一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
（11） （12） （13）
（14）（答案不唯一） （15）① ③ ④

三、解答題共6小題，共85分。 解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，
得.
所以.
所以.
因?yàn)椋?
所以.
所以.
（Ⅱ）選條件②:，.
由， 可得.
由正弦定理，得.
由余弦定理 ，得
，整理得.
解得，或（舍）.
所以的面積 .
條件③：.
因?yàn)?，且，所?
由余弦定理，得
解得，或（舍）
所以的面積 .
（17）（本小題13分）
解：（Ⅰ）在長方體中，
因?yàn)?平面平面，
平面平面平面平面，
所以.
同理
所以是平行四邊形.
所以.
又
所以
所以為的中點(diǎn).
（Ⅱ）在長方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，.
因此，.
設(shè)平面的法向量為，
則 即
令，則， ，因此.
易知平面的法向量為，則
.
解得. 所以.
（18）（本小題14分）
解：（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，名學(xué)生中使用該款學(xué)習(xí)軟件APP的共人，
所以該校學(xué)生使用該款學(xué)習(xí)軟件APP的概率可估計(jì)為
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取人，“他使用該學(xué)習(xí)軟件APP”記為事件，
從該校全體女生中隨機(jī)抽取人，“她使用該學(xué)習(xí)軟件APP”記為事件，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知：
隨機(jī)變量的可能取值為

所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望
（Ⅲ）
（19）（本小題15分）
解：（Ⅰ）由題意可得 ，.
所以 .
所以橢圓的方程為.
離心率.
法一（Ⅱ）存在符合要求的點(diǎn).
設(shè)直線的方程為 （顯然），
設(shè)，，
聯(lián)立方程
整理得．
所以，.
因?yàn)?．
又，所以．
所以 ．
所以直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)．
設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)，
．
整理可得，
．
因?yàn)?，所?br>．
即．
解得．
所以點(diǎn)的坐標(biāo)．
法二（Ⅱ）設(shè)直線的方程為 （顯然），
設(shè)，，
聯(lián)立方程
整理得．
所以 ，．
因?yàn)椋?br>又 ，
所以．
即 ，
整理得．
解得．
所以點(diǎn)的坐標(biāo)．
（20）（本小題15分）
解：（Ⅰ）由，得，.
因?yàn)楹瘮?shù)在處有定義，所以.
因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，
解得，或（舍）.
當(dāng)時(shí)，，
.
令，解得（舍）.
與的變化情況如下：
所以函數(shù)的單調(diào)遞增為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（Ⅱ）由，得.
由（Ⅰ）可知，，
因?yàn)?br>所以存在，使.
方法一：曲線在點(diǎn)處的切線方程為
，即.
下面證明：.
設(shè) ，則.
當(dāng)時(shí)， ，所以，即.
所以 在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所?
所以，即.
所以曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.
方法二：，
即
所以曲線在處的切線的方程為，
即.
因?yàn)椋?br>所以的方程為.
同理，曲線在處的切線的方程為.
下面證明：.
設(shè).
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所?
所以，即.
所以曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.
（21）（本小題15分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以具有性質(zhì).
因?yàn)?br>所以.
（Ⅱ）方法:1：
由性質(zhì)得， 所以，
因?yàn)?，，?br>所以，，，，
所以


所以，
又因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，
具有性質(zhì)，
且，，
所以Mα,β的最大值為1.
（Ⅱ）方法2：
先用反證法證明.
假設(shè)，
由，則.
所以，同理，
所以.
由，
所以.
與已知矛盾，假設(shè)不成立.
所以.
當(dāng)時(shí)，.
此時(shí)，
所以的最大值為1.
（Ⅲ）由性質(zhì)可得 .
所以 = 1 \* GB3 ①
且 = 2 \* GB3 ②
在 = 1 \* GB3 ①中不妨設(shè)
在 = 2 \* GB3 ②中不妨設(shè)，
由對稱性可以設(shè)
所以，， ，… ，.
所以




即
因?yàn)榇嬖?br>（其中有個(gè)，個(gè)），

（其中有個(gè)，個(gè)）
具有性質(zhì).
并且
所以
綜上最大值為.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
B
D
C
A
D
C
C
極大值

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