一、單項(xiàng)選擇題(共10個(gè)小題， 每小題3 分， 滿分 30分)
1．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．四邊形B．三角形C．長方形D．正方形
4．若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．下列各分式是最簡分式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列運(yùn)算正確的是 （ ）
A．B．C．D．
7．如圖，于點(diǎn) C，于點(diǎn)D，要根據(jù)“”直接證明 與全等， 則還需要添加一個(gè)條件是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖， 在中， ，平分，交 于點(diǎn)D，，則點(diǎn) D到的距離是（ ）

A．4B．2C．3D．6
9．如圖，小明利用4張圖①所示的長為a、寬為b的長方形卡片，拼成圖②所示的圖形，則根據(jù)圖②的面積關(guān)系能驗(yàn)證的恒等式為（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖，已知中，，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則的周長最小值為（ ）
A．11B．10C．9D．8
二、填空題(共5個(gè)小題，每小題4分，滿分 20分)
11．要使分式有意義，則x的取值范圍為 ．
12．如圖， °．

13．分解因式: ．
14．如圖，點(diǎn)D、A、E在直線m上，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，，則 ．
15．如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為 cm2．
三、解答題(一) (共4個(gè)小題，每小題6分， 滿分 24分)
16．計(jì)算: ．
17．先化簡，再求值：，其中．
18．已知：如圖，點(diǎn)A，C，D，B在同一條直線上，AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求證：∠E=∠F．
19．如圖， 在平面直角坐標(biāo)系中． A，B，C三點(diǎn)在格點(diǎn)上，每個(gè)小方格的邊長為1．
(1)畫出關(guān)于y軸對稱的;
(2)直接寫出關(guān)于x軸對稱的的各頂點(diǎn)坐標(biāo)．
四、解答題(二) (共3個(gè)小題，每小題8 分， 滿分 24分)
20．已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．
（1）作圖：作△ABC的高AD交BC于點(diǎn)D（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：BD＝3CD．
21．某校積極開展科技創(chuàng)新活動(dòng)，在一次用電腦編程控制小型賽車進(jìn)行比賽的活動(dòng)中， “夢想號”和“創(chuàng)新號”兩輛車從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)， “夢想號”到達(dá)終點(diǎn)時(shí)， “創(chuàng)新號”離終點(diǎn)還差．已知“夢想號”的平均速度比“創(chuàng)新號”的平均速度快 ．求“夢想號”和“創(chuàng)新號”的平均速度．
22．閱讀材料：要將多項(xiàng)式分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，再把它的后兩項(xiàng)分成一組， 從而得到，這時(shí)中又有公因式，于是可以提出，即， 我們稱這種方法為分組法． 請你利用分組法解答下列問題：
(1)解決問題：分解因式 ．
(2)拓展運(yùn)用: 已知a，b，c是的三邊，且滿足 ，請判斷的形狀并說明理由．
五、解答題(三)(共2個(gè)小題， 第 23 題10分， 第 24 題 12 分， 滿分 22分)
23．如圖，中， ， ， 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿的延長線移動(dòng)，并與點(diǎn) P同時(shí)停止． 已知點(diǎn) P，Q移動(dòng)的速度相同，連接與線段 相交于點(diǎn)D(不考慮點(diǎn) P與點(diǎn)A，B重合時(shí)的情況)．
(1)求證: ；
(2)求證: ；
(3)如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過程中，線段的長度是否變化?如果不變，請求出這個(gè)長度；如果變化，請說明理由．
24．定義: 如圖1， 若 P 是內(nèi)部一點(diǎn)， 且， 則稱點(diǎn)P為的勃羅卡點(diǎn)， 同時(shí)稱為的勃羅卡角．
(1)如圖2， P為等邊內(nèi)部一點(diǎn)． 其中，， 請判斷點(diǎn)P是不是等邊的勃羅卡點(diǎn)，并說明理由；
(2)如圖3，P為等邊的勃羅卡點(diǎn)，求等邊的勃羅卡角的度數(shù)；
(3)如圖4，在（2）的條件下，作點(diǎn) P 關(guān)于 的對稱點(diǎn) ，連接與 相交于點(diǎn) O，連接，，記的勃羅卡點(diǎn)為 M，的勃羅卡點(diǎn)為N， 求證: 為等邊三角形．
答案與解析
1．C
【分析】根據(jù)三角形的三邊滿足兩邊之和大于第三邊來進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、，不能構(gòu)成三角形，故A錯(cuò)誤；
B、，不能構(gòu)成三角形，故B錯(cuò)誤；
C、，能構(gòu)成三角形，故C正確；
D、，不能構(gòu)成三角形，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
2．D
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的意義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據(jù)此判斷即可，解題的關(guān)鍵是正確理解軸對稱圖形的意義．
【詳解】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖案都不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；
D選項(xiàng)中的圖案能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形；
故選：D．
3．B
【分析】此題考查的是對三角形穩(wěn)定性，三角形不容易產(chǎn)生變形，因此三角形是最穩(wěn)定的；四邊形沒有穩(wěn)定性．
