A．0.8B．0.5C．0.4D．0.1
2．（5分）已知直線l：ax+2y+3＝0的傾斜角為α，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）（x+y﹣1）8的展開式中，含xy4的項的系數(shù)為（ ）
A．240B．﹣280C．560D．360
4．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，G，E分別是CC1，AB的中點，P是四邊形CC1D1D內(nèi)一動點，，若直線AP與平面EFG沒有公共點，則線段AP的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）某學(xué)校利用周末時間組織學(xué)生進(jìn)行志愿者服務(wù)，高二年級共6個班，其中（1）班有2個志愿者隊長，本次志愿者服務(wù)一共20個名額，志愿者隊長必須參加且不占名額，若每個班至少有3人參加，則共有（ ）種分配方法．
A．90B．60C．126D．120
6．（5分）已知菱形ABCD的邊長為，∠BAD＝60°，以BD為折痕把△ABD折起，使點A到達(dá)點A′的位置，且平面A′BD⊥平面BCD．若點A′，B，C，D都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A．16πB．20πC．24πD．28π
7．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是直線x＝2上與點A（2，0）不重合的動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
8．（5分）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家；如果天不下雨，那么他不帶雨傘．假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立．現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共2個小題，每小題6分，共12分）：
（多選）9．（6分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2．過F2的直線l交雙曲線C的右支于A、B兩點，其中點A在第一象限．△AF1F2的內(nèi)心為I1，AI1與x軸的交點為P，記△AF1F2的內(nèi)切圓I1的半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓I2的半徑為r2，則下列說法正確的有（ ）
A．若雙曲線漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為2或
B．若AF1⊥AF2，且|BF1|﹣|AF1|＝2a，則雙曲線的離心率為
C．若，則r1﹣r2的取值范圍是
D．若直線l的斜率為，則雙曲線的離心率為
（多選）10．（6分）在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱CD的中點，N為線段BM上的動點（含端點），則下列選項正確的有（ ）
A．若直線A1M與直線AN所成角為α，則csα的最大值為．
B．若點N到平面ABC1D1的距離為d，則d+CN的最小值為．
C．若在該正方體內(nèi)放入一個半徑為的小球，則小球在正方體內(nèi)不能達(dá)到的空間體積是．
D．點T從B點出發(fā)勻速朝D1移動，點S從A點出發(fā)勻速朝A1移動．現(xiàn)S，T同時出發(fā)，當(dāng)S到達(dá)A1時，T恰好在BD1的中點處．則在此過程中，S，T兩點的最近距離為．
三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）：
11．（5分）已知ξ～N（4，52），且P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），則（0＜x＜a）的最小值為 ．
12．（5分）已知兩條互相垂直的直線l1，l2分別經(jīng)過點A（﹣4，0），B（2，2），公共點為T，O（0，0），則當(dāng)|OT|取最小值時，S△TAB＝ ．
13．（5分）已知是空間單位向量，．若空間向量滿足，且對于任意x，y∈R，，則y0＝ ，＝ ．
14．（5分）數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上首個提出二進(jìn)制計數(shù)法的人，任意一個十進(jìn)制正整數(shù)均可以用二進(jìn)制數(shù)表示．若正整數(shù)，其中a0＝1，ai＝0或1（i＝1，2，…，k），則n可以用（k+1）位二進(jìn)制數(shù)（a0a1a2?ak﹣1ak）2表示．記n的二進(jìn)制各個位數(shù)和為f（n），則f（n）＝a0+a1+?+ak﹣1+ak，例如5＝1×22+0×21+1×20＝（101）2，因此f（5）＝1+0+1＝2．已知正整數(shù)n≤1024且f（n）＝2，則這樣的n有 個：3f（1）+3f（2）+3f（3）+?+3f（62）+3f（63）＝ ．
四、解答題（本大題共6個小題，共78分）：
15．（11分）設(shè)（3x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求：
（1）a2+a4+a6；
（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|．
16．（11分）已知圓M的圓心在直線y＝3x+1上，且點A（1，2），B（﹣1，4）在M上．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若傾斜角為的直線l經(jīng)過點C（0，4），且l與圓M相交于D，E兩點，求|DE|．
17．（13分）如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，，將△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD．如圖2，BD的中點為O．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）若AD的中點為G，在線段AC上是否存在點H，使得平面GHB與平面BCD夾角的余弦值為？若存在，求出點H的位置；若不存在，請說明理由．
