本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分（選擇題共40分）
一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3. 已知，且，則（ ）
A. B.
C. D.
4. 直線與圓交于兩點(diǎn)，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
5. 已知向量，若，則（ ）
A. 2B. C. D.
6. 若，則（ ）
A. B. 41C. D. 40
7. 已知函數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件
B. 必要而不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
8. 如圖，將棱長為2的正方體六個(gè)面的中心連線，可得到八面體，為棱上一點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 平面
B. 八面體的體積為
C. 的最小值為
D. 點(diǎn)到平面的距離為
9. 自然界中，大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象，它們在生活史中會持續(xù)不斷地繁殖后代，且有時(shí)不同的世代能在同一時(shí)間進(jìn)行繁殖.假定某類生物的生長發(fā)育不受密度制約時(shí)，其增長符合模型：，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長系數(shù)，為時(shí)刻的種群個(gè)體數(shù)量.當(dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.若，則（ ）
A. 300B. 450C. 600D. 750
10. 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足（是常數(shù)，），則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，則數(shù)列是等比數(shù)列
B. 若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
C. 若數(shù)列是常數(shù)列，則
D. 若數(shù)列是周期數(shù)列，則最小正周期可能為2
第二部分（非選擇題共110分）
二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知函數(shù)，則__________.
12. 已知是等差數(shù)列，且，則的通項(xiàng)公式__________.
13. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，則的坐標(biāo)為__________，設(shè)是直線上一點(diǎn)，直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則點(diǎn)到軸的距離為__________.
14. 若對任意實(shí)數(shù)恒成立，則滿足條件的一組的值為__________，__________.
15. 數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一.設(shè)曲線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線關(guān)于軸對稱；
②曲線恰好經(jīng)過2個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；
③面積的最大值為1；
④（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
其中正確結(jié)論的序號是__________.
三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 在中，.
（1）求；
（2）再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
17. 如圖，在長方體中，為的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn).
（1）求證：為的中點(diǎn)；
（2）若二面角的余弦值為，求的長度.
18. 隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融入人們的日常生活，在教育領(lǐng)域，賦能潛力巨大.為了解某校學(xué)生對某款學(xué)習(xí)軟件的使用情況，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了90名學(xué)生，獲得數(shù)據(jù)如下：
假設(shè)學(xué)生是否使用該款學(xué)習(xí)軟件相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.
（1）估計(jì)該校學(xué)生使用該款學(xué)習(xí)軟件的概率；
（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，記這3人中使用該習(xí)軟件的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件.假設(shè)該校一年級有200名男生和180名女生，從除一年級外其他年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件.的方差分別記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.
19. 已知橢圓的長軸長為4，一個(gè)焦點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）過點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
20. 已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.
21. 設(shè)為正整數(shù)，集合，對于集合中2個(gè)元素，若，則稱具有性質(zhì)．記為中的最小值．
（1）當(dāng)時(shí)，若，判斷是否具有性質(zhì)．如果是，求出；如果不是，說明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，若具有性質(zhì)，求的最大值；
（3）給定不小于3的奇數(shù)，對于集合中任意2個(gè)具有性質(zhì)的元素，求的最大值．
參考答案
第一部分（選擇題共40分）
一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出題目要求的一項(xiàng).
1. 【答案】A
【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再應(yīng)用交集定義計(jì)算求解.
【詳解】集合，集合，
則.
故選：A.
2. 【答案】B
【分析】化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.
【詳解】，
復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.
故選：B
3. 【答案】C
【分析】對選項(xiàng)逐一判斷，不正確的舉反例，正確的加以說明即可．
【詳解】對于A選項(xiàng)：舉反例可知不成立；
對于B選項(xiàng)： 舉反例可知不成立；
對于C選項(xiàng)：，
因?yàn)?，所以，而且不同時(shí)為0，
故，即，正確；
對于D選項(xiàng)： 舉反例可知不成立；
故選：C．
4. 【答案】B
【分析】先求出圓心到直線的距離，再由幾何法求出弦長即可.
