（本試卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上；.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書(shū)寫在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙，試題卷上答題無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡收回.
一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，
1.已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量，則向量在向量方向上的投影是（ ）
A.-1 B.1 C. D.
4.已知如圖中程序框圖的輸出結(jié)果為1275，則判斷框里可填（ ）
A. B. C. D.
5.在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A.21 B.24 C.27 D.29
6.二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的，即441個(gè)點(diǎn).根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉個(gè)二維碼，那么所有二維碼大約可以用（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A.萬(wàn)年 B.萬(wàn)年 C.萬(wàn)年 D.萬(wàn)年
7.直線與曲線相切的一個(gè)充分不必要條件為（ ）
A. B. C. D.
8.從五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
9.如圖，在正方體中，已知點(diǎn)為底面的中心，為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A.平面
B.平面
C.異面直線與所成的角等于
D.直線與平面所成的角等于
10.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，其中且雙曲線漸近線的斜率絕對(duì)值小于，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，則正數(shù)的最小值為；
③若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為；
④若函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.若拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，，圓為的外接圓，直線與圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上.
13.已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，則的最大值為_(kāi)_________.
14.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.
15.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有內(nèi)切球，則此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為_(kāi)_________.
16.已知四邊形中，，設(shè)與的面積分別為，則的最大值為_(kāi)_________.
三?解答題（本大題共6小題，共70分）解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17.（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18.（12分）同城配送是隨即時(shí)物流發(fā)展而出現(xiàn)的非標(biāo)準(zhǔn)化服務(wù)，省時(shí)省力是消費(fèi)者使用同城配送服務(wù)的主要目的.某同城配送服務(wù)公司隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了800名不同年齡消費(fèi)者每月的同城配送服務(wù)使用頻率，得到如下頻數(shù)分布表：
（1）若年齡在內(nèi)的人位于年齡段，年齡在內(nèi)的人位于年齡段II，每月使用同城配送服務(wù)低于5次的為使用頻率低，不低于5次的為使用頻率高，補(bǔ)全下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為同城配送服務(wù)的使用頻率高低與年齡段有關(guān)？
（2）從樣本中每月使用同城配送服務(wù)次且年齡在內(nèi)的消費(fèi)者中按照年齡段利用分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人，記這2人中年齡在與內(nèi)的人數(shù)分別為，若，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中附：
19.（12分）四棱錐中，，底面為等腰梯形，，為線段的中點(diǎn)，.
（1）證明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.（12分）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為是直線上除外的任意一點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之比為3.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，判斷是否成等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.
21.（12分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
選做題：請(qǐng)考生在22?23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方柜涂黑.
22.（10分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線是以為圓心的半圓，曲線是以為圓心的圓，曲線都過(guò)極點(diǎn).
（1）分別寫出曲線，曲線的極坐標(biāo)方程；
（2）射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求面積的最大值.
23.（10分）[選修4-5：不等式選講]
已知.
（1）若，解不等式；
（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為3，若正數(shù)滿足，證明：.
雅安市高2021級(jí)第三次診斷性考試
數(shù)學(xué)（理科）參考答案
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1-5AACDA 6-10ABCDD 11-12BB
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13.15 14.-1 15. 16.14
三?解答題（本大題共6小題，共70分）
17.（1）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）可知，記，
，
，
兩式相減得
18.（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：
所以
所以有的把握認(rèn)為跑腿服務(wù)的使用頻率高低與年齡有關(guān).
（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)分別為5，3，依題意，的所有可能取值分別為為，
所以，
，
，
所以的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望為
19.（1）證明：因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，
所以，
在等腰梯形中，作于，則由得，
所以，所以，
因?yàn)?，所以所以，所?br>，
所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以平面
因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，
因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以平面.
（2）解：因?yàn)椋裕?br>取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫妫裕?br>又所以平面
所以如圖，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，令平面法向量，
，
取
由（1）知平面，則平面的法向量，
設(shè)二面角所成平面角為，則，
所以二面角的余弦值為.
20.（1）由已知得.
設(shè)，則.
所以橢圓的方程為.
（2）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，的方程：，
不妨設(shè)，
，
所以
②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，如圖，設(shè)的方程：.
由，得.
則
又，所以.
綜上，.所以成等差數(shù)列.
21.（1）當(dāng)時(shí)，，
，
，
在上單調(diào)遞增，，
的值域?yàn)?br>（2）法一：令，
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立.
②當(dāng)時(shí)，
，
在上單調(diào)遞增，成立.
③當(dāng)時(shí)，，
，
在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
，
存在使得當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，
則，不合題意.
④當(dāng)時(shí)，令，
則，
在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
，即在上單調(diào)遞增，成立.
綜上，的取值范圍是.
法二：令，
，
令得.
①當(dāng)時(shí)，，
令，
，
在上單調(diào)遞增，恒成立.
②當(dāng)時(shí)，，
，使，這與恒成立矛盾.
綜上，.
22.（1）曲線是以為圓心的半圓，
所以半圓的極坐標(biāo)方程為，
曲線以為圓心的圓，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為.
故半圓，圓的極坐標(biāo)方程分別為：
（2）由（1）得：.
點(diǎn)到直線的距離.
所以
其中，當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為4.
23.（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，
當(dāng)時(shí)，可以化為，解得；
當(dāng)時(shí)，可以化為，得；
當(dāng)時(shí)，可以化為，解得，不等式不成立；
綜上，可得不等式的解集為
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由可得（舍）或，故，
由柯西不等式可得
，即得
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即.取等號(hào).每月1次
50
40
40
90
每月2次
80
80
100
60
每月5次
60
75
56
47
每月10次以上
10
5
4
3
年齡段I
年齡段II
合計(jì)
使用頻率高
使用頻率低
合計(jì)
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
年齡段I
年齡段II
合計(jì)
使用頻率高
150
110
260
使用頻率低
250
290
540
合計(jì)
400
400
800
-2
0
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