數學
考試時間：100分鐘 分值;120分
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
一、選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．當a=6時，二次根式a?2的值是（ ）
A．?2B．2C．4D．16
2．下列運算正確的是（ ）
A．3+6=9B．53?3=5C．12÷3=4D．2×3=6
3．如圖，點P是平面坐標系中一點，則點P到原點的距離是（ ）
A．3B．2C．7D．53
4．下列各組數據中是勾股數的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，2，3
C．4，5，7D．5，12，13
5．已知三角形三邊長為a，b，c，如果 a?6 +|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，則△ABC是（ ）
A．以a為斜邊的直角三角形B．以b為斜邊的直角三角形
C．以c為斜邊的直角三角形D．不是直角三角形
6．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA=OC，AD∥BC，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若AC=BD，則四邊形ABCD是矩形
B．若BD平分∠ABC，則四邊形ABCD是菱形
C．若AB⊥BC且AC⊥BD，則四邊形ABCD是正方形
D．若AB=BC且AC⊥BD，則四邊形ABCD是正方形
7．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，M、N分別為BC、OC的中點，AB＝6，∠ACB＝30°，則MN的長為（ ）．
A．3B．4C．5D．6
8．古詩贊美荷花：“竹色溪下綠，荷花鏡里香．”平靜的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面12 cm，忽見它隨風傾斜，花朵恰好浸入水面．仔細觀察，發(fā)現荷花偏離原位置48 cm（如圖），則水的深度BC為（ ）
A．60 cmB．72 cmC．90 cmD．96 cm
9．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，將矩形沿對角線BD折疊，點C落在點C'處，BC'交AD于點E，則AE的長為（ ）
A．78B．12C．74D．54
10．如圖，在矩形ABCD中，O為AC的中點，過點O的一條直線分別與AB,CD交于點E，F，連接BF交AC于點M，連接DE,BO，若∠COB=60°，FO=FC，則下列結論：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四邊形EBFD是菱形；④MB:OE=3:2.其中正確結論的個數是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）
11．要使代數式1x?2024有意義，則x應滿足的條件是 ．
12．如果3x?12=1?3x，那么x的取值范圍是 ．
13．已知x+1為最簡二次根式，且能夠與12合并，則x的值是 ．
14．在北京召開了國際數學家大會，大會會標如圖，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，則兩條直角三角形的兩條邊的立方和等于 ．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，P為BC邊上任意一點（點P與點C不重合），連接PA，以PA，PC為鄰邊作?PAQC，連接PQ，則PQ長的最小值是 ．
三、解答題（16—19題每題6分，20—22每題8分，23題10分，24題12分，共70分）
16．計算：
（1）27?123；
（2）623+24；
（3）75?213+48；
（4）3+22+3+23?2．
17．計算下列各題：
（1）8×12÷123；
（2）3+23?2?5?12；
（3）24+0.5?18?6；
（4）22?322+3+1345÷5．
18．如圖，一次函數y=kx+b的圖像與反比例函數y=mx的圖像在第一象限交于點A(4,3)，與y軸的負半軸交于點B，且OA=OB．
（1）求反比例函數y=mx的表達式和點B的坐標．
（2）點P是反比例函數y=mx圖像上的點，若△BOP的面積是15，求點P的坐標．
19．如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米.
（1）求這塊空地的面積．
（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？
20．如圖，矩形AEBO的對角線AB，OE交于點F，延長AO到點C，使OC=OA，延長BO到點D，使OD=OB，連接AD，DC，BC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若OE=10，∠BCD=60°，求菱形ABCD的面積．
21．如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 邊上的中線，E，F 分別是AB，AC的中點，連結 EF，ED，FD.求證：AD=EF.
22．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，EF⊥AB于F點，OG∥EF交AB于點G．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BD的長．
23． 閱讀下列解題過程：
15+4=1×(5?4)(5+4)(5?4)=5?4(5)2?(4)2=5?4， 16+5=1×(6?5)(6+5)(6?5)=6?5(6)2?(5)2=6?5，
請回答下列問題：
（1）觀察上面的解答過程，請寫出 1100 +99= ；
（2）請你用含n（n 為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律；
（3）利用上面的解法，請化簡：
11+2+12+3+13+4++198+99+199+100
24．在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E，F是對角線AC上的兩個動點，分別從A，C同時出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運動時間為t秒，當其中一個動點到達后就停止運動．
（1）若G，H分別是AB，DC中點，求證：四邊形EGFH始終是平行四邊形．
（2）在（1）條件下，當t為何值時，四邊形EGFH為矩形．
（3）若G，H分別是折線A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的動點，與E，F相同的速度同時出發(fā)，當t為何值時，四邊形EGFH為菱形．
答案解析部分
1．B
2．D
3．A
4．D
5．C
因為 a?6 ＋|b－8|＋(c－10)2＝0，所以有(a－6) 2 =0， |b?8|=0 ，|c－10|=0，所以a=6，b=8，c=10，因為 a2+b2=c2 ，所以ABC的形狀是直角三角形，故答案為：C.
