注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 已知，則（）
A. B. C. 4D. 2
3. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A. B. C. D.
4. 若直線與圓相切，則圓的半徑為（）
A. 2B. 4C. D. 8
5. 從裝有2個白球、3個紅球的箱子中無放回地隨機取兩次，每次取一個球，表示事件“兩次取出的球顏色相同”，表示事件“兩次取出的球中至少有1個是紅球”，則（）
A. B. C. D.
6. 已知兩個非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，則滿足的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
8. 已知，設(shè)函數(shù)，若存在，使得，則取值范圍是（）
A. B.
C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，點，是曲線的兩個相鄰的對稱中心，則（）
A. 的最小正周期為B. 在區(qū)間上的最大值為2
C. 直線是曲線的一條對稱軸D. 在區(qū)間上有3個零點
10. 設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論正確的為（）
A. 若，則為等差數(shù)列B. 若，則
C. 若，則是公差為的等差數(shù)列D. 若，則的最大值為1
11. 已知拋物線的焦點為，，為上的兩點，過，作的兩條切線交于點，設(shè)兩條切線的斜率分別為，，直線的斜率為，則（）
A. 的準(zhǔn)線方程為
B，，成等差數(shù)列
C. 若在準(zhǔn)線上，則
D. 若在的準(zhǔn)線上，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中，的系數(shù)為_____________.（用數(shù)字作答）
13. 已知為坐標(biāo)原點，若雙曲線右支上存在兩點，，使得，則的離心率的取值范圍是_____________.
14. 已知某圓錐內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐側(cè)面積的最小值為_____________.
四、解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 已知數(shù)列滿足，.
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求.
16. 近年來，我國青少年近視問題呈現(xiàn)高發(fā)性、低齡化、重度化趨勢. 已知某校有學(xué)生200人，其中40人每天體育運動時長小于1小時，160人每天體育運動時長大于或等于1小時，為研究體育運動時長與青少年近視的相關(guān)性，研究人員采用分層隨機抽樣的方法從學(xué)生中抽取50人進行調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：
（1）請完成上表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運動時長有關(guān)？
（2）為進一步了解近視學(xué)生的具體情況，現(xiàn)從調(diào)查的近視學(xué)生中隨機抽取3人進行進一步的檢測，設(shè)隨機變量為體育運動時長小于1小時的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
參考公式：，其中.
17. 如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點.
（1）證明：；
（2）設(shè)為的中點，在棱上，滿足平面，求與平面所成角的正弦值.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）已知有兩個極值點.
（?。┣蟮娜≈捣秶?；
（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.
19. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，點，且為等腰直角三角形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點為上的一個動點，求面積的最大值；
（3）若直線與交于兩點，且，證明：直線過定點.體育運動時長小于1小時
體育運動時長大于或等于1小時
合計
近視
4
無近視
2
合計
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2023~2024學(xué)年度5月質(zhì)量檢測
高二數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先確定，再根據(jù)集合交集的定義求解.
【詳解】由，解得，所以；
又由，解得，所以.
所以.
故選：B.
2. 已知，則（）
A. B. C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算可得，，即可得模長.
【詳解】由題意可得，則，
所以.
故選：A.
3. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】由題意可知：的定義域為，且，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故選：B.
4. 若直線與圓相切，則圓的半徑為（）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列方程即可得解.
【詳解】依題意，，解得（負(fù)值舍），所以圓的半徑為.
故選:C.
5. 從裝有2個白球、3個紅球的箱子中無放回地隨機取兩次，每次取一個球，表示事件“兩次取出的球顏色相同”，表示事件“兩次取出的球中至少有1個是紅球”，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出和，再利用條件概率的公式求解.
【詳解】由于我們不考慮兩次取球的順序，故可以視為從該箱子中一次性隨機取出兩個球.
從而，，故.
故選：A.
6. 已知兩個非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由分析可知，結(jié)合投影向量的定義分析求解.
【詳解】由，則，整理可得，
所以在方向上的投影向量為.
故選：D.
7. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性分大于1或小于1進行討論即可得解.
【詳解】由是奇函數(shù)及在上單調(diào)遞增，
所以，則關(guān)于對稱，
當(dāng)時，，此時若，則，即，所以，
當(dāng)時，，此時若，則，即，所以，
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)或時，.
故選：C.
8. 已知，設(shè)函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】當(dāng)時，的最小值為，然后分是否大于1，討論在時的最小值，由此分別列出不等式即可求解.
【詳解】當(dāng)時，易知的最小值為，
當(dāng)時，，令，解得，
若，則在上單調(diào)遞增，且時，，
所以只需，解得或，
又，所以，
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
成立，所以符合題意，
