1. 中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點旋轉后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的概念，是解題的關鍵．
【詳解】解：A、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；
C、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、繞某一點旋轉后，能夠與原圖形重合，故是中心對稱圖形，故符合題意；
故選：D．
2. 若，且，則的值可能是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了不等式的性質，不等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)或者式子，不等號不改變方向，不等式兩邊乘以乘以或除以一個正數(shù)，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以或除以一個負數(shù)，不等號改變方向，根據(jù)題意可知不等式兩邊同時乘以之后不等號沒有發(fā)生改變，則．
【詳解】解：∵，且，
∴，
∴四個選項中，只有B選項符合題意，
故選：B．
3. 一元一次不等式組解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，先解每個不等式的解集，再求兩個不等式的解集的公共部分即可．熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．
【詳解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式組的解集為，
在數(shù)軸上表示為：
，
故選：B．
4. 如圖，在中，，依據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，有如下三種說法：
甲：；
乙：；
丙：．
下列判斷正確的是（ ）
A. 只有甲對B. 只有乙對C. 只有丙對D. 三人說的都對
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—基本作圖，角平分線的性質定理、三角形全等的判定與性質，由作圖可得：平分，，由角平分線的性質定理可得，即可判斷甲；由即可判斷乙；證明即可判斷丙，即可得解．
【詳解】解：由作圖可得：平分，，
∵，
∴，故甲正確；
∵，
∴，故乙正確；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故丙正確；
故選：D．
5. 如圖，P為內一點，過點P的線段分別交、于點M、N，且M、N分別在、的中垂線上．若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到，根據(jù)等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算，得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵M、N分別在、的中垂線上，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
6. 如圖，O是△ABC內一點，且O到三邊AB、AC、BC的距離OF=OE=OD，若∠BAC=70°，則∠BOC=（ ）
A. 110°B. 115°C. 120°D. 125°
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)在角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，再根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ABC＋∠ACB，然后求出∠OBC＋∠OCB，再次利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．
【詳解】∵OF＝OD＝OE，
∴OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×110°＝55°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.
故答案為D.
【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握該知識點是本題解題的關鍵.
7. 不等式的負整數(shù)解有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，然后得出負整數(shù)解，即可得出答案．
【詳解】解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項合并同類項得：，
不等式兩邊同除以得：，
∴不等式的負整數(shù)解有，，共3個，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了求一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關鍵，注意不等式兩邊同除以一個負數(shù)，不等號方向發(fā)生改變．
8. 如圖，在中，，，．將繞點旋轉至，使，交邊于點，則的長是（ ）
A. 4B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了旋轉的性質，勾股定理及直角三角形的性質，根據(jù)旋轉的性質可以得到，然后利用證明，由此即可證明為的中點解決問題，解題的關鍵熟練利用旋轉和直角三角形的性質．
【詳解】解：將繞點旋轉至，
，，，
，
，
，
，
，
而，
，
，
．
故選：C
9. 若關于x、y的二元一次方程組解滿足，則n的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將兩個方程相加整理得出x+y=2n+4，再根據(jù)題意列出關于n的不等式，求解即可．
【詳解】解：將兩個方程相加可得2x+2y=4n+8，
∴x+y=2n+4，
∴2n+4≤0，
∴n≤-2．
故選：B．
【點睛】考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，解題關鍵是把n當作已知數(shù)表示出x+y的值，再得到關于n的不等式．
10. 如圖，在中，，，，點是直角邊上的一個動點，連結，以為邊向外作等邊，連結，在點運動的過程中，線段的最小值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】此題重點考查旋轉的性質、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、垂線段最短等知識，延長到點，使，連結，，由，，，得，可證明是等邊三角形，因為是等邊三角形，所以，，可證明，得，可知點在經(jīng)過點且與垂直的射線上運動，作交射線于點，則，由，求得的最小值為1，于是得到問題的答案．正確地作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，延長到點，使，連結，，
，，，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
點在經(jīng)過點且與垂直的射線上運動，
作交射線于點，則，
，
，
，
的最小值為1，
故選：B．
二．填空題（共5小題）
11. 若是關于的一元一次不等式，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義：含一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是次，不等式的左右兩邊都是整式．可得：，求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
，
解得：．
故答案：．
【點睛】本題考查一元一次不等式的定義．解題的關鍵是知道是未知數(shù)的次數(shù)，根據(jù)次數(shù)等于列出方程求解即可．
12. 平面直角坐標系中，若點，關于原點對稱，則=______．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用關于原點對稱的點的坐標特點，兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點關于原點O的對稱點是，進而得出m，n的值．
【詳解】解：∵點，關于原點對稱，
∴，
解得，
∴．
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了關于原點對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標的符號關系是解題關鍵．
13. 如圖，在等邊中，D為邊上一點，連接，將繞點B逆時針旋轉，得到，連接，若，則的周長是______．
【答案】38
【解析】
【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，由旋轉的性質可得，可得是等邊三角形，可得，即可求解．
【詳解】解：繞點B逆時針旋轉，得到，
，
，
是等邊三角形，
，
的周長，
故答案為：38．
14. 某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知，，，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要_____________元．（用含a的代數(shù)式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查含角的直角三角形的性質，幾何圖形面積的計算方法，掌握構造輔助線，運用含角的直角三角形的性質是解題的關鍵．
如圖，過點作交的延長線于點，則，可求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質可求出的值，可求出，由此即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作交的延長線于點，則，

∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵這種草皮每平方米售價是元，
∴購買這種草皮需要元．
故答案為．
15. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，點D是BC的中點，點E是邊AB上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于點F．若△AB'F為直角三角形，則AE的長為_____．

【答案】6或 ．
【解析】
【分析】當∠AFB′＝90°時，證明△BDF∽△BAC，得到，即 ，求得BF＝3，設BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，x＝2（ 3﹣x），解得x＝2，得到AE＝8﹣2＝6；當∠AB′F＝90°時，作EH⊥AB′交AB′的延長線于H，設AE＝x，證明Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），求得∠EB′H＝60°，利用EH2+AH2＝AE2，得到[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2， 解得x＝.
