A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?，所以?
故選：A.
2. 下列函數(shù)中，圖像關(guān)于軸對稱的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，對稱軸為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，函數(shù)沒有對稱軸，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)椋皇桥己瘮?shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
3. 在的展開式中，的系數(shù)等于（ ）
A. 6B. 12
C. 18D. 24
【答案】D
【解析】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，，
令，則，即的系數(shù)等于24.
故選：D
4. 在長方形中，為的中點(diǎn)，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)，則，如下圖所示：
因?yàn)?，，，所以，?br>所以，，故，
因此，.
故選：B.
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)，且被軸反射后將圓平分，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如下圖所示：
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，
由對稱性可知，點(diǎn)、、圓心三點(diǎn)共線，則，即，解得.
故選：A.
6. 設(shè)直線平面，平面平面直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】已知直線平面，平面平面直線，
若，由平面，則；
若，此時(shí)得不到，直線可能與平面相交，如下圖：
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
7. 已知函數(shù)．若，則（ ）
A.
B. 或
C.
D. 或
【答案】B
【解析】因?yàn)?，則該函數(shù)的最小正周期為，
由可得，
所以，函數(shù)的對稱軸方程為，
因?yàn)?，則或，
故選：B.
8. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，則此雙曲線的離心率的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
故選C.
9. 蜂巢的精密結(jié)構(gòu)是通過優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化自然形成的．若不計(jì)蜂巢壁的厚度，蜂巢的橫截面可以看成正六邊形網(wǎng)格圖，如圖所示．設(shè)為圖中7個(gè)正六邊形（邊長為4）的某一個(gè)頂點(diǎn)，為兩個(gè)固定頂點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A. 44B. 48
C. 72D. 76
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)，正六邊形的邊長為4，
所以，
所以，
所以，
設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則的最大值為，
由圖可知，離原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的正六邊形頂點(diǎn)為最外圍的頂點(diǎn)，
如圖，可取，
所以，
即的最大值為48.
故選：.
10. 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)的乘積為．若，則（ ）
A. 無最小值，無最大值B. 有最小值，無最大值
C. 無最小值，有最大值D. 有最小值，有最大值
【答案】D
【解析】由已知，是等比數(shù)列，，即，可得，
若，則，可計(jì)算當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合，可得即為的最小值，
同理，當(dāng)，，當(dāng)，，可知的最小值為，
綜上可得，有最小值.
由可得，，
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，必有滿足對于所有，，
因?yàn)橐欢ㄊ钦?fù)交替出現(xiàn)，可得一定存在最大值.
綜上，對于滿足已知條件的等比數(shù)列，滿足有最小值，有最大值.
故選：D
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 設(shè)為虛數(shù)單位，則________．
【答案】
【解析】.
故答案為：.
12. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則拋物線上一點(diǎn)到的距離為________．
【答案】3
【解析】由題可得，所以，
所以準(zhǔn)線，所以上一點(diǎn)到的距離為，
故答案為：3.
13. 設(shè)平面向量，，，且，則使得向量與共線的一組值________，________．
【答案】①. （答案不唯一，填也對） ②. （答案不唯一，第一空填，則第二空填，第一空填，則第二空填）
【解析】因?yàn)?，?br>所以，即，
因?yàn)椋?，所以?br>又向量與共線，，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
故答案：；（答；也對）
14. 端午節(jié)又名端陽節(jié)、粽子節(jié)等，它是中國首個(gè)入選世界非遺的節(jié)日．從形狀來分，端午節(jié)吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形狀可以近似看成一個(gè)四面體，如圖所示．設(shè)棱的長為，其余的棱長均為，則該四角粽的表面積為________，內(nèi)含食物的體積為________．（粽葉的厚度忽略不計(jì)）
【答案】①. ②.
【解析】,
所以為銳角，所以，
該四角粽的表面積
取中點(diǎn)為，連接，
則,
所以,即，
且，平面，
所以平面，
內(nèi)含食物的體積為.
故答案為：；.
15. 記表示不超過實(shí)數(shù)最大整數(shù)．設(shè)函數(shù)，有以下四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)為單調(diào)函數(shù)；
②對于任意的，或；
③集合（為常數(shù)）中有且僅有一個(gè)元素；
④滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為8．
其中，所有正確結(jié)論的序號是________．
【答案】①②④
【解析】，且，則，則，即，
則在上單調(diào)遞增，故①正確；
當(dāng)，時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，有，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，
故②正確；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合在上單調(diào)遞增可知，當(dāng)時(shí)，方程無解，故集合為空集，故③錯(cuò)誤；
設(shè)，，其中，，則，因，則，
則，
在每個(gè)單位正方形內(nèi)，的值從到，但不包括，因此在的區(qū)域內(nèi)的每個(gè)單位正方形內(nèi)，的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為1，
由于的區(qū)域內(nèi)的單位正方形有個(gè)，因此滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為圖中的面積8.
故答案為：①②④
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 如圖，在多面體中，平面，平面平面，，于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）設(shè)，，求直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：如圖，因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，平面平面?br>所以，

（2）解：在平面內(nèi)過點(diǎn)作．
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因平面，平面，所以，，
因平面，平面，則平面平面，
又因?yàn)?，平面平面，則平面，
所以，，兩兩互相垂直．
以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
，，，，
由題意，得，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，，于是，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為．
17. 在中，．
（1）求的值；
（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求邊上的高．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解：（1）由正弦定理，且，
得，即．
由，得．所以．
由，得，所以．
（2）選擇條件①：因?yàn)?，且余弦函?shù)在上單調(diào)遞減，
故，又因?yàn)?，從而可得，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故①不成立.
