2025.3
注意事項
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁.共150分，考試時間為120分鐘.
2.試題所有答案必須書寫在答題紙上，在試卷上作答無效.
3.考試結束后，將答題紙交回，試卷按學校要求保存好.
第I卷選擇題（共40分）
一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有，個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上，）
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，則復數(shù)對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）．
A. B. 5C. D. 10
5. 已知是平面內(nèi)兩個非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
6. 在等比數(shù)列中，，記，則數(shù)列（ ）
A. 無最大項，有最小項B. 有最大項，無最小項
C. 有最大項，有最小項D. 無最大項，無最小項
7. 已知函數(shù)，若在區(qū)間上沒有最值，則的最大值為（ ）
A. B. C. D. 2
8. 冰淇淋蛋筒是大家常見的一種食物，有種冰淇淋蛋筒可以看作是由半徑為10cm，圓心角為的扇形蛋卷坯卷成的圓錐，假設高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶油體積相等，則該種冰淇淋中奶油的總體積約為（ ）（忽略蛋筒厚度）
A. B.
C. D.
9. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）間的關系為，其中是正的常數(shù)，如果前消除了的污染物，那么從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函數(shù)，任取，定義集合：，點，滿足.設分別表示集合中元素的最大值和最小值，記.則函數(shù)的最小值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
第II卷非選擇題（共110分）
二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上.）
11. 拋物線上一點到準線的距離與到對稱軸的距離相等，則__________.
12. 《張邱健算經(jīng)》是公元5世紀中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天計）共織了440尺，推算第10天該女子織了__________尺布.”
13. 記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值為_________.
14. 已知函數(shù)，當時，的值域是__________，若有兩個極值點，則的取值范圍是__________.
15. 已知各項均不為零的數(shù)列，其前項和是，且.給出如下結論：
①；
②若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是；
③存在實數(shù)，使得為等比數(shù)列；
④，使得當時，總有.
其中所有正確結論的序號是__________.
三?解答題（本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
16. 在中，.
（1）求的大??；
（2）再從下列三個條件中，選擇一個作為已知，使得存在且唯一，求的面積.
條件①：；
條件②：；
條件③：邊上的高為.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
17. 如圖，在四棱錐中，平面平面等腰直角三角形，.
（1）點在棱上，若平面，求證：為的中點；
（2）求與平面所成的角.
18. 某科研團隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準確性，科研團隊從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對他們進行了一次檢測，結果如下：
（1）試估計使用該試劑盒進行一次檢測結果正確的概率；
（2）若從該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，求恰有一人檢測結果錯誤的概率；
（3）假設該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機選取一人，用該試劑盒對其檢測一次.若檢測結果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.2？并說明理由.
19. 已知橢圓的離心率為，短軸長為2，斜率為的直線與橢圓交于兩點，與軸交于點，點關于軸的對稱點為點，直線與軸交于點為坐標原點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的值.
20. 已知函數(shù).
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）當變化時，曲線在點處的切線斜率能否為1？若能，求的值，若不能，說明理由.
21. 對于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.定義變換，若，將變成0，1，若，將變成1，0，得到新的“數(shù)列”.設是“數(shù)列”，令.
（1）若數(shù)列.求數(shù)列；
（2）若數(shù)列共有10項，則數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至多有多少對？請說明理由；
（3）若為0，1，記數(shù)列中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為.求關于的表達式.
參考答案
第I卷選擇題（共40分）
一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有，個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上，）
1. 【答案】D
【分析】根據(jù)并集的定義即可求.
【詳解】，
故選：D
2. 【答案】B
【分析】利用復數(shù)的除法運算化簡，即可根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】由可得，
故復數(shù)z對應的點為，位于第二象限.
故選：B
3. 【答案】C
【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性即可逐一求解.
【詳解】對于A，，由于，故在區(qū)間上不是單調(diào)遞增的，A錯誤，
對于B, 在區(qū)間上單調(diào)遞減，B錯誤，
對于C,當時，單調(diào)遞增，且值恒為正，故為單調(diào)遞減，所以為單調(diào)遞增，C正確，
對于D，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，D錯誤，
故選：C
4. 【答案】C
【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式為：，
令可得：，則的系數(shù)為：.
故選：C.
【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．
5. 【答案】D
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結合向量平行定理，即可判斷.
【詳解】若，，
所以，，
當時，，當時，，此時
故“”是“”的不充分條件，
因為，若，則，當且僅當方向相同時取到等號，則恒成立，故 ，但兩個向量間的系數(shù)不確定，不能推出“”；
綜上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D
6. 【答案】C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出，進而結合等差數(shù)列的求和公式可得，設，分析可得，進而求解判斷即可.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，
由，
則，解得，，
則，
則
，
設，則，
所以，
則時，，即，
當時，，即，
則，則為最大項，
此時為正數(shù)項，且在正數(shù)項中最大；
再比較和，其中一個為第二大的項，
由于，，因此為最小項.