18．（13分）對于形如“|Ax+By+C|＝γ”的絕對值方程，我們可以考慮將其與點到直線的距離公式：相關(guān)聯(lián)．
（1）設(shè)集合U＝{（x，y）|x2+y2≠0，x∈R，y∈R}，點P的坐標(biāo)為（x，y），滿足“存在（a，b）∈U，使得”的點P構(gòu)成的圖形為Ω，求證：Ω的面積大于32；
（2）已知平面內(nèi)的點P異于原點，且點P的坐標(biāo)（x，y）滿足關(guān)系式.若這樣的點P恰有三個，求實數(shù)t的值．
19．（15分）某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個人通過初賽，進(jìn)入決賽．已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為p1，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為p2，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為p3．
（1）決賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，每場比賽勝者積1分，負(fù)者積0分，首先累計到2分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)p1＝p2＝p3＝0.6，且每局比賽相互獨立．
（i）求乙連勝兩局獲得最終勝利的概率；
（ii）求比賽結(jié)束時乙獲勝的概率；
（2）若p1+p3＜1，假設(shè)乙第一局出場，且乙獲得了指定首次比賽對手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略．
20．（15分）如圖1，在拋物線y＝x2（x＞0）上任選一動點P（x0，y0），可認(rèn)為其縱坐標(biāo)為以x0為邊長的正方形PP′LK的面積，由此將拋物線y＝x2下陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為四棱錐O﹣PP′LK的體積，得，稱其為拋物線的“三分之一”原則．
（1）如圖3，在擬柱體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，，點E到底面ABCD的距離為2，試?yán)脪佄锞€的“三分之一”原則求擬柱體ABCDEF的體積V；
（2）已知類似于圓錐的空間幾何體Ω具有圓錐的一切對稱性，且其頂點為O，底面為π，高為H，將Ω置于空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，使其頂點與坐標(biāo)原點重合，π與平面xOy平行且π上任意一點坐標(biāo)均可表示為（x0，y0，H）．若用任一平行于平面xOy的平面D′截Ω所得的截面的面積與D′到平面xOy的距離h有關(guān)系：S＝4πh，h∈[0，H]．設(shè)Ω被平面yOz所截得曲線為C，
（i）求Ω的體積V關(guān)于h的表達(dá)式及C在平面yOz中的方程；
（ii）在平面yOz中，過點P（﹣2，1）作兩條互相垂直的弦PA，PB，分別交C于A，B兩點，A，B都在第一象限內(nèi)且A在B的右側(cè)，AO，BO分別交z＝﹣2于M，N兩點．設(shè)△MON的面積為S1，△AOB的面積為S2，當(dāng)B點的橫坐標(biāo)時，求的最大值．
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）
1．（5分）已知隨機(jī)變量X﹣N（μ，σ2），若其對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝f（x），且P（X≤0）＝0.1，則P（1≤X≤2）＝（ ）
A．0.8B．0.5C．0.4D．0.1
【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．
【答案】C
【分析】由f（2﹣x）＝f（x）可得對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸為x＝1，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)題意，f（2﹣x）＝f（x），則正態(tài)密度函數(shù)f（x）關(guān)于x＝1對稱，即μ＝1，
則P（1≤X≤2）＝P（0≤X≤1）＝0.5﹣P（X≤0）＝0.5﹣0.1＝0.4．
故選：C．
【點評】本題考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知直線l：ax+2y+3＝0的傾斜角為α，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【考點】直線的傾斜角．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系，求出a的取值范圍．
【解答】解：因為，所以直線的斜率k＝tanα∈（0，]，
又由直線方程可得，所以，
解得，
即實數(shù)a的取值范圍是．
故選：C．
【點評】本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）（x+y﹣1）8的展開式中，含xy4的項的系數(shù)為（ ）
A．240B．﹣280C．560D．360
【考點】二項展開式的通項與項的系數(shù)．
【答案】B
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項特征即可求解．
【解答】解：（x+y﹣1）8的通項為，
且r≤k，r，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，
令，解得，
∴xy4的項的系數(shù)為，
∴（x+y﹣1）8的展開式中，含xy4的項的系數(shù)為﹣280．
故選：B．
