2025.03
本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分 選擇題（共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（ ）
A. 5B. C. 3D.
3. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A. 60B. －60C. 160D. －160
4. 已知，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上.若M的橫坐標(biāo)為1，且，則p的值為（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
6. 已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，，，則B. 若，，則
C. 若，，，則D. 若，，，則
7. 已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“，”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 在平行四邊形中，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為外接圓的圓心，，且，則的最大值為（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
9. 圖1是出土于陜西西安的金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯.它杯口外侈，器壁內(nèi)弧，腹部內(nèi)收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用復(fù)雜的金筐寶鈿工藝，器腹以如意云頭紋分割，內(nèi)焊團(tuán)花，邊緣排滿小金珠，是唐代金銀器精品.圖2是某校陶藝社團(tuán)的同學(xué)仿照金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯制作的一只團(tuán)花紋陶藝杯，其主體部分（忽略杯底部分）外輪廓可近似看作雙曲線C的一部分.經(jīng)測量，該陶藝杯主體部分上底直徑（即杯口直徑）約，下底直徑約，腹部最細(xì)處直徑約，主體部分高約，則下列各數(shù)中與雙曲線C的離心率最接近的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. B. 2C. D. 3
10. 如圖，正方體的棱長為2，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在唯一的點(diǎn)F，使得A，，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
②的最小值為；
③存在點(diǎn)F，使得；
④有且僅有一個(gè)點(diǎn)F，使得平面截正方體所得截面的面積為.
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分 非選擇題（共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則______.
12. 已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，______；若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
13. 已知，，是公比不為1的等比數(shù)列，將，，調(diào)整順序后可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則滿足條件的一組，，的值依次為______.
14. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中M，N是直線與曲線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn).若，則______，______.
15. 已知函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②對任意實(shí)數(shù)a，都沒有最小值；
③當(dāng)時(shí)，設(shè)的零點(diǎn)從大到小依次為，，，…，則對任意正整數(shù)i，都有；
④對任意實(shí)數(shù)a，m，存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為______.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16.（本小題13分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求a.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
17.（本小題14分）
如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.
18.（本小題13分）
京廣高速鐵路是世界上運(yùn)營里程最長的高速鐵路之一，也是中國客運(yùn)量最大、運(yùn)輸最為繁忙的高速鐵路之一.某日從北京西到廣州南的部分G字頭高鐵車次情況如下表：
注：以下高鐵車次均能準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)
（Ⅰ）某乘客從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，求這趟列車的運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率；
（Ⅱ）甲、乙、丙3人分別從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，其中甲必須上午出發(fā)，乙必須下午出發(fā)，丙的出發(fā)時(shí)間沒有限制，且甲、乙、丙3人的選擇互不影響.
（i）記隨機(jī)變量X為甲、乙、丙選取的列車中運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（ii）甲、乙、丙3人中，誰選取的列車運(yùn)行時(shí)長最短的概率最大？（結(jié)論不要求證明）
19.（本小題15分）
已知橢圓E：，以E的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且面積為1.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N.過M作直線的垂線，垂足為Q.求證：直線過定點(diǎn).
20.（本小題15分）
已知函數(shù)，直線l是曲線在點(diǎn)處的切線.
（Ⅰ）當(dāng)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求l的方程；
（Ⅱ）若存在l經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，B為l與y軸的交點(diǎn)，表示的面積.求的最小值.
21.（本小題15分）
已知無窮遞增數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，記數(shù)列為數(shù)列的自身子數(shù)列.
（Ⅰ）若，寫出數(shù)列的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）若數(shù)列與是公差分別為，的等差數(shù)列.
（i）證明：；
（ii）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
參考答案
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 12. 0； 13. 1，－2，4（答案不唯一） 14. 2， 15. ②④
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16.（本小題13分）
解：（Ⅰ）在中，因?yàn)椋?br>由余弦定理，得.
因?yàn)?，所?…………5分
（Ⅱ）選擇條件①：
因?yàn)椋裕?
由題意得，所以（1）.
因?yàn)椋?br>所以
.
由正弦定理，得（2），
由（1）（2）解得，所以.…………13分
選擇條件②：
由題意得，所以（1）.
因?yàn)?，且，所?
又，所以（2）
由（1）（2）解得或.…………13分
17.（本小題14分）
解：（Ⅰ）在中，因?yàn)?，，?br>所以.
所以.
又，所以.
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>平面，所以平面.…………5分
（Ⅱ）分別取，中點(diǎn)O，E，連接，.所以.
因?yàn)?，所?
又因?yàn)闉榈冗吶切危?
因?yàn)槠矫?，平面，所?
又因?yàn)?，所?
所以，，兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，.
所以，，.
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則，.于是.
設(shè)直線與平面所成角為，則
.
所以直線與平面所成角的正弦值為.…………14分
18.（本小題13分）
解：（Ⅰ）上表中的7趟車次中，列車運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的有4趟.
設(shè)事件“從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，這趟列車的運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)”，則.…………3分
（Ⅱ）（i）甲選取的列車運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率為，乙選取的列車運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率為，丙選取的列車運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率為.
X的所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列為：
X的數(shù)學(xué)期望.…………11分
（ii）甲.…………13分
19.（本小題15分）
解：（Ⅰ）由題意得解得，，.
所以橢圓E的方程為.…………5分
（Ⅱ）由題意知，直線的斜率存在.
設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，則，
由得.
因?yàn)椋?，且?
直線的方程為：，
令，得，即，
當(dāng)時(shí)，
，
解得，所以直線過定點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，直線為x軸.
綜上，直線過定點(diǎn).…………15分
20.（本小題15分）
解：（Ⅰ）當(dāng)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，
，，
，，
所以直線l的方程為，即.…………4分
（Ⅱ）因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
所以直線l的方程為.
因?yàn)閘經(jīng)過點(diǎn)，所以，化簡得.
設(shè)，由題意知，存在，使得.
又因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
所以在時(shí)取得最小值.
因?yàn)椋?，解?
此時(shí).
因?yàn)椋?br>所以只需.所以a的取值范圍是.…………9分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，
，，
直線l的方程為.
令，得，即，
所以.
由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，
因?yàn)?，所以恒成立?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.…………15分
21. （本小題15分）
解：（I）1，5，9，13，（4分）
（II）因?yàn)閿?shù)列 是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均為正整數(shù)，于是，
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
C
D
A
C
B
B
X
0
1
2
3
P

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