故選：C.
7. 【答案】A
【分析】由，得，進而結合題意可得，進而求解即可.
【詳解】由，，
則，
因為在區(qū)間上沒有最值，
所以，
則，解得，
所以的最大值為.
故選：A.
8. 【答案】D
【分析】由扇形弧長，求得底面半徑及高，再由圓錐體積公式即可求解；
【詳解】設圓錐底面面積為，
由題意可知，
所以，
設圓錐得高為，則，
所以圓錐的體積為：，
所以該種冰淇淋中奶油的總體積約為，
故選：D
9. 【答案】A
【分析】由題意得到，求得，再設消除的污染物對應事件為，消除的污染物對應事件為，得到方程，，求解即可；
【詳解】由題意可知：，即，即，
設消除的污染物對應事件為，即，
設消除的污染物對應事件為，即，
兩式相除可得：，
即，
所以：，
即從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷，
故選：A
10. 【答案】B
【分析】作出函數(shù)的圖象， 根據(jù)的位于不同的位置，即可分情況求解.
【詳解】如圖所示，的圖象，此時，函數(shù)的最小正周期為 ，
點,
當點在點時，點在曲線上， ，
當點在曲線上從接近時，減小，所以逐漸增大；
當點在點時，
當點在曲線上從接近時，減小，逐漸減小，
當點在點時，
當點在曲線上從接近時，增大, 逐漸增大，
當點在點時，
當點在曲線上從接近時，增大,逐漸見減小，
當點在點時，,
綜上可得的最小值是1
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)點的位置變化，分別求解的值.
第II卷非選擇題（共110分）
二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上.）
11. 【答案】
【分析】由拋物線的定義可知，過作軸的垂線垂足是焦點，即可得到答案.
【詳解】拋物線焦點在軸上，且焦點，故拋物線的對稱軸為軸，
拋物線上一點到準線的距離與到對稱軸的距離相等，
由拋物線的定義可知，點到準線的距離與到焦點的距離相等，
所以，若軸，則垂足為點，即，
故答案為：
12. 【答案】11
【分析】記公差為，根據(jù)已知求出再利用等差數(shù)列的通項公式求解.
【詳解】由題得每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，首項，記公差為，
由題得，所以
所以.
故答案為：11
13. 【答案】2（注：區(qū)間內(nèi)任何一個值）
【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由題意可知雙曲線的漸近線為，離心率，
若滿足直線與C無公共點，則需，
故答案為：2
14. 【答案】 ①. ②.
【分析】結合二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性，可得分段函數(shù)的單調(diào)性，結合值域的概念以及極值點的概念，建立不等式，可得答案.
【詳解】由，則，
當時，，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時；
當時，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.
綜上可得.
由題意可設函數(shù)的兩個極值點分別為，且，
由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
一次函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，
易知函數(shù)在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，，可得，解得.
故答案為：；.
15. 【答案】①②④
【分析】根據(jù)的遞推關系可得，所以的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，進而得，即可結合選項求解.
【詳解】由得，相減可得，
由于各項均不為零，所以，所以的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，
對于①，，故正確；
對于②，由于的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，所以，
若，則需要，則，故正確，
對于③，，若為等比數(shù)列，則為常數(shù)，則，
此時，故，進而可得數(shù)列的項為顯然這不是等比數(shù)列，故錯誤，
對于④，若，只要足夠大，一定會有 ，
則，只要足夠的大， 趨近于0，
而，顯然能滿足，故，當時，總有，故正確，
故答案為：①②④
【點睛】方法點睛：本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列單調(diào)性及與數(shù)列有關的比較大小問題．根據(jù)數(shù)列前項和與數(shù)列的項的遞推關系求通項公式時，注意分析，在處理涉及隔項數(shù)列問題，一般要考慮分為奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論，含參的恒成立或者存在類問題，先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求式子的最大值或最小值問題來處理．
三?解答題（本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
16. 【答案】（1）
（2）答案見解析
【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，結合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理邊角互化求解，
（2）根據(jù)三角形存在可知不能選①，選②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面積公式求解，或者利用正弦定理求解，進而根據(jù)和差角公式求解,由面積公式求解，選③根據(jù)高，即可利用選②的方法求解.
【小問1詳解】
方法一：由正弦定理及，得
.①
因為，
所以.②
由①②得
因為，所以.
所以.因為，所以.
方法二：在中，因為，
由余弦定理得，
整理得
所以，所以.
【小問2詳解】
若選條件①：；，所以,而，這與矛盾，故不能選①.
選條件②：
方法一：由余弦定理，得
即，解得.
所以
方法二：由正弦定理，所以，因為
，所以，
所以.
選條件③：
邊上的高，所以，
以下與選擇條件②相同.