【點評】本題考查二項式展開式的通項特征等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，G，E分別是CC1，AB的中點，P是四邊形CC1D1D內(nèi)一動點，，若直線AP與平面EFG沒有公共點，則線段AP的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【考點】點、線、面間的距離計算；空間向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系．
【答案】D
【分析】以D為原點建系，求出平面EFG的法向量，設(shè)P（0，y，z），0≤y≤4，0≤z≤4，由?＝0可得點P的軌跡方程，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求線段AP的最小值即可．
【解答】解：以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（4，0，0），E（4，2，0），F(xiàn)（1，4，0），G（0，4，2），
所以＝（3，﹣2，0），＝（﹣1，0，2），
設(shè)平面EFG的法向量為＝（a，b，c），則，
取a＝2，則b＝3，c＝1，所以＝（2，3，1），
設(shè)P（0，y，z），0≤y≤4，0≤z≤4，則＝（﹣4，y，z），
若直線AP與平面EFG沒有公共點，則AP∥平面EFG，
所以?＝0，即﹣8+3y+z＝0，
因為0≤y≤4，0≤z≤4，
所以，解得≤y≤，
而＝＝＝，
所以當(dāng)y＝∈[，]時，取得最小值＝．
故選：D．
【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握利用向量法處理線面平行，求動點的軌跡，以及兩點間距離的最值是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
5．（5分）某學(xué)校利用周末時間組織學(xué)生進(jìn)行志愿者服務(wù)，高二年級共6個班，其中（1）班有2個志愿者隊長，本次志愿者服務(wù)一共20個名額，志愿者隊長必須參加且不占名額，若每個班至少有3人參加，則共有（ ）種分配方法．
A．90B．60C．126D．120
【考點】排列組合的綜合應(yīng)用．
【答案】C
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，進(jìn)而結(jié)合隔板法求解即可得到．
【解答】解：由題意可知，若每個班至少3人參加，由于（1）班有2個志愿者隊長，
故只需先滿足每個班級有2個名額，還剩10個名額，
再將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，
利用插空法，只需在10個名額中的9個空上放置5個隔板即可，
所以種分配方法．
故選：C．
【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知菱形ABCD的邊長為，∠BAD＝60°，以BD為折痕把△ABD折起，使點A到達(dá)點A′的位置，且平面A′BD⊥平面BCD．若點A′，B，C，D都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A．16πB．20πC．24πD．28π
【考點】球的表面積．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得所求球的球心為過兩邊長為的正三角形的中心且垂直對應(yīng)面的兩垂線的交點，再根據(jù)勾股定理及球的表面積公式，即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意可得所求球的球心為過兩邊長為的正三角形的中心且垂直對應(yīng)面的兩垂線的交點，
又易知球心到一個正三角形的射影點的距離為1，射影點到對應(yīng)三角形的頂點的距離為2，
∴所求球的半徑R＝＝，
∴該球的表面積為4πR2＝20π．
故選：B．
【點評】本題考查三棱錐的外接球問題，屬中檔題．
7．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是直線x＝2上與點A（2，0）不重合的動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
【考點】橢圓的焦點弦及焦半徑．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為求三角形外接圓半徑的最小值，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)圓與直線x＝2相切時有最小值．
【解答】解：已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，
則F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），
又點P是直線x＝2上與點A（2，0）不重合的動點，
由正弦定理可知，其中R為△PF1F2外接圓的半徑，
因為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），
由圓的性質(zhì)可知，外接圓圓心在y軸上，如圖，
不妨設(shè)圓心為M（0，a），
則圓的方程為x2+（y﹣a）2＝R2，
由題意，圓M與直線x＝2有公共點P，且R＝|MP|，
顯然當(dāng)圓M與直線x＝2相切時，R＝|MP|有最小值2，此時P為切點，如圖，
所以的最小值為4．
故選：D．
【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點考查了正弦定理及圓的性質(zhì)，屬中檔題．
8．（5分）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家；如果天不下雨，那么他不帶雨傘．假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立．現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（ ）
A．B．C．D．