【詳解】由題意可得圓心，半徑，
到直線的距離為，
由幾何關(guān)系可得.
故選：B.
5. 【答案】D
【分析】先由向量垂直的坐標(biāo)表示求出，然后再由模長的計(jì)算可得.
【詳解】若，則，
即
又，
.
故選：D.
6. 【答案】C
【分析】寫出展開式的通項(xiàng)公式，求出和，求出答案.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，
令得，故，
令得，故，
所以.
故選：C
7. 【答案】A
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，結(jié)合充分條件與必要條件的定義，可得答案.
【詳解】由函數(shù)，則易知其圖象對稱中心，
當(dāng)時(shí)，為函數(shù)圖象的對成中心，
則當(dāng)時(shí)，，充分性成立；
當(dāng)時(shí)，由，可能得到，必要性不成立.
故選：A.
8. 【答案】D
【分析】依據(jù)線面平行判定定理，棱錐體積公式，等體積法求點(diǎn)到面的距離等知識對選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】
在正方體中，連接可知相交于點(diǎn)，且被互相平分，故四邊形是平行四邊形，
所以，而平面，平面，
所以平面，故A正確；
因?yàn)檎襟w棱長為2，所以四邊形是正方形且，
面,，
所以八面體的體積等于棱錐體積的2倍，
而棱錐體積等于，
故八面體的體積為，B正確；
因?yàn)闉槔馍弦稽c(diǎn)，將和展開成一個(gè)平面，
由題和均為正三角形，且邊長為，
由三角形兩邊之和大于第三邊知最小值為，在中由余弦定理可知，故C正確；
對于D選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由等體積法知：
，故錯(cuò)誤.
故選：D.
9. 【答案】C
【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型計(jì)算得出，再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算計(jì)算求解.
【詳解】因?yàn)槟Ｐ停?，其中為種群起始個(gè)體數(shù)量，為增長系數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，種群個(gè)體數(shù)量是起始個(gè)體數(shù)量的2倍.
所以，所以，
若，則.
故選：C.
10. 【答案】C
【分析】當(dāng)時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，得到，數(shù)列不能構(gòu)成等比數(shù)列，可判定A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，求得，可判定B錯(cuò)誤；若數(shù)列為常數(shù)列，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，可判定C正確；假設(shè)列是周期數(shù)列，且最小正周期為，得到且，結(jié)合，得到，化簡求得，這與矛盾，可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】對于A中，若，可得，即，
當(dāng)且時(shí)，兩邊取對數(shù)，可得，即，
此時(shí)數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，數(shù)列不能構(gòu)成等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對于B中，當(dāng)時(shí)，可得，即，
例如：當(dāng)時(shí)，由，可得，
又由，可得，此時(shí)，
所以，當(dāng)，數(shù)列是不一定是遞增數(shù)列，所以B錯(cuò)誤；
對于C中，若數(shù)列為常數(shù)列，則，
因?yàn)?，即?br>又因?yàn)?，所以?br>所以的取值范圍為，所以C正確；
對于D中，假設(shè)數(shù)列是周期數(shù)列，且最小正周期為，即且，
因?yàn)椋傻?，所以?br>則，即，
又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，即，
所以，即，這與矛盾，
所以數(shù)列的最小正周期不可能是，所以D錯(cuò)誤.
故選：C.
第二部分（非選擇題共110分）
二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 【答案】4
【分析】求出，得到答案.
【詳解】，，故.
故答案為：4
12. 【答案】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算求出，代入通項(xiàng)即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，
因代入解得，
故.
故答案為：.
13. 【答案】 ①. ②. 1
【分析】由拋物線性質(zhì)可知焦點(diǎn)坐標(biāo)；過作垂直于直線，由比例關(guān)系得出到軸的距離.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.
過作垂直于直線于，則軸.
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，?br>由軸得，，
所以，
因此點(diǎn)到軸的距離為1.

14. 【答案】 ①. 1 ②.
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式計(jì)算求解即可.