根據算術平方根和絕對值以及乘方的非負性可得a、b、c的值，然后根據勾股定理的逆定理即可解答.
6．D
解：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO
∵OA=OC，∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△COBAAS
∴AD=BC
∵AD∥BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
若AC=BD，則四邊形ABCD是矩形，故A選項不符合題意；
若BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
則四邊形ABCD是菱形，故B選項不符合題意；
若AB⊥BC且AC⊥BD，則四邊形ABCD是正方形，故C選項不符合題意；
若AB=BC且AC⊥BD，則四邊形ABCD是菱形，故D選項符合題意；
故答案為：D．
根據直線平行性質可得∠ADO=∠CBO，再根據全等三角形判定定理可得△AOD≌△COBAAS，則AD=BC，再根據平行四邊形判定定理可得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據矩形，正方形，菱形的判定定理逐項進行判斷即可求出答案.
7．A
8．C
9．A
10．C
11．x>2024
12．x≤13
13．2
14．35
15．245
解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，
當PQ⊥BC時，根據垂線段最短，此時PQ的長最小，
∴∠ADP=∠QPD=90°，
在Rt△ABC中
AC=BC2?AB2=102?62=8，
∵S△ABC=12AB·AC=12CB·AD，
∴6×8=10AD，
解之：AD=245；
∵平行四邊形PAQC，
∴AQ∥BC，
∴∠ADP=∠QPD=∠QAD=90°，
∴四邊形ADPQ是矩形，
∴PQ=AD=245.
故答案為：245
過點A作AD⊥BC于點D，當PQ⊥BC時，根據垂線段最短，此時PQ的長最小，利用垂直的定義可證得∠ADP=∠QPD=90°，利用勾股定理求出AC的長，利用直角三角形的兩個面積公式求出AD的長；再利用平行四邊形的性質及平行線的性質可推出∠ADP=∠QPD=∠QAD=90°，利用有三個角是直角的四邊形是矩形，可證得四邊形ADPQ是矩形，利用矩形的對邊相等，可求出PQ的長.
16．（1）1
（2）14
（3）2533
（4）6+26
17．（1）82；
（2）?5+25；
（3）36+24；
（4）0．
18．（1）解：∵A(4,3)在反比例函數y=mx的圖像上，
∴k=4×3=12，
∴y=12x．
過A點作AM⊥x軸于點M．
在Rt△AOM中，OM=4，AM=3．
∴OA=OM2+AM2=42+32=5．
又∵OA=OB，
∴B點的坐標為(0,?5)．
（2）解：設點P的坐標為(x,y)．
∵△BOP的面積是15，
∴12×OB?|x|=15，
∴|x|=6．
當點P在第一象限時，x=6，y=126=2．
∴P(6,2)；
當點P在第三象限時，x=?6，y=12?6=2．
∴P(?6,?2)．
故所求點P的坐標為(6,2)或(?6,?2)．
（1）根據待定系數法將點A坐標代入反比例函數解析式可得y=12x，過A點作AM⊥x軸于點M．根據勾股定理可得OA=5，由OA=OB，即可求出答案.
（2）設點P的坐標為(x,y)，根據三角形面積可得|x|=6，分情況討論即可求出答案.
19．（1）解：連接AC，如圖所示：
在Rt△ACD中，AC=CD2+AD2=5，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴這塊空地的面積=S△ABC-S△ACD=12×AC×BC-12×AD×CD=12×5×12-12×4×3=24m2；
故答案為：24m2；
（2）解：根據題意可得：24×200=4800（元），
故答案為：4800元.
（1）先利用勾股定理求出AC的長，再利用勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面積公式及割補法求出這塊空地的面積即可；
（2）利用“總價=單價×總面積”列出算式求解即可.
20．（1）證明：∵CO=AO，DO=BO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵四邊形AEBO是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴BD⊥AC，
∴四邊形ABCD是菱形．
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB=AB
∵∠BCD=60°
∴△BCD為等邊三角形
∴CD=CB=BD=AB
∵四邊形AEBO是矩形，
∴AB=OE=10，
∴BD=CB=10
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD=5，∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC=53
∴AC=103
∴S菱形ABCD=12AC?BD=12×10×103=503．
（1）先證出四邊形ABCD是平行四邊形，再結合BD⊥AC，即可證出四邊形ABCD是菱形；
（2）先求出BD=CB=10，再求出AC=103，最后利用菱形的面積等于對角線乘積的一半列出算式求解即可.