17. 【答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結合平行四邊形的定義，可得答案；
（2）由題意建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量與平面的法向量，利用線面角的向量公式，可得答案.
【小問1詳解】
在中，過點作交于點，連接，
因為，所以，所以四點共面.
因為平面，平面，
平面平面，所以.
所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以為的中點.
【小問2詳解】
過作于，連接.
因為，所以為中點，
，，所以四邊形為平行四邊形，
又，所以，
又因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面.所以，
所以.
如圖建立空間直角坐標系.
因為，
由題意得，，
所以.
設平面的法向量為，則即
令，則.所以平面的一個法向量為.
設與平面所成角為，
則，
又，解得.
所以與平面所成的角為
18. 【答案】（1）0.94
（2）
（3）超過，理由見解析
【分析】（1）由古典概型概率計算公式求解即可；
（2）設事件：患者檢測結果正確，事件：非患者檢測結果正確“，事件：該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結果錯誤，由求解即可；
（3）求得檢測一次結果為陽性的人數(shù)，確定其中患者人數(shù)，即可判斷；
【小問1詳解】
由題意知，使用該試劑盒進行一次檢測共有100人，其中檢測結果正確的共有94人，
所以使用該試劑盒進行一次檢測結果正確的概率估計為.
【小問2詳解】
設事件：患者檢測結果正確，事件：非患者檢測結果正確“，
事件：該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結果錯誤；
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可估計為可估計為
該地區(qū)的患者中抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結果錯誤的概率為
該地區(qū)的非患者中抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結果錯誤的概率為
所以，
所以.
因此恰有一人檢測結果錯誤的概率為
【小問3詳解】
此人患該疾病的概率超過0.2.理由如下：
由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測一次，
那么結果為陽性的人數(shù)為，其中患者人數(shù)為900.
若某人檢測結果為陽性，那么他患該疾病的概率為.
19. 【答案】（1）
（2）1
【分析】（1）由短軸長的概念以及離心率的計算，解得的關系式，建立方程組，可得答案；
（2）設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理，由直線方程求得交點坐標，可得答案.
【小問1詳解】
由題意可知：，解得，
所以橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
設直線的方程為，點.
由得
所以題意，即.
.
直線與軸交于點，所以.點
直線的方程為，
令，得，①
又因為，
帶入①式
所以.
20. 【答案】（1）
（2）的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.
（3）能，
【分析】（1）利用導數(shù)求得，利用點斜式方程可求切線方程；
（2）求導得，令，求導得，可得結論；
（3）由題意判斷方程的解的情況，令求導可得結論.
【小問1詳解】
當時，則，
，
，
所以在點處的切線方程為.
【小問2詳解】
當時，函數(shù)的定義域是，
所以，
令，
所以，
當時，；當時，，
所以在時為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在處取得最大值，
又，故恒成立，
所以的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.
【小問3詳解】
由題意知，因為，
所以，即有，
令
則，
故是上的增函數(shù)，又，因此0是的唯一零點，
即方程有唯一實根0，所以.
所以曲線在點處的切線斜率能為1，此時.
21. 【答案】（1）
（2）至少有19對，理由見解析
（3）答案見解析
【分析】（1）根據(jù)變換的定義，逆向推導即可；
（2）根據(jù)中每個1和0在中的對應情況，即可求解和證明；
（3）對參數(shù)分類討論，結合變換的定義以及等比數(shù)列求和，即可求得結果.
【小問1詳解】
由變換的定義可得.
【小問2詳解】
數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至多有19對.
證明：對于任意一個“數(shù)列”中每一個1在中對應連續(xù)四項，
在中每一個0在中對應的連續(xù)四項為，
因此，共有10項的“數(shù)列”中的每一個項在中都會對應一個連續(xù)相等的數(shù)對，
在中若出現(xiàn)連續(xù)兩項的數(shù)對最多，
對于中的每一個第項和第項之間產(chǎn)生一個連續(xù)相等的數(shù)對，
所以中至多有19對連續(xù)相等的數(shù)對.
比如：取，則
【小問3詳解】
設中有個01數(shù)對，
中的00數(shù)對只能由中的01數(shù)對得到，所以，
中的01數(shù)對有兩個產(chǎn)生途徑：①由中的1得到；②由中00得到，
由變換的定義及可得中0和1的個數(shù)總相等，且共有個.
所以，得，
由可得，
所以，
當時，
若為偶數(shù)，．
上述各式相加可得，
經(jīng)檢驗，時，也滿足．
若為奇數(shù)，．
上述各式相加可得，
經(jīng)檢驗，時，也滿足．
所以．
【點睛】方法點睛：學生在理解相關新概念、新法則(公式)之后，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).
抽樣人群
陽性人數(shù)
陰性人數(shù)
患者
36
4
非患者
2
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