【詳解】若對任意實(shí)數(shù)x,csx+π6=sinx+π6+π2=sinx+2π3=Asinx+φA>0恒成立，
則滿足條件的一組的值為，.
故答案為：1；（答案不唯一）.
15. 【答案】①③④
【分析】曲線上的任意點(diǎn)，其關(guān)于的對稱點(diǎn)為，代入曲線方程驗(yàn)證判斷①，根據(jù)方程易知，均在曲線上判斷②，結(jié)合曲線的對稱性研究時(shí)的曲線性質(zhì)確定最大值，結(jié)合即可判斷③，在上，才能保證最大，再應(yīng)用三角換元及三角恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)求范圍判斷④.
【詳解】曲線上的任意點(diǎn)，其關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
代入曲線左側(cè)有，即點(diǎn)也在曲線上，
所以曲線關(guān)于軸對稱，①對；
由方程易知，均在曲線上，曲線至少經(jīng)過4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，②錯(cuò)；
由，即，且，
根據(jù)曲線關(guān)于軸對稱，只需研究時(shí)的曲線性質(zhì)，
對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
對于在上單調(diào)遞增，則，
令，則，可得，結(jié)合曲線的對稱性有，
所以，最大，③對；
在上，才能保證最大，
令且，此時(shí)，
所以
，且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，④對.
故答案為：①③④
三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式計(jì)算得出余弦值進(jìn)而得出角；
（2）選擇條件①三角形不存在；選擇條件②應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系得出，再應(yīng)用正弦定理及余弦定理計(jì)算求出邊長，最后應(yīng)用面積公式計(jì)算；選擇條件③先應(yīng)用正弦定理得出，再應(yīng)用余弦定理得出，最后應(yīng)用面積公式計(jì)算.
【小問1詳解】
由正弦定理，
得.
所以.
所以.
因?yàn)椋?
所以.
所以.
【小問2詳解】
選條件①：，，
由余弦定理，得.
，不存在；
選條件②：.
由，可得.
由正弦定理，得.
由余弦定理，得
，整理得.
解得，或（舍）.
所以的面積.
條件③：.
因?yàn)?，且，所?
由余弦定理，得.
解得，或（舍）
所以的面積.
17. 【答案】（1）證明見解析
（2）.
【分析】（1）運(yùn)用長方體性質(zhì)，得到面面平行，再用面面平行性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而得到是平行四邊形.則.借助勾股定理和已知條件得到即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和平面法向量坐標(biāo)，結(jié)合向量夾角公式得到，解出即可.
【小問1詳解】
在長方體中，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，平面平面，
所以.同理.
所以是平行四邊形.所以.
又，
.
所以.
所以為的中點(diǎn).
【小問2詳解】
在長方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則.
因此.
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則，因此.
易知平面的法向量為，則
.
解得.所以.
18. 【答案】（1）
（2）分布列見解析，
（3）
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，90名學(xué)生中使用學(xué)習(xí)軟件的共人，即可求出；
（2）隨機(jī)變量的可能取值為，分別計(jì)算每個(gè)取值的概率，即可得到分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）設(shè)從一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該生使用該款學(xué)習(xí)軟件的方差記為，求出一年級學(xué)生和該校全體學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)軟件的概率，由二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式求出，由的大小，即可比較的大小.
【小問1詳解】
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，90名學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)軟件的共人，
所以該校學(xué)生使用該款學(xué)習(xí)軟件的概率可估計(jì)為.
【小問2詳解】
從該校全體男生中隨機(jī)抽取1人，“他使用該學(xué)習(xí)軟件”記為事件A，
從該校全體女生中隨機(jī)抽取1人，“她使用該學(xué)習(xí)軟件”記為事件，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知：.
隨機(jī)變量的可能取值為.
則，
，
，
.