【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．
【答案】D
【分析】計算對立事件的概率，從下雨次數(shù)入手，分類討論計算兩天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率．
【解答】解：“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，
連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次．
（1）有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；
（2）4次均不下雨，概率為：；
（3）有2次下雨但不淋雨，共3種情況：
①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；
概率為：；
（4）有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，
概率為：；
（5）4次均下雨，概率為：；
兩天都不淋雨的概率為：，
所以至少有一天淋雨的概率為：．
故選：D．
【點評】本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．
二、多選題（本大題共2個小題，每小題6分，共12分）：
（多選）9．（6分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2．過F2的直線l交雙曲線C的右支于A、B兩點，其中點A在第一象限．△AF1F2的內(nèi)心為I1，AI1與x軸的交點為P，記△AF1F2的內(nèi)切圓I1的半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓I2的半徑為r2，則下列說法正確的有（ ）
A．若雙曲線漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為2或
B．若AF1⊥AF2，且|BF1|﹣|AF1|＝2a，則雙曲線的離心率為
C．若，則r1﹣r2的取值范圍是
D．若直線l的斜率為，則雙曲線的離心率為
【考點】由雙曲線的漸近線方程求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)；雙曲線的離心率；雙曲線的定義．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)基本量運(yùn)算直接得出離心率判斷A；結(jié)合雙曲線定義判斷B；結(jié)合內(nèi)切圓性質(zhì)判斷C；結(jié)合定義及余弦定理計算可得離心率判斷D．
【解答】解：對于A，雙曲線漸近線的夾角為60°，則或者，故或．
對于B，設(shè)|AF1|＝x，則|BF2|＝x，|AF2|＝x﹣2a，|BF1|＝x+2a．
故x2+（2x﹣2a）2＝（x+2a）2，解得x＝3a．又x2+（x﹣2a）2＝4c2，10a2＝4c2，故．
對于C，令圓I1切AF1，AF2，F(xiàn)1F2分別為點D，Q，T，則|AD|＝|AQ|，|F1D|＝|F1T|，|F2Q|＝|F2T|，
|F1T|﹣|F2T|＝|F1D|﹣|F2Q|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a，令點T（x0，0），而F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），
因此x0﹣（﹣c）﹣（c﹣x0）＝2a，解得x0＝a，又I1T⊥F1F2，則點I1橫坐標(biāo)為a，同理點I2橫坐標(biāo)為a，
即直線I1I2的方程為x＝a，
設(shè)直線AB的傾斜角為2θ，那么∠OF2I2＝θ，
在ΔI1F2T中，
在ΔI2F2T中，r2＝（c﹣a）tanθ，漸近線的斜率為．
因為A、B均在右支上，故．
如圖所求，．
對于D，，故|AF1|+|AF2|＝4c，而|AF1|﹣|AF2|＝2a．，
故|AF1|＝a+2c，|AF2|＝2c﹣a，∠F1F2A＝120°，
由余弦定理可知（2c+a）2＝（2c﹣a）2+4c2+2c?（2c﹣a），4c＝5a，故．
故選：ABD．
【點評】本題考查命題的子集的判定，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形的解法，是難題．
（多選）10．（6分）在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱CD的中點，N為線段BM上的動點（含端點），則下列選項正確的有（ ）
A．若直線A1M與直線AN所成角為α，則csα的最大值為．
B．若點N到平面ABC1D1的距離為d，則d+CN的最小值為．
C．若在該正方體內(nèi)放入一個半徑為的小球，則小球在正方體內(nèi)不能達(dá)到的空間體積是．
D．點T從B點出發(fā)勻速朝D1移動，點S從A點出發(fā)勻速朝A1移動．現(xiàn)S，T同時出發(fā)，當(dāng)S到達(dá)A1時，T恰好在BD1的中點處．則在此過程中，S，T兩點的最近距離為．
【考點】異面直線及其所成的角；空間中點到平面的距離；與直線有關(guān)的動點軌跡方程；球外切幾何體．
【答案】BD
【分析】對于選項A，根據(jù)點N運(yùn)動情況，求得即可判斷；對于選項B，根據(jù)動點到面和點到線的距離轉(zhuǎn)化求解即可；對于選項C，求出小球在正方體的8個頂點以及12條棱處不能達(dá)到的空間，利用球和柱體的體積公式求解即可；對于選項D，建立空間直角坐標(biāo)系，求出S，T坐標(biāo)，利用兩點間距離的坐標(biāo)公式求解即可．
【解答】解：選項A：當(dāng)M點與N點重合時，可得，故A錯誤；
選項B：過N作NP∥AB，再作PQ⊥BC1，又PQ⊥AB，易證PQ⊥平面ABC1D1，
所以點N到平面ABC1D1等于點P到平面ABC1D1，所以d+CN＝PQ+CN，
將平面ABCD和平面BCC1B1展開放在同一平面內(nèi)（如圖所示），取BP的中點K，則有，所以PK＝NP，所以△PNK為等腰直角三角形，所以，
又因為△PBQ為等腰直角三角形，所以，
所以PQ＝NK，所以d+CN＝NK+CN，