21．證明：∵ ∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，
∴ AD=12BC，
∵ E，F分別是AB，AC的中點，
∴ EF=12BC，
∴ AD=EF.
根據直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半可得AD=12BC，根據三角形的中位線等于第三邊的一半得EF=12BC，即可求得.
22．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中點，
∴OE是△ABD的中位線，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四邊形OEFG是平行四邊形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴平行四邊形OEFG是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中點，
∴OE=12AD=AE=5，
由（1）可知，四邊形EFCO是矩形，
∴FG=OE=5，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=90°，
∴AF=AE2?EF2=52?42=3，
∴BG=AB?AF?FG=10?3?5=2，
∵在直角三角形OGB中OB2=BG2+OG2=22+42=20，
∴OB=25，
∴BD=2OB=45．
（1）根據菱形性質可得OB=OD，再根據三角形中位線定理可得OE∥FG，再根據矩形判定定理即可求出答案.
（2）根據菱形性質可得AB=AD=10，AC⊥BD，再根據線段中點可得OE=12AD=AE=5，根據矩形性質可得FG=OE=5，再根據勾股定理可得AF，再根據邊之間的關系可得BG，再根據勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中點，
∴OE是△ABD的中位線，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四邊形OEFG是平行四邊形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴平行四邊形OEFG是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中點，
∴OE=12AD=AE=5，
由（1）可知，四邊形EFCO是矩形，
∴FG=OE=5，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=90°，
∴AF=AE2?EF2=52?42=3，
∴BG=AB?AF?FG=10?3?5=2，
∵在直角三角形OGB中OB2=BG2+OG2=22+42=20，
∴OB=25，
∴BD=2OB=45．
23．（1）10?311；（2）1n+1+n=n+1?n；（3）9．
24．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝32+42＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G，H分別是AB，DC中點，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG和△CEH中，
AG=CH∠GAF=∠HCEAF=CE，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）解：連接GH，如圖，
由（1）得：BG＝CH，BG∥CH，
∴四邊形BCHG是平行四邊形，
∴GH＝BC＝4，
當EF＝GH＝4時，平行四邊形EGFH是矩形，
分兩種情況：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5；
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5；
綜上所述：當t為0.5s或4.5s時，四邊形EGFH為矩形．
（3）解：連接AG、CH，如圖所示：
∵四邊形EGFH為菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∴OA＝OC，
∴四邊形AGCH是平行四邊形，
∵AG＝AH，
∴四邊形AGCH是菱形，
設AG＝CG＝x，則BG＝4﹣x，
由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝258，
∴BG＝4﹣258＝78，
∴AB+BG＝3+78＝318，
即t為318s時，四邊形EGFH為菱形．
（1）先利用“SAS”證出△AFG≌△CEH，利用全等三角形的性質可得GF=HE，再結合GE=HF，即可證出四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）連接GH，先求出GH＝BC＝4，再分類討論：①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，再求出t的值即可；
（3）連接AG、CH，先證出四邊形AGCH是菱形，再設AG＝CG＝x，則BG＝4﹣x，利用勾股定理可得AB2+BG2＝AG2，即32+（4﹣x）2＝x2，求出x的值，再利用線段的和差求出AB+BG＝3+78＝318，即可得到t為318s時，四邊形EGFH為菱形．
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝32+42＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G，H分別是AB，DC中點，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
根據題意得∶AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG和△CEH中，AG=CH∠GAF=∠HCEAF=CE，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）解：連接GH，如圖，
由（1）得：BG＝CH，BG∥CH，
∴四邊形BCHG是平行四邊形，
∴GH＝BC＝4，
當EF＝GH＝4時，平行四邊形EGFH是矩形，
分兩種情況：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5；
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5；
綜上所述：當t為0.5s或4.5s時，四邊形EGFH為矩形．
（3）解：連接AG、CH，如圖所示：
∵四邊形EGFH為菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∴OA＝OC，
∴四邊形AGCH是平行四邊形，
∵AG＝AH，
∴四邊形AGCH是菱形，
設AG＝CG＝x，則BG＝4﹣x，
由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝258，
∴BG＝4﹣258＝78，
∴AB+BG＝3+78＝318，
即t為318s時，四邊形EGFH為菱形．

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