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
【小問3詳解】
設(shè)從一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，“”表示該生使用該款學(xué)習(xí)軟件，“”表示該生不使用該款學(xué)習(xí)軟件，的方差記為，
一年級有200名男生和180名女生，一年級學(xué)生使用該學(xué)習(xí)軟件的概率為，
則，
該校所有學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)的概率為，
則，
因?yàn)?，即?br>所以除一年級外其他年級學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)軟件的方差，
即.
19. 【答案】（1），離心率；
（2）存在，.
【分析】（1）由題意確定橢圓參數(shù)值，即可得橢圓方程，進(jìn)而得到離心率；
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理得，法一：根據(jù)面積比得到，即直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，列方程求得；法二：根據(jù)面積比得，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式并整理求得，即得結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意，得，所以.
所以橢圓的方程為，離心率.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為（顯然），點(diǎn)，
設(shè)，聯(lián)立方程，
整理得.
所以.
法一：因?yàn)?
又，所以.
所以，直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù).
設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，
，整理可得，
，因?yàn)椋?br>所以，，
即，解得.
所以點(diǎn)的坐標(biāo).
法二：因?yàn)?，又?br>所以，即，，
所以，且，
整理得，
則，
而，顯然，
所以，
故，
所以，解得.
所以點(diǎn)的坐標(biāo).
20. 【答案】（1）的單調(diào)遞增為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求得，再利用導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
（2）求導(dǎo)得，由（1）得，計(jì)算得，，由函數(shù)單調(diào)性推出存在，使.法一：寫出曲線在點(diǎn)處的切線方程：，根據(jù)的單調(diào)性推出可得證；法二：利用推出，寫出曲線在處的切線的方程，同理得曲線在處的切線的方程，證明即可.
【小問1詳解】
由，得.
因?yàn)楹瘮?shù)在處有定義，所以.
因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，
解得，或（舍）.
當(dāng)時(shí)，，
.
令，解得，或（舍）.
與的變化情況如下：
所以函數(shù)的單調(diào)遞增為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
由，得.
由（1）可知，，
因?yàn)椋?br>所以存在，使.
方法一：曲線在點(diǎn)處的切線方程為
，即
下面證明：.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，所以，即.
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所?
所以，即.
所以曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.
方法二：由 ，
可得 .
所以曲線在處的切線的方程為，
即.
因?yàn)椋?br>所以的方程為.
同理，曲線在處的切線的方程為.
下面證明：.
設(shè).
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?
所以，即.
所以曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.
21. 【答案】（1）具有性質(zhì)，；
（2）1； （3）.
【分析】（1）根據(jù)定義，計(jì)算，即可判斷具有性質(zhì)；在分別計(jì)算出，即可求得；
（2）方法1：由已知得出，結(jié)合，得出，進(jìn)而得出，并取驗(yàn)證的最大值可以取到；方法2：用反證法假設(shè)，由已知得出與題設(shè)矛盾，即可說明；
（3）由性質(zhì)可得，①，且②，①中不妨設(shè)，②中不妨設(shè)，由對稱性可以設(shè)，得出，進(jìn)而得出，再驗(yàn)證可以取到最大值即可．
【小問1詳解】
因?yàn)椋跃哂行再|(zhì)；
因?yàn)椋?br>所以．
【小問2詳解】
方法：1：
由性質(zhì)得，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
則，，，
所以，
所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
具有性質(zhì)，
且，
所以的最大值為1．
方法2：
先用反證法證明，
假設(shè)，
由，則，
所以，同理，
所以，
由，
所以，
與已知矛盾，假設(shè)不成立，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
所以的最大值為1．
【小問3詳解】
由性質(zhì)可得，
所以①，且②，
在①中不妨設(shè)，
在②中不妨設(shè)，
由對稱性可以設(shè)，
所以，
所以
，即，
因?yàn)榇嬖?，（其中有個(gè)個(gè)），
（其中有個(gè)，個(gè)）具有性質(zhì)，
并且，
，
，
所以，
綜上最大值為．是否使用該款學(xué)習(xí)軟件
男生
女生
使用
40人
30人
不使用
10人
10人
0
1
2
3
0
0
極大值

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