設(shè)∠NCP＝θ，PK＝KB＝t，則CP＝2﹣2t，，
在△CNK中，，
所以，
所以，，
所以，
下面求其最小值，令，則，
由輔助角公式可得，，其中取，所以，
所以存在角φ使得sin（θ+φ）≤1，即存在，
化簡得，
所以或，
又因為，所以，
所以的最小值為，故B正確；
選項C：正方體的8個頂點處的正方體內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間為，
除此之外，以正方體的棱為一條棱的12個的正四棱柱空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間為，
其他空間小球均能到達(dá)，
所以小球不能到達(dá)的空間體積為，C錯誤；
選項D：以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示坐標(biāo)系，
設(shè)|AS|＝m （0≤m≤2），則由題意可得，
所以S（2，0，m），B（2，2，0），D1（0，0，2），，
因為，所以，
所以，
由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，取得最小值，D正確．
故選：BD．
【點評】本題考查立體幾何綜合問題，屬于難題．
三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）：
11．（5分）已知ξ～N（4，52），且P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），則（0＜x＜a）的最小值為 ．
【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．
【答案】．
【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)，求出a的值，然后利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值．
【解答】解：因為ξ～N（4，52），故μ＝4，
因為P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），故，解得a＝4，
再令f（x）＝，0＜x＜4，
＝，易知時，f′（x）＜0，f（x）此時單調(diào)遞減，
時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，故f（x）min＝f（）＝．
故答案為：．
【點評】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．
12．（5分）已知兩條互相垂直的直線l1，l2分別經(jīng)過點A（﹣4，0），B（2，2），公共點為T，O（0，0），則當(dāng)|OT|取最小值時，S△TAB＝ ．
【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．
【答案】．
【分析】根據(jù)已知條件分析出動點T在以線段AB為直徑的圓上，進(jìn)而求出當(dāng)|OT|取得最小值時點T的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求解即可．
【解答】解：由題兩條互相垂直的直線l1，l2分別經(jīng)過點A（﹣4，0），B（2，2），公共點為T，O（0，0），
可得點T在以線段AB為直徑的圓上，此時該圓的圓心M（﹣1，1），
半徑，故圓M的方程為（x+1）2+（y﹣1）2＝10．
此時易知，當(dāng)點T為直線OM與圓M在第四象限的交點時|OT|取得最小值，
此時直線OM的方程為y＝﹣x，將該直線與圓M的方程聯(lián)立，
解得，或（舍），故此時，
所以．
故答案為：．
【點評】本題考查了利用了定義法求出了動點T的軌跡方程，動點問題求解的關(guān)鍵是分析出動點的軌跡，是中檔題．
13．（5分）已知是空間單位向量，．若空間向量滿足，且對于任意x，y∈R，，則y0＝ 2 ，＝ ．
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．
【答案】2；．
【分析】由題意可得當(dāng)且僅當(dāng)x＝x0，y＝y(tǒng)0時取到最小值1，通過平方的方法，結(jié)合最值的知識求得正確答案．
【解答】解：已知是空間單位向量，
又，
由于，
所以，
對于任意x，y∈R，，
即當(dāng)且僅當(dāng)x＝x0，y＝y(tǒng)0時取到最小值1，
又
＝
＝
＝
＝
＝．
則，
解得．
故答案為：2；．
【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點考查了含有多個平方的代數(shù)式的最小值問題，屬中檔題．
14．（5分）數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上首個提出二進(jìn)制計數(shù)法的人，任意一個十進(jìn)制正整數(shù)均可以用二進(jìn)制數(shù)表示．若正整數(shù)，其中a0＝1，ai＝0或1（i＝1，2，…，k），則n可以用（k+1）位二進(jìn)制數(shù)（a0a1a2?ak﹣1ak）2表示．記n的二進(jìn)制各個位數(shù)和為f（n），則f（n）＝a0+a1+?+ak﹣1+ak，例如5＝1×22+0×21+1×20＝（101）2，因此f（5）＝1+0+1＝2．已知正整數(shù)n≤1024且f（n）＝2，則這樣的n有 45 個：3f（1）+3f（2）+3f（3）+?+3f（62）+3f（63）＝ 4095 ．
【考點】進(jìn)位制．
【答案】45；4095．
【分析】（1）由題意：n是2～10位二進(jìn)制數(shù)，得到n的前10位中恰有兩個1，其余位均為0即可求解；
（2）63＝（111111）2是最大的6位二進(jìn)制數(shù)，從而說明1～63的二進(jìn)制數(shù)中，f（n）∈{1，2，3，…，6}→f（n）＝1時共有個二進(jìn)制數(shù)，f（n）＝2時共有個二進(jìn)制數(shù)，f（n）＝3時共有個二進(jìn)制數(shù)，…，f（n）＝6時共有個二進(jìn)制數(shù)，進(jìn)而可求解．
