系為（ ）
A．∠P=2(∠B?∠D)B．∠P=12(∠B+∠D)
C．∠P=12∠B+∠DD．∠P=∠B+12∠D
10．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分別為線段AB，AC
上一點，且AD＝AE，連接BE、CD交于點G，延長AG交BC于點F．以下四個結論正確的是（ ）
①BF＝CF； ②若BE⊥AC，則CF＝DF；
③連結EF，若BE⊥AC，則∠DFE＝2∠ABE
④.若BE平分∠ABC，則FG=32；
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．分解因式：3a3?9a2+3a= ．
12．若34=3a，34+34+34=3b，則a+b= ．
13．已知∠ABC=60°，若有一角與∠ABC的兩邊分別平行，則該角的度數(shù)為 ，另有∠DEF=40°，若∠DEF的一邊EF//BC，另一邊DE與直線AB相交于點P，且點E不在直線AB上，則∠APD的度數(shù)為
14．若關于x一元一次不等式組x+32≤42x?a≥2，至少有2個整數(shù)解，且關于y的分式方程a?1y?2+42?y=2有非負整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是 ．
三、計算題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．計算：
（1）25?3?27；
（2）(4x?3y)(2x+y)?6x(x+3y)．
16．閱讀理解題：
定義：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2=﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)就叫做復數(shù)，a叫這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．例如計算：（2+i）+（3﹣4i）=5﹣3i．
（1）填空：i3= ，2i4= ；
（2）計算：①（2+i）（2﹣i）；
②（2+i）2；
（3）若兩個復數(shù)相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+3y）+3i=（1﹣x）﹣yi，（x，y為實數(shù)），求x，y的值．
（4）試一試：請你參照i2=﹣1這一知識點，將m2+25（m為實數(shù)）因式分解成兩個復數(shù)的積．
四、作圖題（本大題共8分）
17．圖為7×9的網(wǎng)格，每一小格均為正方形，已知△ABC．
⑴畫出△ABC中BC邊上的中線AD；
⑵畫出△ABC中AB邊上的高CE；
⑶直接寫出△ABC的面積為 ▲ ．
五、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
18．化簡：[(2a+b)2?(2a+b)(2a?b)]÷2b.
19．在等腰△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD，BE分別為△ABC的中線．
（1）如圖1，求證：AE=AD；
（2）求證：△ABE與△CBE的面積相等；
（3）如圖2，點F在AD的延長線上，連接BF，CF，若∠AEB=∠AFB，求證：BE=BF．
六、綜合題（本大題共2小題，每小題9分，滿分18分）
20．2022年北京冬季奧運會吉祥物冰墩墩大受歡迎．某商店第一次用4000元購進某款冰墩墩紀念章，很快賣完．第二次又用3000購進該款紀念章，但這次每個紀念章是第一次進價的1.2倍，數(shù)量比第一次少了30個．
（1）求第一次每個紀念章的進價是多少元？
（2）若第二次進貨后按80元/個的價格出售，恰好銷售完一半時，根據(jù)市場情況，商店決定對剩余的紀念章按同一標準一次性打折銷售，但要求這次的利潤不少于600元，問最低可打幾折？
21．如圖，直線BC∥OA，∠C＝∠OAB＝108°，E，F(xiàn)在線段BC上(不與點B，C重合)，且滿足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）OC與AB是否平行？請說明理由．
（2）求∠EOB的度數(shù)．
（3）若左右平移線段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此時∠OEC的度數(shù)；若不存在，請說明理由．
七、證明題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
22．已知點A，C，B不在同一條直線上，AD∥BE．
（1）如圖1，當∠A=58°，∠B=118°時，求∠C的度數(shù)；
（2）如圖2，AQ，BQ分別為∠DAC，∠EBC的平分線所在直線，試探究∠ACB與∠AQB的數(shù)量關系；
（3）如圖3，在（2）的前提下，且有AC∥QB，∠CAP+∠ACP=90°，試求出∠CAD:∠ACB:∠CBE的值．
23．已知，如圖，點P在AB、CD兩線之間，且在BC所在直線的左側．
（1）如圖1，當AB∥CD，∠BPC=α時，
①若BO平分∠ABP，CO平分∠DCP，則∠BOC=________；
②若∠ABO=13∠ABP，∠DCO=13∠DCP，則∠BOC=________；
③若∠ABO=1n∠ABP，∠DCO=1n∠DCP，則∠BOC=________．
（2）如圖2，當AB與CD相交，點A、點D重合時，猜想∠BPC、∠B、∠C與∠A之間的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）如圖3，直接運用（2）的結論探究下列問題：
①若BO平分∠ABP，CO平分∠ACP，當∠BPC=120°，∠BOC=95°時，求∠A的度數(shù)；
②若∠ABO=1n∠ABP，∠ACO=1n∠ACP，當∠BPC=α，∠BOC=β時，求∠A的度數(shù)．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】3aa2?3a+1
12．【答案】9
13．【答案】60°或120°；20 °；100 °；80 °；160 °
14．【答案】4
15．【答案】（1）解：原式=5?(?3)=8
（2）解：原式=8x2+4xy?6xy?3y2?6x2?18xy
=2x2?20xy?3y2
16．【答案】（1）-i；2（2）①5②3+4i（3）x=5，y=﹣3（4）m2+25=（m+5i）（m﹣5i）
17．【答案】解：如圖：(1)AD即為所求；
(2)CE即為所求；
(3)6
18．【答案】解：原式=[4a2+4ab+b2-4a2+b2]÷2b
=（4ab+2b2）÷2b
=2a+b.
