1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+2n+1，則下列選項(xiàng)中不是{an}中項(xiàng)的是( )
A. 43B. 76C. 119D. 1312
2.已知數(shù)列{an}是公比為?2的等比數(shù)列，且a2?a3=6，則a1=( )
A. 1B. ?1C. 2D. ?2
3.已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=0)=3P(X=1)，則P(X=0)=( )
A. 34B. 12C. 23D. 13
4.如圖所示，已知某梯子共有5級，從上往下數(shù)，第1級的寬為37厘米，第5級的寬為45厘米，且各級的寬度從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，則第2級的寬度是( )
A. 41厘米
B. 40厘米
C. 39厘米
D. 38厘米
5.某市準(zhǔn)備安排該市所有中學(xué)教師進(jìn)行體檢，同時(shí)調(diào)查去年該市教師體檢情況，并隨機(jī)抽取100名高中教師與100名初中教師，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到如下2×2列聯(lián)表：
若根據(jù)列聯(lián)表得χ2=83，則這200名教師中，去年未體檢的人數(shù)為( )
(附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d)
A. 20B. 30C. 40D. 50
6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4=4，S12=9，則S8=( )
A. 20B. 16C. 7D. 2
7.若隨機(jī)變量X的分布列為
若Y=X2，且E(Y)=158，則P(X>0)=( )
A. 58B. 78C. 18D. 14
8.已知數(shù)列{an}滿足a1=32，對任意p，q∈N?，都有ap+q=(1p+1q)2apaq，設(shè)bn=an(n2+n)2，則對任意n∈N?，下列結(jié)論恒成立的是( )
A. bn≥b3B. bn≥b4
C. bn≤b4D. (bn?b2)(bn?b4)≥0
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列結(jié)論正確的是( )
A. 若回歸方程y =?0.3x+0.6，則變量y與x負(fù)相關(guān)
B. 在分類變量X，Y的2×2列聯(lián)表中，|ad?bc|越小，X與Y有關(guān)的可能性越大
C. 若y關(guān)于x的回歸方程為y =3x?12，則直線y=3x?12至少經(jīng)過一個(gè)樣本點(diǎn)
D. 以y =aebx(a>0)擬合一組數(shù)據(jù)，設(shè)z=lny，得z關(guān)于x的回歸直線方程為z =?x+2，則ab=?e2
10.已知某品牌的一種型號的LED燈的使用壽命X(單位:小時(shí))服從正態(tài)分布N(60000,60002),則下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ???????≤X≤μ+2σ)=0.9545.
A. 該型號LED燈的平均使用壽命是60000小時(shí)
B. P(X≥60002)=12
C. P(X≤50000)=P(X≥70000)
D. P(66000< X≤72000)=0.1359
11.若數(shù)列{Fn}滿足F1=F2=1，F(xiàn)n=Fn?1+Fn?2(n>2)，則稱數(shù)列{Fn}為斐波那契數(shù)列，設(shè)an=(?1)Fn+2Fn+1?Fn+1Fn，若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為?50，則k的值可能是( )
A. 148B. 150C. 152D. 154
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知數(shù)列{an}滿足an+1=?11+an(n∈N?)，且a2=2，則a100= ______．
13.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a6+a16S8，則Sn取得最小值時(shí)，n= ．
14.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),其中n≥4且n∈N+,p∈(0,1),若E(3X)=E(2n-X), 3 P(X=3)=4P(X=4),則D(pX+n)= .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
近年來，食品添加劑泛濫引起消費(fèi)者關(guān)注，某媒體對消費(fèi)者在購買預(yù)包裝食品時(shí)是否關(guān)注配料表進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查了100名男性消費(fèi)者與100名女性消費(fèi)者，關(guān)注配料表的消費(fèi)者共有80人，其中女性30人．
(1)用2×2列聯(lián)表表示上述數(shù)據(jù)；
(2)是否有99%的把握認(rèn)為消費(fèi)者購買預(yù)包裝食品時(shí)是否關(guān)注配料表與性別有關(guān)？
附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
16.(本小題15分)
下表為2018年～2024年某公司年利潤y(單位：億元)的統(tǒng)計(jì)表，其中2018年～2024年對應(yīng)的年份代碼x依次為1～7．
(1)由上表數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系？請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程y?=b?x+a?