【解答】解：（1）n≤1024＝210＝（10000000000）2，
要使f（n）＝2，則n是2～10位二進(jìn)制數(shù)，
n的前10位中恰好有兩個1，其余位均為0，
∵最高位必為1，
∴，
∴正整數(shù)n≤1024且f（n）＝2，則這樣的n有45個．
（2）∵63＝64﹣1＝26﹣1＝1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝（111111）2是最大的6位二進(jìn)制數(shù)，
∴1～63的二進(jìn)制數(shù)中最少1個1，最多6個1，
即當(dāng)n∈{1，2，3，…，63}時，f（n）∈{1，2，3，…，6}．
當(dāng)f（n）＝1時，1～6位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位為0，
∴共有個二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有1個1，其余位均為0）；
當(dāng)f（n）＝2時，2～6位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位只有一個1，
∴共有個二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有2個1，其余位均為0）；
當(dāng)f（n）＝3時，3～6位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位只有2個1，
∴共有個二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有3個1，其余位均為0）；
…
當(dāng)f（n）＝6時，6位二進(jìn)制數(shù)全是1，故共有個二進(jìn)制數(shù)，
∴3f（1）+3f（2）+3f（3）+?+3f（62）+3f（63）
＝．
故選：45；4095．
【點評】本題考查二進(jìn)制數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
四、解答題（本大題共6個小題，共78分）：
15．（11分）設(shè)（3x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求：
（1）a2+a4+a6；
（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|．
【考點】二項展開式的通項與項的系數(shù)．
【答案】（1）﹣8128；
（2）16384．
【分析】（1）結(jié)合賦值法，即可求解；
（2）結(jié)合賦值法，即可求解．
【解答】解：（1）（3x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，
令x＝0，則a0＝﹣1，
令x＝1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝（3﹣1）7＝128，
令x＝﹣1，則a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（﹣3﹣1）7＝﹣47，
兩式相加可得，；
（2）（3x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，
|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|＝（3+1）7＝16384．
【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．（11分）已知圓M的圓心在直線y＝3x+1上，且點A（1，2），B（﹣1，4）在M上．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若傾斜角為的直線l經(jīng)過點C（0，4），且l與圓M相交于D，E兩點，求|DE|．
【考點】直線與圓的位置關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4；
（2）．
【分析】（1）由題意設(shè)圓心M的坐標(biāo)，由|MA|＝|MB|，列方程可得參數(shù)的值，即求出圓的方程；
（2）由題意設(shè)直線l的方程，求出圓心M到直線l的距離d，由弦長公式，可得弦長|DE|的值．
【解答】解：（1）由題意設(shè)圓心M（a，3a+1，），又因為點A，B在圓M上，
所以|MA|＝|MB|，即＝，
解得a＝1，即M（1，4），半徑r＝|AM|＝＝2，
所以圓M的方程為（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4；
（2）設(shè)傾斜角為的直線l經(jīng)過點C（0，4），可得直線l的方程為y＝x+4，
即x﹣y+4＝0，
可得圓心M到直線l的距離d＝＝，
所以弦長|DE|＝2＝2＝．
【點評】本題考查圓的方程的求法及直線與圓相交弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
17．（13分）如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，，將△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD．如圖2，BD的中點為O．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）若AD的中點為G，在線段AC上是否存在點H，使得平面GHB與平面BCD夾角的余弦值為？若存在，求出點H的位置；若不存在，請說明理由．
【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面垂直．
【答案】（1）證明見解答；
（2）存在，點H位于線段AC靠近A的三等分點處．
【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理即可證明；
（2）分別以O(shè)D，OM，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用面面角的空間向量公式列出方程求解即可．