選擇條件②：由，且，得．
由余弦定理，得，
解得或（舍）．
設(shè)邊上高為，則三角形面積，
所以．
選擇條件③：由，且，得．
由，且，得．
所以．
由正弦定理，得，所以邊上的高．
18. 發(fā)展純電動、插電式混合動力等新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強(qiáng)國的必由之路．為調(diào)查研究，某地統(tǒng)計(jì)了轄區(qū)內(nèi)從年至年這年的新能源汽車和純電動汽車的銷量，得到如下折線圖（單位：百輛）：
在每一年中，記該年純電動汽車銷量占該年新能源汽車銷量的比重為．
（1）從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求該年值超過的概率；
（2）現(xiàn)從年至年這年中依次隨機(jī)抽取，每次抽取個(gè)年份，若該年的值超過，則停止抽取，否則繼續(xù)從剩余的年份中抽取，直至抽到值超過的年份．記抽取的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）記年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為，且這年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為，寫出與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
解：（1）設(shè)從年至年這年中隨機(jī)抽取1年，且該年的值超過為事件，
由圖表知，
年的值為，年的值為，
年的值為，年的值為，
年的值為，年的值為，
年的值為，年的值為，
所以在年至年這年中，有且僅有年至年這年的值超過，
所以．
（2）由圖表知，在年至年這年中，值超過的有年，
所以隨機(jī)變量的所有可能取值為，，．
則，，．
所以的分布列為：
故的數(shù)學(xué)期望．
（3）從年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以從年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差
所以
從年至年這年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
從年至年這年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的方差
所以，
所以.
19. 已知橢圓離心率為，為橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于．
（1）求橢圓的方程；
（2）若關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．用與分別表示與的面積，證明：．
（1）解：由題意，得解得，，
所以橢圓的方程為．
（2）證明：由題意，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，．
設(shè)直線的方程為，．由得．
所以，，，
故，．
又因?yàn)椋?br>所以，
去分母化簡得到，所以或．
當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，．
故.
20. 已知函數(shù)，其中．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，，求使得不等式成立的的最小值．
解：（1）由，則，
則，解得．
（2）由，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，令，得，
若，由，得；由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
若，由，得；由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.
綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以．
由，得，
令，則，
由，得或．
當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又因?yàn)?，，且?br>所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以使得成立的的最小值為2．
21. 如圖，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且滿足與均是公差不為的等差數(shù)列．
若根據(jù)條件，能求出數(shù)表中所有的數(shù)，則稱能被確定．
（1）已知，分別根據(jù)下列條件，直接判斷數(shù)表能否被其確定：
條件“已知”；
條件“已知”．
（2）設(shè)條件“任意給定數(shù)表中的個(gè)數(shù)”， 能被確定，證明：的最小值為；
（3）設(shè)條件“已知集合或其中中的任意個(gè)元素”，求的最小值，使得能被確定．
（1）解：數(shù)表不能被確定；數(shù)表能被確定．
對于條件，假設(shè)數(shù)表中每行、每列的公差都相等，均為，
則，，，
則，
、均無法確定，故數(shù)表不能被確定；
對于條件，因?yàn)?、確定，可以根據(jù)確定，則第二行可以全部確定，
低于第二列，由于確定，結(jié)合可確定第二列的公差，進(jìn)而可求出，則第二列可以全部確定，
對于第三行，由于確定了，結(jié)合可求出第三行的公差，由此可確定，則第三行可以全部確定，
對于第一列，由于確定了、，可以求出第一列的公差，由此可確定，則第一列可以全部確定，
綜上所述，數(shù)表可由條件確定.
（2）證明：對于一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若知其中兩項(xiàng)與，
便可根據(jù)，求出該等差數(shù)列中的每一項(xiàng)．
故對于數(shù)表中的任意一行（或列），若知道其中的兩個(gè)數(shù)，便可利用條件得到該行（或列）中的所有數(shù)．
一方面，若知這個(gè)數(shù)，則無法求出，故不能得出數(shù)表中所有的數(shù)，
所以．
另一方面，若知數(shù)表中的任意個(gè)數(shù)，則必存在表中的兩行，且這兩行中至少有兩個(gè)數(shù)已知，
于是數(shù)表中這兩行的數(shù)都能被求出，即數(shù)表中每一列都至少有兩個(gè)數(shù)已知，
所以數(shù)表中所有的數(shù)都能求出，即能被確定．
綜上，的最小值為．
（3）解：當(dāng)時(shí)，若知中的個(gè)數(shù)，則不能求出中所有的數(shù)．
當(dāng)時(shí)，已知與中的任意個(gè)數(shù)，
則必存在兩個(gè)數(shù)在中位于同一行（記為第行），從而可求出這一行中的所有數(shù)．
因?yàn)榕c中至多有兩個(gè)數(shù)在同一行，
所以除去第行的兩個(gè)數(shù)外，余下已知的個(gè)數(shù)必在其余的行中．
當(dāng)時(shí)，通過列舉可知：余下已知的2個(gè)數(shù)不在同一列中（所在列分別記為第列和第列）；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谂c中至多有兩個(gè)數(shù)在同一列，
所以至少有兩列（記為第列和第列）中含有這已知的數(shù)中的數(shù)．
又因?yàn)榈谛械臄?shù)均已得到，
所以在第列與第列中均至少知道兩個(gè)數(shù)，故這兩列中所有的數(shù)都可求出，
于是數(shù)表中每一行至少有兩個(gè)數(shù)均已得到，從而可求出數(shù)表中所有的數(shù)．
綜上，的最小值為．1
+
0
-
0
+
↗
極大值
↘
極小值
↗
…
…
…
…

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