九年級 數(shù)學
注意事項：
1.本試卷共6頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘.2.本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求直接把答案填寫在答題卡上，答在試卷上的答案無效.
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）
1.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是
A.B.C.D.
2.下列詞語所描述的事件屬于隨機事件的是
A.水中撈月B.水滴石穿C.瓜熟蒂落D.心想事成
3.拋物線與相同的性質(zhì)是
A.開口向上B.有最高點C.頂點是原點D.時，隨的增大而增大
4.一元二次方程的根是
A.，B.C.D.，
5.如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，若，則的度數(shù)為
A.B.C.D.
6.在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，，，，四個點均在格點上，與相交于點，連接，，則與的周長之比是
A.B.C.D.
7.如圖，是外一點，直線與相切于點，的延長線交于點，連接，若，，則的長為
A.B.C.D.
8.如圖，“燕兒”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設計.全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等.七張桌面分開可組合成不同的圖形.桌面的圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設每張桌面的寬為，七張桌子總面積為，則與的關系可以表示為
A.B.C.D.
9.如圖，在Rt中，，點在的延長線上，且，則的值是
A.B.C.D.
10.實驗證實，放射性物質(zhì)在放出射線后，質(zhì)量將減小，質(zhì)量減小的速度開始較快，后來較慢，圖1是放射性物質(zhì)鐳所剩的質(zhì)量隨著時間的變化而變化的圖象，圖2是“半衰期”的相關內(nèi)容，下列說法不正確的是

圖1 圖2
A.錨所剩質(zhì)量與時間成函數(shù)關系B.當時間為4860年時，的值為
C.鐳的半衰期是1620年D.錨減少為所用的時間大約是6480年
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11.二次函數(shù)圖象的頂點坐標為__________.
12.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，請寫出一個符合題意的整數(shù)的值__________.
13.如圖所示的圖案是由兩個邊長相等的正方形組成的，若使這個圖案旋轉(zhuǎn)一定角度后與原來的圖案重合，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為__________度。
14.如圖，點為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點作的垂線與反比例函數(shù)的圖象交于點，則的值是__________.
15.如圖，在中，，，直線經(jīng)過點，；是邊上的中線，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到.當點落在直線上時，_____.
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16.（本題滿分10分，每小題5分）
（1）解方程：；
（2）畫圖：在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點），以邊的中點為旋轉(zhuǎn)中心，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，請畫出，并判斷旋轉(zhuǎn)前后的圖形組合成了__________形。
17.（本題滿分8分）數(shù)學文化節(jié)猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質(zhì)地都相同的字謎卡片，分別記作字謎、字謎、字謎、字謎，其中字謎、字謎是猜“數(shù)學名詞”，字謎、字謎是猜“數(shù)學家人名”.
（1）若小軍從中隨機抽取一張字謎卡片，則抽取的字謎卡片是猜“數(shù)學名詞”的概率是__________；
2024-2025學年第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測九年級數(shù)學第3頁（共6頁）
（2）若小勝、小軍依次從中隨機抽取一張字謎卡片不放回，請用畫樹狀圖或列表的方法求他們兩個抽取的字謎卡片均是猜“數(shù)學家人名”的概率。
18.（本題滿分9分）如圖，是半圓的直徑，點是弦延長線上一點，連接，，.
（1）求證：是半圓的切線；
（2）當時，求陰影部分的面積（用含的代數(shù)式表示）.
19.（本題滿分9分）如圖，數(shù)學活動小組同學用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升到距地面的點處，測得教學樓底端點的俯角為，再將無人機沿教學樓方向水平飛行至點處，測得教學樓頂端點的俯角為，求教學樓的高度約為多少米.（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）
20（本題滿分9分）古建筑的屋頂蘊藏著很深的中國文化.如“懸山頂”（如圖1），一般用于普通民居、建筑屋檐出了山墻，遠遠一看，就好像懸在山墻之上，可以有效保護山墻不受風雨侵蝕，多見于雨季潮濕的南方.圖2為一棟“懸山頂”式建筑的側(cè)面示意圖，下雨時，雨水順著房頂，經(jīng)走廊頂部水平管道流出，呈拋物線形落到院中地面上點處（可將點視為拋物線頂點）.若走廊和頂部的寬度均為，屋高為，雨水落點距屋子的水平距離為.
請根據(jù)題意，解決下列問題.

圖1 圖2
（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出雨水從頂點落到地面點的拋物線的解析式，并注明自變量的取值范圍；
（2）現(xiàn)計劃在院中安放一個高為的圓柱形洗手池，使下雨時雨水正好可以落在洗手池的頂部中心點，請計算所計劃建造洗手池的底部中心到走廊的距離的長.
21.（本題滿分10分）如圖1，在中，，，點為上一點，，過點作交于點，的周長與的周長之比為.

圖1 圖2
（1）分別求，關于的函數(shù)表達式，并注明自變量的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)，的圖象；
（3）結合函數(shù)圖象，請直接寫出當時的取值范圍.
22.（本題滿分10分）閱讀材料：“我們通常用的計數(shù)法是十進制，即以10作為進位基數(shù)，逢十進一.如.而計算機使用的是二進制，其各位上的數(shù)字只有0或1，如二進制數(shù)字10111表示成十進制數(shù)是23.第14屆國際數(shù)學教育大會（ICME-14）會徽的主題圖案蘊含了豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)了我國數(shù)學文化的魅力.其右下方的卦（? ? ? ?）是用我國古代的記數(shù)符號寫出來的八進制數(shù)3745.八進制是以8作為進位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0-7共8個數(shù)字，逢八進一.八進制數(shù)3745換算成十進制數(shù)是，表示ICME-14的舉辦年份.”
思考并解答下列問題：
（1）二進制數(shù)1011換算成十進制數(shù)是__________；八進制202換成十進制數(shù)是__________；
（2）十進制數(shù)2025換算成八進制數(shù)字是__________；
（3）小麗同學設計了一個（為正整數(shù)）進制數(shù)121，換算成十進制數(shù)是100，求的值.（要求有求解過程）
23.（本題滿分10分）如圖1，直角三角形中，，的對邊記作，的對邊記作，它的外接圓的半徑是.

圖1圖2圖3
【探究發(fā)現(xiàn)】
小聰在探究中發(fā)現(xiàn)，，且這個比值和之間存在著某種數(shù)量關系.（
1）請你直接寫出它們之間的數(shù)量關系：__________；
【推廣探究】
小聰進一步研究發(fā)現(xiàn)，（1）中的結論不僅在直角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還滿足.
（2）如圖2，銳角三角形中，的對邊是，的對邊是，的對邊是，它的外接圓的半徑是，請利用圖2證明（1）中的結論；
【嘗試應用】
（3）如圖3，中，若，，，請利用以上結論直接寫出，和外接圓半徑的長：__________；__________；__________

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