【詳解】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性．
故選：B．
4．A
【分析】本題主要考查了分式的求值，先根據(jù)已知條件得到，再把代入所求式子中進(jìn)行約分即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選A．
5．C
【分析】分子與分母沒有公因式的分式，叫最簡分式，據(jù)此逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，本選項(xiàng)不符合題意；
B、，本選項(xiàng)不符合題意；
C、是最簡分式，本選項(xiàng)符合題意；
D、，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查最簡分式，掌握最簡分式的概念是解題的關(guān)鍵．
6．B
【分析】本題主要考查0次冪的意義、整式冪的運(yùn)算．根據(jù)0次冪的意義，同底數(shù)冪的乘法法則，積的乘方法則，同底數(shù)冪的除法法則逐一判斷各選項(xiàng)即可．
【詳解】解：A中，故選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B中，故選項(xiàng)運(yùn)算正確，符合題意；
C中，故選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D中，故選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選B．
7．D
【分析】本題主要考查了添加一個(gè)條件使得三角形全等，根據(jù)HL定理的條件進(jìn)行判斷即可；
【詳解】解：∵，，
∴當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
故選D．
8．A
【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)定理，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則即為所求，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，即可求出最后結(jié)果．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則即為所求，
，平分，交 于點(diǎn)D，
,
故選：A．

9．B
【分析】此題考查對完全平方公式幾何意義的理解，關(guān)鍵是能從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義，圖②的面積可以整體表示為，也可將各部分求和表示為由此可得此題結(jié)果．
【詳解】解：用整體和各部分求和兩種方法表示出圖②的面積各為：和，
可得，
故選：B．
10．C
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，如圖所示，連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，由三角形周長公式得到的周長，故當(dāng)A、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)的周長最小，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，最小值即為的長，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，
∴，
∴的周長，
∴當(dāng)A、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)的周長最小，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，最小值即為的長，
∴的周長的最小值為，
故選C．
11．x≠﹣2
【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得x+2≠0，解這個(gè)不等式即可求出答案．
【詳解】解：由題意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2，
故答案為x≠﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解分式有意義的條件：分母不為0．
12．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為求解即可．
【詳解】解：在中有，
在中有，
將上面兩式相加得：，則．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和為，解題的關(guān)鍵是將等式相加．
13．
【分析】此題主要考查了提取公因式法分解因式，直接提公因式即可．
【詳解】解：；
故答案為：．
14．8
【分析】根據(jù)垂直得到直角三角形，利用等角的余角相等證得，再利用判定證明，即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在與中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)判定證明是解題的關(guān)鍵．
15．4.5
【分析】根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出，代入求出即可．
【詳解】
解：延長AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中， ，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴
∴ cm2，
故答案為4.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形的面積相等．
16．
【分析】本題考查的是單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式的應(yīng)用，先按照平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算，再合并即可，掌握“利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算”是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
17．，2
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值．先計(jì)算括號內(nèi)的，再計(jì)算除法，然后把代入化簡后的結(jié)果，即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
18．證明見解析．
