數(shù)學（理工類）
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設表示有限集合中元素的個數(shù)．則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)是（ ）
A． B． C． D．2
3．的展開式中，系數(shù)最小的項是（ ）
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
4．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．甲、乙兩位學生在學校組織的課后服務活動中，準備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機選擇其中一項，記事件：甲和乙選擇的活動各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（ ）
A． B． C． D．
6．設，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
7．在等比數(shù)列中，若，則等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函數(shù)的定義域為恒成立．當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
9．已知函數(shù)，下列結論中
①當時，的最小值為3 ②函數(shù)是奇函數(shù)
③函數(shù)的圖象關于點對稱 ④是圖象的一條切線
正確結論的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函數(shù)（且），設且對任意實數(shù)恒成立，，若在區(qū)間有且只有三個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．質點和在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，當和從圓與軸正半軸的交點同時出發(fā)，且點的角速度是點的角速度大小的2倍．當點第一次運動到射線與圓的交點時，點運動到點處，此時等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)，設，則等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．某校期末統(tǒng)考數(shù)學成績服從正態(tài)分布．按15%，35%，35%，15%的比例將考試成績劃為四個等級，其中分數(shù)大于或等于83分的為等級，則等級的分數(shù)應為___________．（用區(qū)間表示）
14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的取值范圍是___________．（用區(qū)間表示）
15．已知，若，則的最小值為___________．
16．已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的最小值為___________．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（本小題滿分12分）
在圓的內接四邊形中，．
（1）求的長和的大??；
（2）求四邊形的面積和圓的面積．
18．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)在時有極小值．曲線在點處的切線方程為．
（1）求的值；
（2）若對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
19．（本小題滿分12分）
“一帶一路”是促進各國共同發(fā)展，實現(xiàn)共同繁榮的合作共贏之路．為了了解我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿易量情況，隨機抽查了100天進口貿易量與出口貿易量（單位：億人民幣/天）得下表：
（1）估計事件“我國與該國貿易中，一天的進口貿易量與出口貿易量均不超過100億人民幣”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為“我國與該國貿易中一天的進口貿易量與出口貿易量”有關？
附：．
20．（本小題滿分12分）
已知各項均為正數(shù)的數(shù)列中，是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設的前項和為，求證：對恒成立．
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）設是的導函數(shù)，若在上有兩個極值點．求實數(shù)的取值范圍．
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
22．（10分）【選修4—4：坐標系與參數(shù)方程】
在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線．
（1）說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標方程；
（2）將曲線的極坐標方程化為直角坐標系方程，并指出它的曲線類型．
23．（10分）【選修4—5：不等式選講】
已知，函數(shù)．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積等于6時，求的值．
雅安市高2021級高三“零診”考試參考答案
數(shù)學（理工類）
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B
13． 14． 15．1 16．
17．（12分）
解：（1）在四邊形中，四點共圓，則與互補，且為銳角． 1分
設，則，故，
在中，由余弦定理，得
即……① 3分
在中，由余弦定理，得，
即……② 5分
由①和②解之得，，
所以．（為銳角） 6分
（2）由，知， 7分
四邊形的面積等于與面積之和，
故 8分
10分
在中，由正弦定理得，（設為的半徑） 11分
故，所以圓的面積為． 12分
18．（12分）
解：（1）
1分
由已知即 4分
當時，在上單調遞增．
當時，在上單調遞減．
當時，在時有極小值．
故符合題意，即為所求． 6分
（2），即對任意實數(shù)恒成立， 7分
設，
則． 8分
當時，，則，故在上單調遞增；
當時，，則，故在上單調遞減； 10分
當時，，則，故時有極小值，也就是的最小值，
故即為所求． 12分
19．（12分）
解：（1）由題中表中的信息可知，在100天中，進口貿易與出口貿易均不超過100的天數(shù)為 2分
用頻率估計概率，可得所求概率為 4分
（2）列出列聯(lián)表如下：
8分
（3）由（2）得 10分
所以有99%的把握認為我國與該國貿易中一天的進口貿易量與出口貿易量有關． 12分
20．（12分）
解：（1）在等差數(shù)列中，首項為，公差為．
則，則……① 1分
在等比數(shù)列中，首項，公比為
則，則……② 2分
當和時，有 3分
解得：或（這與恒成立矛盾，舍去） 4分
故 5分
經(jīng)檢驗，符合題設，即為所求． 6分
（2）……①
……② 7分
由得： 8分
9分
∵數(shù)列中，對任意正整數(shù)恒成立 10分
顯然，即．（由，故是遞增數(shù)列，） 11分
故． 12分
21．（12分）
解：（1）由知 1分
當即．
即時， 2分
當即
即時， 3分
故的單調整遞增區(qū)間為
的單調遞減區(qū)間為． 4分
（2）
5分
由題意得，在上有兩個不相等的實根，且在每個實根兩側的符號不同．
即有兩個實根且在每個實根兩側的符號不同． 6分
設，則 7分
則且得 8分
當時，，故在上單調遞增
當時，．故在上單調遞減 9分
所以的最大值為． 10分
故時，在上有兩個實根，且在每個實根兩側的符號不同．所以的取值范圍為． 12分
22．（10分）
解：（1）消去參數(shù)，得，
所以是以為圓心，為半徑的圓． 2分
將代入其中，則得
整理得．這就是的極坐標方程． 5分
（2）由曲線的極坐標方程，得
即 8分
這就是曲線的直角坐標系方程，它表示以為圓心，以2為半徑的圓． 10分
23．（10分）
解：（1）當時，原不等式可化為，此時原不等式無解 1分
當時，原不等式可化為，解得 2分
當時，原不等式可化為，解得 3分
綜上所述，的解集為． 5分
（2）由，得 6分
作出的大致圖象，如圖所示 7分
函數(shù)的圖象與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，
． 8分
故 9分
由已知且
解之得． 10分進口
出口
32
18
4
6
8
12
3
7
10
進口
出口
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
進口
出口
64
16
10
10

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