北京市西城區(qū)2024屆高三下學(xué)期5月模擬測試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分選擇題共40分
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）.
1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得出，再運算化簡即可.
【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，所以，，
所以.
故選：D．
2. 已知向量，滿足，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量坐標運算，先求出，再逐一驗證即可.
【詳解】因為，，
所以，
所以，故A錯；
，故B正確；
，故C錯；
因為，所以不平行，故D錯.
故選：B
3. 已知集合，．若，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)交集結(jié)果可確定的范圍，由此可得結(jié)果.
【詳解】，，，，
即的最小值為.
故選：C.
4. 設(shè)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用賦值法，令，即可求得正確答案.
【詳解】依題意，，
令，得；
令，得，
所以.
故選：B.
5. 已知．則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以充分性成立，
取，滿足，但，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
6. 已知雙曲線的焦點在軸上，且的離心率為，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得，化簡即可得出答案.
【詳解】化簡雙曲線可得，
因為雙曲線的焦點在軸上，所以，
所以的離心率為，
則，所以.
故選：C.
7. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象再關(guān)于軸對稱，得到函數(shù)的圖象，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換即可得變換后的函數(shù)的解析式.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得函數(shù)為，
則函數(shù)的圖象再關(guān)于軸對稱得函數(shù).
故選：D.
8. 楔體形構(gòu)件在建筑工程上有廣泛的應(yīng)用．如圖，某楔體形構(gòu)件可視為一個五面體，其中面為正方形．若，，且與面的距離為，則該楔體形構(gòu)件的體積為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，分別為，的中點，連接，，，由，，，可知為三棱柱，再利用椎體與柱體的體積關(guān)系計算該幾何體的體積．
【詳解】如圖所示，

設(shè)，分別為，的中點，連接，，，
因為面為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以，
因為，分別為，的中點，，，
所以，則為平行四邊形，則，
同理，又，所以為三棱柱，
由題意，可得；
又；
所以該多面體的體積為．
故選：C．
9. 已知是無窮等比數(shù)列，其前項和為，．若對任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量求得，從而可得公差，由等比數(shù)列得前項和公式得，分類討論，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可得求得滿足不等式時的取值范圍.
【詳解】因為等比數(shù)列，由可得，所以，
則公比，所以，
當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，所以，
又數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，，則此時；
當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，所以，
又數(shù)列為遞增數(shù)列，，則此時；
綜上，的取值范圍是.
故選：D.
10. 一組學(xué)生站成一排.若任意相鄰的3人中都至少有2名男生，且任意相鄰的5人中都至多有3名男生，則這組學(xué)生人數(shù)的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考慮前7個人，分別每相鄰的3人取成一組與每相鄰的5人取成一組，從而推出矛盾，再考慮人數(shù)為6的情況，由此得解.
【詳解】如果人數(shù)大于6，考慮前7個人：，
每相鄰的3人取成一組，則有5組，
因為任意相鄰的3人中都至少有2名男生，所以這5個組里至少有10名男生，
即這15人中至少有10名男生；
每相鄰的5人取成一組，則有3組，
因為任意相鄰的5人中都至多有3名男生，所以這3個組里至多有9名男生，
即這15人中至多有9名男生；
顯然矛盾，故人數(shù)不可能大于6，
當(dāng)人數(shù)6時，用表示男生，表示女生，則可以.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是找到矛盾的分界人數(shù)，利用條件推出矛盾，從而得解.
第二部分非選擇題共110分
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）.
11. 函數(shù)的定義域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得出，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域是：
，解得：.
故答案為：.
12. 已知圓經(jīng)過點和，且與直線相切，則圓方程為_______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)圓的方程為，進而利用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】設(shè)圓的方程為，
則由題意可得，解得，
所以圓的方程為
故答案為：
13. 已知函數(shù)．直線與曲線的兩個交點如圖所示，若，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_______；_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)和，可構(gòu)造方程求得，并確定為半個周期，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可構(gòu)造方程組求得.
【詳解】設(shè)，
由得：，，
又，，解得：，
此時的最小正周期，
，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
和分別為單調(diào)遞減區(qū)間的起點和終點，
當(dāng)時，，
，，又，；
綜上所述：，.
故答案為：；.
14. 已知函數(shù)，，其中．
①若函數(shù)無零點，則的一個取值為_______；
②若函數(shù)有4個零點，則_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①結(jié)合函數(shù)的圖象，函數(shù)無零點，即與的圖象無交點，所以可得到的一個取值；②由圖象對稱，即可算出的值.
【詳解】畫函數(shù)的圖象如下：
①函數(shù)無零點，即無解，
即與的圖象無交點，所以，可?。?br>②函數(shù)有4個零點，即有4個根，
即與的圖象有4個交點，
由關(guān)于對稱，所以，
關(guān)于對稱，所以，
所以.