綜上，的取值范圍是.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及到含參分段函數(shù)的最值時，一般討論時盡量做到有序討論，這樣可以不充不漏，從而即可順利得解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，點，是曲線的兩個相鄰的對稱中心，則（）
A. 的最小正周期為B. 在區(qū)間上的最大值為2
C. 直線是曲線的一條對稱軸D. 在區(qū)間上有3個零點
【答案】ABC
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析周期性，即可得結(jié)果；對于B：由選項A可知：，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)求最值；對于C：結(jié)合選項B中的最值分析判斷；對于D：結(jié)合周期性分析判斷.
【詳解】對于選項A：設(shè)最小正周期為，且，
由題意可知：，可得，，故A正確；
對于選項B：由選項A可知：，
當(dāng)時，則，
可知當(dāng)，即時，取到最大值2，
所以在區(qū)間上的最大值為2，故B正確；
對于選項C：由選項B可知：當(dāng)時，取到最大值2，
所以直線是曲線的一條對稱軸，故C正確；
對于選項D：因為的最小正周期為，
且在一個周期長度內(nèi)至多只有2個零點，故D錯誤；
故選：ABC.
10. 設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論正確的為（）
A. 若，則等差數(shù)列B. 若，則
C. 若，則是公差為的等差數(shù)列D. 若，則的最大值為1
【答案】ABD
【解析】
【分析】由遞推數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)即可逐一判斷各個選項，從而得解.
【詳解】當(dāng)時，，所以為等差數(shù)列，A選項正確；
，所以是公差為-1的等差數(shù)列，C選項錯誤；
當(dāng)時，，所以，B選項正確；
由可知，，所以，D選項正確.
故選：ABD.
11. 已知拋物線的焦點為，，為上的兩點，過，作的兩條切線交于點，設(shè)兩條切線的斜率分別為，，直線的斜率為，則（）
A. 的準(zhǔn)線方程為
B. ，，成等差數(shù)列
C. 若在的準(zhǔn)線上，則
D. 若在的準(zhǔn)線上，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可判斷A，設(shè)，，可以用表示，進一步判斷B，設(shè)直線：，：，從而得到，進一步結(jié)合B選項分析可判斷C，由拋物線定義結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】對A，拋物線：，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A選項錯誤；
對B，設(shè)，，
∵，∴，，，
∴，B選項正確；
對C，由上可知直線：，：，
解得，，，，C選項正確；
對D，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D選項正確.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷C選項的關(guān)鍵是得出，進一步結(jié)合，即可順利判斷.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中，的系數(shù)為_____________.（用數(shù)字作答）
【答案】-80
【解析】
【分析】直接利用二項式展開式，通過賦值即可得解.
【詳解】的展開式的通項為，
令，的系數(shù)為.
故答案為：-80.
13. 已知為坐標(biāo)原點，若雙曲線的右支上存在兩點，，使得，則的離心率的取值范圍是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意得出，其中，結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，即，
所以，離心率.
故答案為：.
14. 已知某圓錐內(nèi)切球的半徑為1，則該圓錐側(cè)面積的最小值為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，，整理可得側(cè)面積為，換元，結(jié)合基本不等式分析求解.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，且母線與底面所成角為，
則，，
可得圓錐側(cè)面積為，
設(shè)，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以該圓錐側(cè)面積的最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 已知數(shù)列滿足，.
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求.
【答案】（1）證明見解析
（2）39
【解析】
【分析】（1）分析可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；
（2）由（1）可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)列式求解.
【小問1詳解】
因為，則，
且，可得，
所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列；
【小問2詳解】
由（1）可得：，則，
由題意可得：，，
即，解得，所以的值為39.
16. 近年來，我國青少年近視問題呈現(xiàn)高發(fā)性、低齡化、重度化趨勢. 已知某校有學(xué)生200人，其中40人每天體育運動時長小于1小時，160人每天體育運動時長大于或等于1小時，為研究體育運動時長與青少年近視的相關(guān)性，研究人員采用分層隨機抽樣的方法從學(xué)生中抽取50人進行調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：
（1）請完成上表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運動時長有關(guān)？
（2）為進一步了解近視學(xué)生的具體情況，現(xiàn)從調(diào)查的近視學(xué)生中隨機抽取3人進行進一步的檢測，設(shè)隨機變量為體育運動時長小于1小時的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
參考公式：，其中.
【答案】（1）可以認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運動時長有關(guān)
（2）分布列見詳解，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；
（2）由題意可知：的可能取值為0，1，2，3，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.
【小問1詳解】
由題意可知：抽取50人中體育運動時長小于1小時的人數(shù)為，
據(jù)此可得列聯(lián)表：
零假設(shè)：學(xué)生是否近視與體育運動時長無關(guān)，
可得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出成立，
因此可以認(rèn)為不成立，即認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運動時長有關(guān).
【小問2詳解】
由題意可知：的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列為
的期望.