19．【答案】（1）證明：如圖，
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵AD是BC邊上的中線
∴AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴AD=12AC，
∵BE是AC邊上的中線，
∴AE=EC=12AC，
∴AD=AE．
（2）證明：如圖，過點B作BP⊥AC交CA的延長線于點P．
則BP為△ABC邊上AC的高線．
S△ABE=12AE?BP，S△CBE=12CE?BP
∵E為AC中點
∴AE=CE
∴S△ABE=S△CBE
△ABE與△CBE的面積相等．
（3）證明：由（2）知．∠P=90°
∵∠P=90°，∠BCP=30°，
∴BP=12BC=CD
∵AD垂直平分BC
∴FB=FC，∠AFB=∠AFC
又∵∠AEB=∠AFB
∴∠AEB=∠AFC
∵∠FDC=∠P=90°，
在△BEP和△CFD中，
∠AEP=∠CFD∠P=∠CDFBP=CD，
∴△BEP≌△CFD(AAS)
∴BE=CF，而BF=CF
∴BE=BF
20．【答案】（1）解：設第一次每個紀念章的進價是x元，根據(jù)題意得：
4000x?30=30001.2x，
解得x=50．
經(jīng)檢驗，x=50是原分式方程的解，且符合題意，
答：第一次紀念章的進價是50元；
（2）解：第二次購進紀念章的數(shù)量：3000÷（1.2×50）=50（個），
第二次購進紀念章的價格是：1.2×50=60（元）．
設商店對剩余的紀念章按同一標準一次性打a折銷售時，可使利潤不少于600元，由題意得：
（80-60）×25+（80×a10-60）×25≥600，
解得：a≥8，
故最低打8折．
答：最低打8折．
21．【答案】（1）解：OC∥AB，理由如下：
∵BC∥OA，
∴∠COA＋∠C＝180°，
∵∠C＝∠OAB，
∴∠COA＋∠OAB＝180°，
∴OC∥AB
（2）解：∵OE平分∠COF，
∴∠EOF＝ 12 ∠COF，
∵∠FOB＝∠AOB＝ 12 ∠FOA，
∴∠EOB＝∠EOF＋∠FOB＝ 12 ∠COF＋ 12 ∠FOA＝ 12 (∠COF＋∠FOA)＝ 12 ∠COA；
∵BC∥OA，
∴∠COA＝180°?∠C＝180°?108°＝72°，
∴∠EOB＝ 12 ×72°＝36°．
（3）解：存在∠OEC＝∠OBA，理由如下：
設∠OEC＝∠OBA=x，則∠OEB=180-x，∠OBC=72-x
在△OBE中∠OEB+∠OBC+∠EOB=180°得
180-x+72-x+36=180，求得x=54°
或設∠FOB=x，∠FOE=y，列方程組可得 x+y＝36，2x+y＝x+2y ，得 x=18，y＝18 則∠OEC＝54°
22．【答案】（1）∠ACB=120°；
（2）2∠AQB+∠ACB=180°；
（3）∠CAD:∠ACB:∠CBE=1:2:2．
23．【答案】（1）①α3；②α3；αn
（2）∠A+∠B+∠C=∠BPC
（3）①60°；②nn?1β?1n?1α

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