故答案為：；.
15. 在數(shù)列中，，．給出下列三個結(jié)論：
①存在正整數(shù)，當(dāng)時，；
②存在正整數(shù)，當(dāng)時，；
③存在正整數(shù)，當(dāng)時，．
其中所有正確結(jié)論的序號是_______．
【答案】②③
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求出，用差比較法可判定各選項.
【詳解】對于①：由，，可得，
又，當(dāng)時，
因為，所以時，故①錯誤；
對于②：，又，
結(jié)合①的結(jié)論時，
所以當(dāng)時，，故②正確；
對于③：，
，
所以當(dāng)時，，
所以，故③正確；
故答案為：②③.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于求出，根據(jù)遞推關(guān)系分析出當(dāng)時，進而判定①，利用差比較法結(jié)合結(jié)論①可判定②③.
三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）.
16. 已知函數(shù)．在中，，且．
（1）求的大?。?br>（2）若，且的面積為，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡函數(shù)，根據(jù)題意，得到，進而求得，即可求解；
（2）由（1）和的面積取得，利用余弦定理得，進而求得的值，即可求得的周長.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)，
因為，可得，
在中，因為，所以，
又因為，所以，所以，解得，
因為，所以.
【小問2詳解】
解：由（1）知，因為的面積為，所以，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，所以，
即，所以，
所以的周長為.
17. 如圖，正方體的棱長為，為的中點，點在上．再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點唯一確定，并解答問題．
條件①：；條件②：；條件③：平面．
（1）求證：為的中點；
（2）求直線與平面所成角的大小，及點到平面的距離．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）證明見解析
（2）；
【解析】
【分析】（1）分別選條件①②③，結(jié)合線面平行位置關(guān)系判定定理和性質(zhì)定理，即可得證；
（2）以為原點，建立空間直角坐標系，求得向量和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合，即可求解.
【小問1詳解】
證明：選條件①：由，
根據(jù)正方體的對稱性，此時點為上的任意一點，所以不成立；
選條件②：．
連接，在正方體中，由平面，
因為平面，所以，
又因為，，所以，
因為平面，所以，
又因為為的中點，所以為的中點．
選擇條件 ③：平面．
連接，因為平面，平面，
且平面平面，所以所以，
因為為的中點，所以為的中點．
【小問2詳解】
解：在正方體中，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則．于是，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成角的大小為，
點到平面的距離為.
18. 為研究中國工業(yè)機器人產(chǎn)量和銷量的變化規(guī)律，收集得到了年工業(yè)機器人的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)，如下表所示．
記年工業(yè)機器人產(chǎn)量的中位數(shù)為，銷量的中位數(shù)為．定義產(chǎn)銷率為“”．
（1）從年中隨機取年，求工業(yè)機器人的產(chǎn)銷率大于的概率；
（2）從年這年中隨機取年，這年中有年工業(yè)機器人的產(chǎn)量不小于，有年工業(yè)機器人的銷量不小于．記，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）從哪年開始的連續(xù)年中隨機取年，工業(yè)機器人的產(chǎn)銷率超過的概率最小．結(jié)論不要求證明
【答案】（1）
（2）分布列見解析；
（3）2018年和年
【解析】
【分析】（1）按古典概型的概率計算求解.
（2）先根據(jù)中位數(shù)的概念確定，的值，在確定，的所有可能值，進一步得的所有可能的取值，再求的分布列.
（3）計算產(chǎn)銷率，可直接得到結(jié)論.
【小問1詳解】
記事件為“工業(yè)機器人的產(chǎn)銷率大于”．
由表中數(shù)據(jù)，工業(yè)機器人的產(chǎn)銷率大于的年份為年，年，年，年，共年．
所以．
【小問2詳解】
因為，，
所以的所有可能的取值為；的所有可能的取值為．
所以的所有可能的取值為．
，，．
所以的分布列為：
故的數(shù)學(xué)期望．
【小問3詳解】
2018年和年．
19. 已知函數(shù)，其中．
（1）若在處取得極小值，求的值；
（2）當(dāng)時，求在區(qū)間上最大值；
（3）證明：有且只有一個極值點．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用可導(dǎo)函數(shù)的極小值點是導(dǎo)數(shù)值為0的充分不必要條件來解題需要檢驗；
（2）一階導(dǎo)函數(shù)不能夠判斷正負，需要借助二階導(dǎo)函數(shù)來進一步研究一階導(dǎo)函數(shù)的取值恒為正，從而來判斷原函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增的，即可得到最大值；
（3）一階導(dǎo)函數(shù)看不出零點及取值的正負，但可以對參數(shù)分兩類討論，當(dāng)時，是二次函數(shù)易得證，當(dāng)，則需要二階導(dǎo)函數(shù)，此時聯(lián)想到不等式可證，則可判斷，從而得到的單調(diào)性，然后判斷函數(shù)零點的存在性，問題即可得證.