【分析】求出AD=BC，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等證明即可．
【詳解】解：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
即AD=BC，
在△ADE和△BCF中
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠E=∠F．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)．
19．(1)見解析
(2)，，
【分析】本題考查了作圖一軸對稱變換，記住關(guān)于x軸和y軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解決問題的關(guān)鍵．
（1）利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（2）利用關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)、、的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求，
（2）由圖可知，，，
則關(guān)于x軸對稱的的各頂點(diǎn)坐標(biāo)，，．
20．（1）見解析；（2）證明見解析
【分析】（1）利用尺規(guī)作圖的方法及相關(guān)性質(zhì)作△ABC的高AD交BC于點(diǎn)D即可；
（2）根據(jù)30度角所對直角邊等于斜邊一半即可證明BD＝3CD．
【詳解】（1）如圖所示，AD即為所求；
（2）證明：
∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD，
∴BC＝4CD，
∴BD＝3CD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)方法及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
21．“創(chuàng)新號”賽車的平均速度為，“夢想號”賽車的平均速度為
【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確尋找等量關(guān)系，構(gòu)建分式方程解決問題，注意解分式方程必須檢驗(yàn)，設(shè)“創(chuàng)新號”賽車的平均速度為，根據(jù)時(shí)間關(guān)系列出分式方程即可解決問題．
【詳解】解：設(shè)“創(chuàng)新號”賽車的平均速度為，則“夢想號”賽車的平均速度為，
根據(jù)題意列方程得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，且符合題意，
則“夢想號”賽車的平均速度為：，
答：“創(chuàng)新號”賽車的平均速度為，“夢想號”賽車的平均速度為．
22．(1)
(2)是等腰三角形，理由見解析
【分析】本題主要考查了因式分解及其應(yīng)用，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握分解因式的幾種方法．
（1）把多項(xiàng)式的前兩項(xiàng)分成一組，后兩項(xiàng)分成一組，利用提公因式法和公式法分解因式；
（2）把所給等式分組為，利用公式法分解因式，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，求出，即可得到答案．
【詳解】（1）解：
（2）是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
即，
為等腰三角形．
23．(1)見解析
(2)見解析
(3)為定值5，理由見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，準(zhǔn)確作出輔助線找出全等三角形是解題關(guān)鍵．
（1）利用、的移動(dòng)速度相同，得到，利用線段間的關(guān)系即可推出；
（2）過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，利用等邊對等角結(jié)合已知可證，即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，由（2）得，可知為等腰三角形，結(jié)合，可得出即可得出為定值．
【詳解】（1）證明：、的移動(dòng)速度相同，
，
，
；
（2）如圖，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
在與中，
，
，
；
（3）解：為定值5，理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，
由（2）得：，
為等腰三角形，
，
，
由（2）得，
，
，
為定值5．
24．(1)點(diǎn)P不是等邊的勃羅卡點(diǎn)，理由見解析
(2)等邊的勃羅卡角的度數(shù)為
(3)見解析
【分析】（1）利用等邊對等角得出，再利用等邊三角形性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)得出即可得出結(jié)論點(diǎn)P不是等邊的勃羅卡點(diǎn)；
（2）利用點(diǎn)P為等邊的勃羅卡點(diǎn)，求出，證明，即可求出等邊的勃羅卡角的度數(shù)；
（3）先證明為等腰三角形，再證出， 為等邊三角形，在內(nèi)部作交于點(diǎn)N，連接，可證得點(diǎn)N為的勃羅卡點(diǎn)，且，同理可證點(diǎn)M為的勃羅卡點(diǎn)，且，進(jìn)而得出最后結(jié)論．
【詳解】（1）解：點(diǎn)P不是等邊的勃羅卡點(diǎn)，理由如下：
，
，
，
為等邊三角形，
，，
，
是的中垂線，
平分，
，
，
點(diǎn)P不是等邊的勃羅卡點(diǎn)；
（2）點(diǎn)P為等邊的勃羅卡點(diǎn)，
，
，
即，
，
同理可得，
在與中，
，
，
，
，
，
，
等邊的勃羅卡角的度數(shù)為；
（3）證明：點(diǎn)P，關(guān)于對稱，
為的中垂線，
，
為等腰三角形，
，
由（2）可知，
，
，
為等邊三角形，同理可得為等邊三角形，
如圖，在內(nèi)部作交于點(diǎn)N，連接，
為的中垂線，
，
，
，
，
，
點(diǎn)N為的勃羅卡點(diǎn)，且，
在內(nèi)部作交于點(diǎn)M，
同理可證點(diǎn)M為的勃羅卡點(diǎn)，且，
，
，
為等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中垂線的判定與性質(zhì)，對于題目中給出的勃羅卡點(diǎn)定義的理解與運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．

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