【詳解】解：①如圖1中，當∠AFB′＝90°時，
在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由折疊的性質得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，
∴∠BDF＝60°，
∴∠EDB＝∠EDF＝30°，
∴∠B＝∠EDB＝30°，
∴BE＝DE＝B'E，
∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，
∴△BDF∽△BAC，
∴，即 ，
解得：BF＝3，
設BE＝DE＝x，
在Rt△EDF中，DE＝2EF，
∴x＝2（ 3﹣x），
解得：x＝2，
∴AE＝8﹣2＝6；
②如圖2中，當∠AB′F＝90°時，
作EH⊥AB′交AB′的延長線于H，設AE＝x，
∵AD＝AD，CD＝DB′，
∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），
∴AC＝AB′＝4，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，
∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，
解得：x＝，
綜上所述，滿足條件的AE的值為6或.
故答案為：6或 .
【點睛】此題考查折疊的性質，直角三角形30度角的性質，相似三角形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理，利用分類討論是思想解答問題.
三．解答題（共3小題）
16. 解不等式組：，并將解集表示在數(shù)軸上．
【答案】，數(shù)軸表示見解析
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，并在數(shù)軸上表示解集，熟練掌握解不等式組的步驟和數(shù)軸上表示解集的方法是解題的關鍵．先解不等式組，再在數(shù)軸上表示即可．
【詳解】解：，
解不等式①，得：；
解不等式②，得：，
所以不等式組解集為：，
在數(shù)軸上表示如圖：
17. 畫圖并填空：如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1，的頂點都在方格紙的格點上．
（1）將△ABC向左平移3格，再向上平移4格，得到，在方格紙中畫出；
（2）在方格紙中，畫出的高；
（3）線段與線段的關系為_______．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）平行且相等
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平移變換的規(guī)律作圖即可；
（2）延長，過點A向邊作垂線，交延長線于點D，連接即可；
（3）根據(jù)平移的性質即可得到答案．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖，即為所求；
【小問3詳解】
解：由平移的性質可知，且,
故答案為：平行且相等．
【點睛】本題考查了圖形的平移，三角形的高，理解題意，熟練掌握確定平移變換的性質是解題關鍵．
18. 如圖所示，是角平分線，是的垂直平分線，分別交、于點、，連結，若，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】是等邊三角形，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定，線段垂直平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定是解題的關鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質以及角平分線的定義可證，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得，然后利用證明，從而可得，再根據(jù)等量代換可得，即可解答．
【詳解】解：是等邊三角形，
理由：如圖，
是的垂直平分線，
，
平分，
，
，
，
，
是的垂直平分線，
，
，
，
是等邊三角形．
四．解答題（共3小題）
19. （1）如圖，已知，求作邊上的高（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的中，，，，求的面積．
【答案】（1）見詳解；（2）150
【解析】
【分析】本題考查了作垂線，含30度角的直角三角形的性質，掌握作垂線的方法和含30度角的直角三角形的性質是解題的關鍵．
（1）延長，過點做的垂線即可；
（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，可得，再根據(jù)面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：延長，過點做的垂線，即為邊上的高，
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的面積為150．
20. 如圖，在中，，點在上運動，點在上運動，始終保持與相等，的垂直平分線交于點，交于點，連接．
（1）判斷與的位置關系，并說明理由；
（2）若，，，求線段的長．
【答案】（1），理由見解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)等腰三角形的性質可得，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得，，進一步可得，即可得證；
（2）連接，在中，根據(jù)勾股定理，得，在中，根據(jù)勾股定理，得，列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：，理由如下：
，
，
垂直平分，
，
，
在中，，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解：連接，如圖所示：
，，，
，，
設，
則，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
，
解得，
．