【小問1詳解】
由，
因為在處取得極小值,所以，
即，解得，
檢驗：當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足題意，
所以．
【小問2詳解】
當(dāng)時，，．
令，則，
因為，所以，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即的最大值為．
【小問3詳解】
由，
當(dāng)時，，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得：
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以恰有一個極值點；
當(dāng)時，設(shè)，
則．
因為，且，
所以，即在上單調(diào)遞增．
因為，，
所以存在，使，
根據(jù)在上單調(diào)遞增，
可知當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
可知當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
即恰有一個極值點．
綜上所述，當(dāng)時，有且只有一個極值點．
20. 已知橢圓的一個頂點為，焦距為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點是第一象限內(nèi)橢圓上一點，過作軸的垂線，垂足為．點關(guān)于原點的對稱點為，直線與橢圓的另一個交點為，直線與軸的交點為．求證：三點共線．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）依題意可得、的值，從而求出，即可得解；
（2）設(shè)，表示出直線的方程，即可求出點坐標，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消元，設(shè)，利用韋達定理求出，從而表示出，計算出，即可得證.
【小問1詳解】
依題意可得，解得，
所以橢圓方程為．
【小問2詳解】
[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則，，其中，．
則直線的方程為，令，可得，所以，
又直線的方程為，
由，消去整理得，
所以，
設(shè)，所以，解得．
所以，所以．
由題意，點均不在軸上，所以直線的斜率均存在，
且
，
即，所以、、三點共線．

[方法二]：轉(zhuǎn)化思想
設(shè)則，
且，，，
則:，令，則，，
又:，:，
設(shè)與交于點，由，解得，
若、、三點共線，則點為點，即點在橢圓上，
則只需證明，
，
所以點在橢圓上，所以、、三點共線.

[方法三]：
設(shè)且，則，，
∵，所以:，
由，消去整理得，
所以，設(shè)，則，
所以，則，
，
又:，令，則，，
，
又，
所以
，∴、、三點共線.
[方法四]：
依題意的斜率存在且不為，設(shè)的方程為，
，消去整理得，
顯然，所以，，，
，則，
所以，則的方程為，
由，所以，
顯然，，
所以，
則，
所以
，
又，
所以，
∴、、三點共線.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
21. 已知數(shù)列，從中選取第項、第項、…、第項構(gòu)成數(shù)列，稱為的項子列．記數(shù)列的所有項的和為．當(dāng)時，若滿足：對任意，，則稱具有性質(zhì)．規(guī)定：的任意一項都是的項子列，且具有性質(zhì)．
（1）當(dāng)時，比較的具有性質(zhì)的子列個數(shù)與不具有性質(zhì)的子列個數(shù)的大小，并說明理由；
（2）已知數(shù)列．
（?。┙o定正整數(shù)，對的項子列，求所有的算術(shù)平均值；
（ⅱ）若有個不同的具有性質(zhì)的子列，滿足：，與都有公共項，且公共項構(gòu)成的具有性質(zhì)的子列，求的最大值．
【答案】（1）的具有性質(zhì)的子列個數(shù)大于不具有性質(zhì)的子列個數(shù)；理由見解析
（2）（?。唬áⅲ┮娊馕?
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義得出時，共有個子列，結(jié)合性質(zhì)的內(nèi)容即可判斷；
（2）（?。└鶕?jù)是的項子列，也是的項子列，可得，又有個項子列，即可求出結(jié)果；
（ⅱ）設(shè)的首項為，末項為，記，則可得對任意，都有，故共有種不同的情況，又，所以分為奇數(shù)或者偶數(shù)兩種情況進行分析即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，共有個子列，
其中具有性質(zhì)的子列有個，
故不具有性質(zhì)的子列有個，
所以的具有性質(zhì)的子列個數(shù)大于不具有性質(zhì)的子列個數(shù)．
【小問2詳解】
（?。┤羰堑捻椬恿?，
則也是的項子列．
所以．
因為給定正整數(shù)，有個項子列，
所以所有的算術(shù)平均值為．
（ⅱ）設(shè)的首項為，末項為，記．
若存在，使，則與沒有公共項，與已知矛盾．
所以，對任意，都有．
因為對于，，，
所以共有種不同的情況．
因為互不相同，
所以對于不同的子列，與中至多一個等式成立．
所以．
當(dāng)是奇數(shù)時，取，，
共有個滿足條件的子列．
當(dāng)是偶數(shù)時，取，，
共有個滿足條件的子列．
綜上，為奇數(shù)時，的最大值為；為偶數(shù)時，的最大值為．
【點睛】方法點睛：（1）閱讀理解能力考查；（2）分類討論思想；（3）數(shù)列和集合概念的理解.
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