【解答】解：（1）證明：因為AB＝AD，BD的中點為O，所以AO⊥BD，
又因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，
所以AO⊥平面BCD；
（2）取DC的中點為M，連接MO，則MO∥BC，
由圖1直角梯形可知，ABMD為正方形，
所以BM＝CM＝1，，DC＝2，所以BD⊥BC，BD⊥OM．
由（1）知，AO⊥平面BCD，所以O(shè)D，OM，OA兩兩互相垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)D，OM，OA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），，，，，
設(shè)，所以，
所以，，
設(shè)平面GHB的法向量為，則，，
所以，
取x＝λ，則，
由AO⊥平面BCD，取平面BCD的一個法向量為，
設(shè)平面GHB與平面BCD的夾角為θ，
則＝，
解得或λ＝﹣1（舍）．
所以線段AC上存在點H，使得平面GHB與平面BCD夾角的余弦值為.點H位于線段AC靠近A的三等分點處．
【點評】本題考查線面垂直的證明，平面與平面所成角的求法，屬于中檔題．
18．（13分）對于形如“|Ax+By+C|＝γ”的絕對值方程，我們可以考慮將其與點到直線的距離公式：相關(guān)聯(lián)．
（1）設(shè)集合U＝{（x，y）|x2+y2≠0，x∈R，y∈R}，點P的坐標(biāo)為（x，y），滿足“存在（a，b）∈U，使得”的點P構(gòu)成的圖形為Ω，求證：Ω的面積大于32；
（2）已知平面內(nèi)的點P異于原點，且點P的坐標(biāo)（x，y）滿足關(guān)系式.若這樣的點P恰有三個，求實數(shù)t的值．
【考點】軌跡方程．
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）t可取和．
【分析】（1）條件可轉(zhuǎn)化為P（x，y）的軌跡為到直線ax+by＝0和bx﹣ay＝0的距離之和不大于4的點的集合，由此確定軌跡形狀，求其面積；
（2）條件可轉(zhuǎn)化為有且僅有三條直線滿足A（4，1）和B（1，﹣3）到直線l：xa+yb+1＝0（不過原點）的距離t相等，分t＝，0＜t＜和t＞這三種情況討論求出滿足條件的t．
【解答】解：（1）證明：易知|ax+by|+|bx﹣ay|≤4，
可得，
所以P（x，y）的軌跡為到直線ax+by＝0和bx﹣ay＝0的距離之和不大于4的點的集合，
因為a×b+b×（﹣a）＝0，
所以直線ax+by＝0和bx﹣ay＝0垂直，
設(shè)E，F(xiàn)分別為點P在直線ax+by＝0，ax﹣by＝0上的投影，
此時存在（a，b）∈U，滿足|OE|+|OF|≤4，|OP|2＝|OE|2+|OF|2，
當(dāng)|OE|+|OF|＝4時，|OP|2＝|OE|2+（4﹣|OE|）2＝2[（|OE|﹣2）2+4]，
因為0≤|OE|≤4，
所以8≤|OP|2≤16，
解得；
當(dāng)0＜|OE|+|OF|＜4時，|OP|2＝|OE|2+|OF|2≥2|OE||OF|，
因為集合U表示除原點外平面內(nèi)的點，
所以P不能在原點，
所以|OE|≥0，|OF|≥0，
所以|OE||OF|≥0，但|OE|，|OF|不能同時等于0，
所以|OP|2＝|OE|2+|OF|2≥2|OE||OF|≥0，但等號不能同時成立，
所以|OP|2＞0，
所以P點的軌跡Ω是以原點為圓心，半徑在（0，4]范圍內(nèi)的圓形的內(nèi)部區(qū)域（原點除外），
則Ω的面積為π?42＝16π＞32，證畢；
（2）易知t＞0，
此時，
所以有且僅有三條直線滿足A（4，1）和B（1，﹣3）到直線l：xa+yb+1＝0（不過原點）的距離t相等，
因為，
當(dāng)，此時易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線以及與直線AB平行的且距離為的兩條直線，符合題意；
當(dāng)時，有4條直線l會使得點A（4，1）和B（1，﹣3）到它們的距離相等，
注意到l不過原點，所以當(dāng)其中一條直線過原點時，會作為增根被舍去．
設(shè)點A到l的距離為d，
作為增根被舍去的直線l，過原點和A，B的中點，
此時直線方程為2x+5y＝0，
可得，符合題意；
作為增根被舍去的直線l，過原點且與AB平行，
此時直線方程為4x﹣3y＝0，
可得，不符合題意；
當(dāng)，只有兩條直線使得點A（4，1）和B（1，﹣3）到它們的距離相等，不符合題意．
綜上所述，t可取和．
【點評】本題考查軌跡方程，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
19．（15分）某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個人通過初賽，進(jìn)入決賽．已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為p1，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為p2，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為p3．
（1）決賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，每場比賽勝者積1分，負(fù)者積0分，首先累計到2分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)p1＝p2＝p3＝0.6，且每局比賽相互獨立．
（i）求乙連勝兩局獲得最終勝利的概率；
（ii）求比賽結(jié)束時乙獲勝的概率；
（2）若p1+p3＜1，假設(shè)乙第一局出場，且乙獲得了指定首次比賽對手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略．
【考點】概率的應(yīng)用；事件的互為對立及對立事件；對立事件的概率關(guān)系及計算．
【答案】（1）（i）0.24；（ii）0.336；
（2）乙的最優(yōu)指定策略是指定第一局的對手為甲．