17. 如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點.
（1）證明：；
（2）設(shè)為的中點，在棱上，滿足平面，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明過程見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只需結(jié)合已知以及線面垂直的判定定理證明平面，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出的方向向量與平面的法向量，由向量夾角的余弦的坐標(biāo)公式即可得解.
【小問1詳解】
連接，設(shè)與交于點，因為，且，
所以，
所以，
所以，
又在直三棱柱中，，平面，平面，
故，
又，，平面，所以平面，
又平面，故；
小問2詳解】
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
，，
設(shè)，，
因為平面，平面，平面，
所以，
則由，得，解得，
所以平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成角為，
，則，
所以與平面所成角的正弦值為.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）已知有兩個極值點.
（?。┣蟮娜≈捣秶?；
（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（?。唬áⅲ?br>【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）（?。┓治隹芍}意等價于有兩個不同的正實數(shù)根，結(jié)合基本不等式分析求解；（ⅱ）設(shè)有兩個不同的正實數(shù)根，根據(jù)單調(diào)性可知的極值點，結(jié)合零點代換可得，構(gòu)建，結(jié)合單調(diào)性分析可得，則，即可得取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，則，，
可得，，
即切點坐標(biāo)為，切線斜率，
所以曲線在處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
（ⅰ）由題意可知：的定義域為，，
令，可得，
原題意等價于有兩個不同的正實數(shù)根，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
可知，所以的取值范圍；
（ii）由（i）可知：有兩個不同的正實數(shù)根，，
不妨設(shè)，可知，
當(dāng)時，；當(dāng)或時，；
可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以為的極小值點，為的極大值點，
對于的極值點，則，
可得，
設(shè)，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，可知，則，
又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以的極大值的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法
（1）若求極值，則先求方程的根，再檢查在方程根的左右函數(shù)值的符號；
（2）若探究極值點個數(shù)，則探求方程在所給范圍內(nèi)實根的個數(shù)；
（3）若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況來求解；
（4）求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值，與的各極值進行比較，從而得到函數(shù)的最值．
19. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，點，且為等腰直角三角形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點為上的一個動點，求面積的最大值；
（3）若直線與交于兩點，且，證明：直線過定點.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合離心率列式求，即可得方程；
（2）設(shè)，根據(jù)點到直線的距離結(jié)合三角函數(shù)分析可知：取到最大值，即可得面積最大值；
（3）設(shè)直線：，，，根據(jù)向量夾角結(jié)合向量運算分析可得，進而可得，即可得定點.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的焦距為，
由題意可知：，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由（1）可知：，則直線的斜率為，且，
可知直線：，即，
因為點為橢圓上的一個動點，設(shè)，
則點到直線的距離，
其中，
可知當(dāng)時，取到最大值，
所以面積最大值為.
【小問3詳解】
由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線：，，，
因為，則，即，
又因為點在橢圓上，則，即，
可得，
同理可得：，
且，，
可得，則，
整理可得，
顯然，則，即，
可得直線：，
所以直線過定點.
【點睛】方法點睛：過定點問題的兩大類型及解法
（1）動直線l過定點問題．解法：設(shè)動直線方程（斜率存在）為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動直線過定點；
（2）動曲線C過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．
體育運動時長小于1小時
體育運動時長大于或等于1小時
合計
近視
4
無近視
2
合計
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
體育運動時長小于1小時
體育運動時長大于或等于1小時
合計
近視
8
4
12
無近視
2
36
38
合計
10
40
50
0
1
2
3

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山東省部分名校2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月大聯(lián)考試題含解析：

這是一份山東省部分名校2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月大聯(lián)考試題含解析，共23頁。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答等內(nèi)容，歡迎下載使用。

河南省部分重點高中(青桐鳴)2024屆高三(上)期末大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版)：

這是一份河南省部分重點高中(青桐鳴)2024屆高三(上)期末大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共12頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024河南省部分重點高中高二下學(xué)期5月大聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含解析：

這是一份2024河南省部分重點高中高二下學(xué)期5月大聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含解析，共21頁。

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