21. 若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于它的一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．
（1）回顧在你學過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱．
（2）如圖，將繞頂點B按順時針方向旋轉得到，連接、、．
①證明：是等邊三角形；
②若，證明：四邊形是勾股四邊形．
【答案】（1）正方形、矩形；
（2）①見解析，②見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義和特殊四邊形的性質，可證明矩形或正方形是勾股四邊形；
（2）①由旋轉可知，得出，結合旋轉角可證；
②利用等邊三角形的性質，進一步得出是直角三角形，再利用勾股定理即可解決問題．
【小問1詳解】
解：如圖在正方形中，
正方形是勾股四邊形；
如圖在矩形形中，
矩形是勾股四邊形；
故答案為：正方形、矩形；
【小問2詳解】
證明：①∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形；
②∵，
∴，；
∵為等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
，
∴
∴四邊形是勾股四邊形
【點睛】此題考查旋轉的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是理解勾股四邊形的定義．
五．解答題（共2小題）
22. 一方有難八方支援，某市政府籌集了抗旱必需物資120噸打算運往災區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設每輛車均滿載）
（1）若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費6400元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？
（2）為了節(jié)約運費，該市政府決定甲、乙、丙三種車型至少兩種車型參與運送，已知它們總輛數(shù)為18輛，你能通過列方程組的方法分別求出幾種車型的輛數(shù)嗎？
（3）求出哪種方案的運費最??？最省是多少元．
【答案】（1）需甲車型8輛，需車型10輛
（2）甲車型10輛，乙車型5輛，丙車型3；
（3）方案的運費是6500元
【解析】
【分析】（1）設需甲車x輛，乙車y輛，根據(jù)運費600元，總噸數(shù)是120，列出方程組，再進行求解即可；
（2）設甲車有x輛，乙車有y輛，則丙車有z輛，列出等式，再根據(jù)x、y、z均為非負整數(shù)，求出x，y，z的值，從而得出答案．
（3）計算每種方案的運費，再比較即可求解．
【小問1詳解】
解：設需甲車型x輛，乙車型y輛，根據(jù)題意，得：
，
解得：，
答：需甲車型8輛，需車型10輛；
【小問2詳解】
解：甲車型x輛，乙車型y輛，丙車型z輛，根據(jù)題意，得：
，
消去z得5x+2y=60，
∴x=12-y，
因x，y是非負整數(shù)，且不大于18，得y=0，5，10，15，
則x=12，10，8，6；
又z是非負整數(shù)，解得z=6，3，0，
∴或或，
∴共有三種運送方案：
方案一：甲車型12輛，乙車型0輛，丙車型6輛；
方案二：甲車型10輛，乙車型5輛，丙車型3輛；
方案三：甲車型8輛，乙車型10輛，丙車型0輛；
【小問3詳解】
解：方案一的運費是：300×12+400×0+500×6=6600(元)．
方案二的運費是：300×10+400×5+500×3=6500(元)．
方案三的運費是：300×8+400×10+500×0=6400(元)．
∵6600元>6500元>6400元，
∴ 方案三的運費最省，最省是6400元．
答：甲車型8輛，乙車型10輛，丙車型0輛，運費最省，最省是6400元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組和三元一次方程的應用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學思想聯(lián)系起來，讀懂題列出方程即可求解．利用整體思想和未知數(shù)的實際意義通過篩選法可得到未知數(shù)的具體解，這種方法要掌握．
23. 背景知識：如圖，在中，，若，則：．
（1）解決問題：
如圖 （1），，，是過點的直線，過點作于點，連接，現(xiàn)嘗試探究線段、、之間的數(shù)量關系：過點作，與交于點，易發(fā)現(xiàn)圖中出現(xiàn)了一對全等三角形，即 ，由此可得線段、、之間的數(shù)量關系是： ；
（2）類比探究：
將圖 （1）中的繞點旋轉到圖（2）的位置，其它條件不變，試探究線段、、之間的數(shù)量關系，并證明；
（3）拓展應用：
將圖 （1）中的繞點旋轉到圖 （3）的位置，其它條件不變，若，，則的長為 （直接寫結果）．
【答案】（1），，
（2）；證明見解析
（3）5
【解析】
【分析】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質，構造全等三角形是解本題的關鍵．
（1）過點作，得到，判斷出，確定為等腰直角三角形即可．
（2）過點作于點，判斷出，確定為等腰直角三角形，即可得出結論；
（3）先判斷出，，得到為等腰直角三角形，得到，即可得出結論．
【小問1詳解】
解：如圖1過點作，與交于點，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案為：，，；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
如圖（2）過點作，與交于點，
同（1）的方法得，，
，，
，
，
，
；
【小問3詳解】
解：如圖（3）過點作，與交于點，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案為：5．車型
甲
乙
丙
汽車運載量（噸/輛）
5
8
10
汽車運費（元/輛）
300
400
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