（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知表示空間中兩條不同的直線，表示一個(gè)平面，且∥，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別為3，2，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個(gè)三棱柱的表面積是（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)為某正方體的一條體對角線，為該正方體的各頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)所構(gòu)成的點(diǎn)集，若從中任選兩點(diǎn)連成線段，則與垂直的線段數(shù)目是（ ）
A．12B．21C．27D．33
6．設(shè)A，B，C，D為拋物線上不同的四點(diǎn)，A，D關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點(diǎn)D處的切線l.設(shè)點(diǎn)D到直線和直線的距離分別為，，已知.則（ ）
A．B．C．1D．
7．設(shè)函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．
8．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得2分。
9．某電影藝術(shù)中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問卷，共回收有效問卷4000份，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝0.028
B．在4 000份有效問卷中，短視頻觀眾年齡在10~20歲的有1 320人
C．估計(jì)短視頻觀眾的平均年齡為32歲
D．估計(jì)短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲
10．如圖，將一塊邊長為4m的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，正四棱錐的側(cè)面積為
B．當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積為
C．當(dāng)時(shí)，正四棱錐外接球的體積為
D．正四棱錐的體積最大值為
11．已知，動點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為
B．的最小值為
C．是的任意兩個(gè)位置點(diǎn)，則
D．過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知，則的最小值為.
13．若存在實(shí)數(shù)及正整數(shù)使得在內(nèi)恰有2024個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的正整數(shù)的值有個(gè)．
14．設(shè)，則的最大值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性．
16．在對于一些敏感性問題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給出真實(shí)答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能如實(shí)回答問題．某單位為提升員工的工作效率，規(guī)范管理，決定出臺新的員工考勤管理方案，方案起草后，為了解員工對新方案是否滿意，決定采取如下隨機(jī)化回答技術(shù)進(jìn)行問卷調(diào)查：隨機(jī)選取150名男員工和150名女員工進(jìn)行問卷調(diào)查．問卷調(diào)查中設(shè)置了兩個(gè)問題：①你公歷生日是奇數(shù)嗎？②你對新考勤管理方案是否滿意．調(diào)查分兩個(gè)環(huán)節(jié)，第一個(gè)環(huán)節(jié)：確定回答的問題，讓被調(diào)查者從裝有4個(gè)紅球，6個(gè)黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機(jī)摸取兩個(gè)球．摸到兩球同色的員工如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到兩球異色的員工如實(shí)回答第二個(gè)問題，第二個(gè)環(huán)節(jié)：填寫問卷（問卷中不含問題，只有“是”與“否”）．已知統(tǒng)計(jì)問卷中有198個(gè)“是”．（參考數(shù)據(jù)：）
(1)根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果，利用你所學(xué)的知識，估計(jì)員工對新考勤管理方案滿意的概率；
(2)據(jù)核實(shí)，以上的300名員工中有15名員工對新考勤管理方案不滿意，其中男3人，女12人，試判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為與對新考勤管理方案是否滿意與性別有關(guān)；
參考公式和數(shù)據(jù)如下：，．
(3)從該單位任取10人，恰有X人對考勤管理方案不滿意，利用（1）中的結(jié)果，寫出的表達(dá)式（其中，），并求出X的數(shù)學(xué)期望.
17．已知橢圓的離心率為，長軸長為4．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得．若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
18．如圖，在三棱錐中，分別是側(cè)棱的中點(diǎn)，，平面.
(1)求證：平面平面；
(2)如果，且三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.
19．在數(shù)學(xué)中，把只能被自己和1整除的大于1自然數(shù)叫做素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）.歷史上研究素?cái)?shù)在自然數(shù)中分布規(guī)律的公式有“費(fèi)馬數(shù)”；還有“歐拉質(zhì)數(shù)多項(xiàng)式”：.但經(jīng)后人研究，這兩個(gè)公式也有局限性.現(xiàn)有一項(xiàng)利用素?cái)?shù)的數(shù)據(jù)加密技術(shù)—DZB數(shù)據(jù)加密協(xié)議：將一個(gè)既約分?jǐn)?shù)的分子分母分別乘以同一個(gè)素?cái)?shù)，比如分?jǐn)?shù)的分子分母分別乘以同一個(gè)素?cái)?shù)19，就會得到加密數(shù)據(jù).這個(gè)過程叫加密，逆過程叫解密.
(1)數(shù)列中經(jīng)DZB數(shù)據(jù)加密協(xié)議加密后依次變?yōu)?求經(jīng)解密還原的數(shù)據(jù)的數(shù)值；
(2)依據(jù)的數(shù)值寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式（不用嚴(yán)格證明但要檢驗(yàn)符合）.并求數(shù)列前項(xiàng)的和；
(3)為研究“歐拉質(zhì)數(shù)多項(xiàng)式”的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)是方程的兩個(gè)根是的導(dǎo)數(shù).設(shè).證明：對任意的正整數(shù)，都有.（本小題數(shù)列不同于第（1）（2）小題）0.15
0.10
0.05
0.025
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
7.879
2024屆高考模擬監(jiān)測（三）
數(shù)學(xué)答案
（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）
1-4．AACC5-8．CBBA
9．CD
10．BCD
11．ABD
12．
13．5
14．2
15．（1）若，，定義域?yàn)椋?br>則，令，可得，
由，可得，所以在上單調(diào)遞增，
由，可得，所以在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極小值，極小值為，無極大值；
（2）的定義域?yàn)椋?br>，，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令，可得或，
因?yàn)?，所以舍去?br>所以當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
16．（1）由題意摸到兩球同色的概率為，
所以回答第一個(gè)問題有人，則回答第二個(gè)問題有人，
由題意可知公歷生日是奇數(shù)的概率是，
所以回答第一個(gè)問題，選擇“是”的同學(xué)人數(shù)為人，
則回答第二個(gè)問題，選擇“是”的同學(xué)人數(shù)為人，
所以員工對新考勤管理方案滿意的概率；
（2）由題意，列聯(lián)表如下：
，
所以有97.5%的把握認(rèn)為與對新考勤管理方案是否滿意與性別有關(guān)；
（3）由題意可知，
則，
所以.
17．（1）由題意可得，，
所以，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
假設(shè)存在x軸上的定點(diǎn)，使得.
則結(jié)合圖可得，所以.
由題意，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，
由得，， ，則，
且.
因?yàn)橹本€ET的斜率為，直線的斜率為，
由得.
因?yàn)?，?br>所以，
即，
所以，
所以，則，
所以在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得．
18．（1）分別是側(cè)棱的中點(diǎn)，
，
，
平面，平面，
，
又平面，
平面，
又平面，
平面平面.
（2）平面，平面，
，
，
又由題意得是等腰直角三角形，
，此時(shí)易算三棱錐體積為：，
故符合題意.
平面，，
平面，
又平面，
，
兩兩垂直，
如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
平面，
即為平面的一條法向量，
故，
由三棱錐的體積和法向量的方向可知，二面角為銳二面角，
故二面角的余弦值為.

19．（1）根據(jù)費(fèi)馬數(shù)
求得
（2）根據(jù)上面的數(shù)據(jù)得數(shù)列的這項(xiàng)公式為
經(jīng)檢.驗(yàn)：的數(shù)值符合該公式.
數(shù)列前項(xiàng)的和
（3）證明：
由依次可得（基本不等式取等條件不成立.）.
對新考勤管理方案滿意
對新考勤管理方案不滿意
合計(jì)
男員工
女員工
合計(jì)
285

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