參考數(shù)據(jù)：y?=3.6，i=17xiyi=115．5, i=12(yi?y?)2≈2.8, 28≈5.3．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi?x?)(yi?y?) i=1n(xi?x?)2i=1n(yi?y?)2，若|r|>0.75，則y與x的線性相關(guān)程度高；對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回歸直線y =a +bx的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b =i=1nxiyi?nx?y?i=1nxi2?nx?2,a =y??bx?．
17.(本小題15分)
已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,bn=an?Snn．
(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；
(2)若an是遞增數(shù)列，a1>0,b3?b12=12b5?b1，求證：1a1a2+1a2a3+?+1anan+1=1a1?1an+1．
18.(本小題17分)
2024年4月25日?4月29日，“與輝同行”開啟了一場深入中原的文化之旅，讓河南文旅打開了流量密碼.某景區(qū)趁此時(shí)機(jī)，舉行五一游該景區(qū)網(wǎng)上購票抽獎活動，在網(wǎng)上購買該景區(qū)門票的游客，可通過手機(jī)掃景區(qū)提供的二維碼進(jìn)入抽獎活動頁面，每張門票可從6個(gè)減免紅包中隨機(jī)抽取2個(gè)，6個(gè)紅包的金額分別為5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知該景區(qū)門票每張120元，全部實(shí)行網(wǎng)上購票．
(1)記購買1張門票的游客通過抽獎獲得的紅包金額之和為X，求X的分布列與期望;
(2)已知每位游客除門票外平均在該景區(qū)消費(fèi)30元、40元、60元的概率分別為12，13，16，舉行此抽獎活動后預(yù)計(jì)可使該景區(qū)五一期間客流量增加40%，假設(shè)每位購票游客都進(jìn)行了抽獎，回答下列問題并說明理由：
①舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間的門票收入是增加了，還是減少了?
②舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間的總收入是增加了，還是減少了?
19.(本小題17分)
2024年3月28日，小米SU7汽車上市，對電動汽車市場產(chǎn)生了重大影響，某品牌電動汽車采取抽獎促銷活動，每位顧客只能參加一次.抽獎活動規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的口袋中裝有n個(gè)球(n≥5,n∈N?)，其中有4個(gè)黑球，其余都是白球，這些球除顏色外全部相同，顧客將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入編號為1，2，3，?，n的紙盒內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號為k的紙盒(k=1,2,3,?,n).若編號為1，2，3，4的紙盒中有4個(gè)黑球，則獲得優(yōu)惠券10000元;若編號為1，2，3，4的紙盒中有3個(gè)黑球，則獲得優(yōu)惠券5000元;若編號為1，2，3，4的紙盒中有2個(gè)黑球，則獲得優(yōu)惠券1000元;其他情況不獲得優(yōu)惠券．
(1)已知n=10，顧客甲參加了此品牌電動汽車的促銷活動，求顧客甲獲得優(yōu)惠券的概率;
(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在紙盒編號的倒數(shù)，證明：X的期望小于43n．
參考答案
1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B
9.AD 10.ACD 11.ABC
12.?32
13.9
14.38
15.
16.
17.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，
則bn=an?Snn=an?(a1+an)n2n
=an?a12=n?12d，
所以bn+1?bn=n2d?n?12d=12d，
所以數(shù)列bn是公差為12d的等差數(shù)列；
(2)證明：
由(1)知數(shù)列bn是公差為12d的等差數(shù)列，
因?yàn)閎3?b12=12b5?b1，即d2=12×2d，
因?yàn)閐≠0，所以d=1，
所以an=a1+n?1>0，
所以1a1a2+1a2a3+?+1anan+1
=da1a2+da2a3+?+danan+1
=a2?a1a1a2+a3?a2a2a3+?+an+1?ananan+1
=1a1?1a2+1a2?1a3+?+1an?1an+1
=1a1?1an+1.得證．

18.解：(1)由題意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．
P(X=10)=1C62=115，P(X=15)=2×2C62=415，
P(X=20)=1C62=115，P(X=35)=2C62=215，
P(X=40)=2C62=215，P(X=65)=2C62=215，
P(X=70)=2C62=215，P(X=90)=1C62=115，
所以X的分布列為：
E(X)=10×115+15×415+20×115+35×215+40×215+65×215+70×215+90×115=40．
(2) ①假設(shè)不舉行抽獎活動，該景區(qū)在五一期間客流量為n人，則門票收入為120n元，
舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間門票收入為n(1+ 40% ) (120?40) = 112n< 120n，
所以舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間門票收入減少了．
②每位游客除門票外平均在該景區(qū)消費(fèi)30元、40元、60元的概率分別為12，13，16，
則期望值為30×12+40×13+60×16=1153，
不舉行抽獎活動，該景區(qū)在五一期間總收入為(120+1153)n=4753n，
舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間總收入為n(1+40%)(4753?40)=4973n>4753n，
所以舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間總收入增加了．
19.解：(1)設(shè)顧客甲獲得的優(yōu)惠券金額為Y元，“顧客甲獲得優(yōu)惠券”為事件A，
則P(Y=1000)=C42C62C104=37，P(Y=5000)=C43C61C104=435，P(Y=10000)=C44C104=1210，
所以P(A)=P(Y=1000)+P(Y=5000)+P(Y=10000)=37+435+1210=2342，
即顧客甲獲得優(yōu)惠券的概率為2342．
(2)證明：隨機(jī)變量X的概率分布列為
隨機(jī)變量X的期望為E(X)=k=4n1k?Ck?13Cn4=1Cn4k?4n1k?(k?1)!3!(k?4)!，
因?yàn)?k?(k?1)!3!(k?4)!=k?1k?(k?2)!3!(k?4)!

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