【分析】（1）（i）計算第一局乙獲勝的概率和第二局乙獲勝的概率，相乘即可得結(jié)果．
（ii）考慮比賽結(jié)束時乙獲勝的所有情況，由獨立事件的乘法公式計算出概率，再由事件概率的加法公式即可得結(jié)果．
（2）計算第一局乙對丙最終乙獲勝的概率和第一局乙對甲最終乙獲勝的概率，結(jié)合條件作差比較大小即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）（i）根據(jù)題意，甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為p1，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為p2，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為p3．且p1＝p2＝p3＝0.6，
設(shè)乙連勝兩局獲得最終勝利為事件M，
則P（M）＝（1﹣0.6）×0.6＝0.24．
（ii）根據(jù)題意，設(shè)比賽結(jié)束時乙獲勝為事件N，
則P（N）＝（1﹣p1）p3+（1﹣p1）（1﹣p3）p2（1﹣p1）+p1（1﹣p2）p3（1﹣p1）
＝0.4×0.6+0.4×0.4×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6×0.4＝0.336，
（2）設(shè)事件A為“第一局乙對丙最終乙獲勝”，B為“第一局乙對甲最終乙獲勝”，
第一，第一局乙獲勝，第二局乙獲勝；
第二，第一局乙獲勝，第二局甲獲勝，第三局丙獲勝，第四局乙獲勝；
第三，第一局丙獲勝，第二局甲獲勝，第三局乙獲勝，第四局乙獲勝，
故P（A）＝p3（1﹣p1）+p3p1（1﹣p2）p3+（1﹣p3）p2（1﹣p1）p3；
同理可得P（B）＝（1﹣p1）p3+（1﹣p1）（1﹣p3）p2（1﹣p1）+p1（1﹣p2）p3（1﹣p1）；
P（A）﹣P（B）
＝[p3p1（1﹣p2）p3﹣p1（1﹣p2）p3（1﹣p1）]+[（1﹣p3）p2（1﹣p1）p3﹣（1﹣p1）（1﹣p3）p2（1﹣p1）]
＝（p1+p3﹣1）p1（1﹣p2）p3+（p1+p3﹣1）（1﹣p3）p2（1﹣p1）
＝（p1+p3﹣1）[p1（1﹣p2）p3+（1﹣p3）p2（1﹣p1）]，
由于p1+p3＜1，故P（A）﹣P（B）＜0，
所以P（B）＞P（A），故乙的最優(yōu)指定策略是指定第一局的對手為甲．
【點評】本題考查概率的應(yīng)用，涉及相互獨立事件、互斥事件的概率計算，屬于中檔題．
20．（15分）如圖1，在拋物線y＝x2（x＞0）上任選一動點P（x0，y0），可認(rèn)為其縱坐標(biāo)為以x0為邊長的正方形PP′LK的面積，由此將拋物線y＝x2下陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為四棱錐O﹣PP′LK的體積，得，稱其為拋物線的“三分之一”原則．
（1）如圖3，在擬柱體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，，點E到底面ABCD的距離為2，試?yán)脪佄锞€的“三分之一”原則求擬柱體ABCDEF的體積V；
（2）已知類似于圓錐的空間幾何體Ω具有圓錐的一切對稱性，且其頂點為O，底面為π，高為H，將Ω置于空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，使其頂點與坐標(biāo)原點重合，π與平面xOy平行且π上任意一點坐標(biāo)均可表示為（x0，y0，H）．若用任一平行于平面xOy的平面D′截Ω所得的截面的面積與D′到平面xOy的距離h有關(guān)系：S＝4πh，h∈[0，H]．設(shè)Ω被平面yOz所截得曲線為C，
（i）求Ω的體積V關(guān)于h的表達(dá)式及C在平面yOz中的方程；
（ii）在平面yOz中，過點P（﹣2，1）作兩條互相垂直的弦PA，PB，分別交C于A，B兩點，A，B都在第一象限內(nèi)且A在B的右側(cè)，AO，BO分別交z＝﹣2于M，N兩點．設(shè)△MON的面積為S1，△AOB的面積為S2，當(dāng)B點的橫坐標(biāo)時，求的最大值．
【考點】棱錐的體積．
【答案】（1）．
（2）（i）；（ii）的最大值為．
【分析】從主題干中對拋物線下面積的轉(zhuǎn)化，不難發(fā)現(xiàn)：
推廣到任意幾何體，都有V＝S，其中S為該幾何體橫截面積與高所成的函數(shù)f（h）在坐標(biāo)系hOS中與h軸正半軸所圍成的圖形面積（在定義域限制內(nèi)），由此推論能夠解決（1）和（2）的第一問；
對于（2）的第二問，考生首先要對“過定點”這一問題具有敏感性，能夠迅速識別出直線AB恒過定點；其次，要善于轉(zhuǎn)化面積的比值為f（xAxB），再利用定點轉(zhuǎn)化為飄帶型函數(shù)，得到極值．
【解答】解：（1）在拋物線y＝x2（x＞0）上任選一動點P（x0，y0），
可認(rèn)為其縱坐標(biāo)為以x0為邊長的正方形PP′LK的面積，
由此將拋物線y＝x2下陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為四棱錐O﹣PP′LK的體積，
得，稱其為拋物線的“三分之一”原則，
在擬柱體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，
，點E到底面ABCD的距離為2，
如圖，用平行于底面的平面π截擬柱體ABCDEF得矩形A′B′C′D′，
設(shè)點E到π的距離為h，
由相似的基本定理得矩形A′B′C′D′面積S＝h（h+2），
建立如圖的平面直角坐標(biāo)系hOS，
由主題干信息得，擬柱體ABCDEF的體積V即函數(shù)S＝h（h+2）
與h軸正半軸所圍成的陰影部分面積，
由拋物線的“三分之一”原則：，
即擬柱體ABCDEF的體積；
（2）用任一平行于平面xOy的平面D′截Ω所得的截面的面積與D′到平面xOy的距離h有關(guān)系：
S＝4πh，h∈[0，H]．設(shè)Ω被平面yOz所截得曲線為C，
（i）由主題干信息得，類錐體Ω的體積即底面π的面積S與h軸正半軸所圍成的陰影部分面積，
又S與h有關(guān)系S＝4πh，
∴Ω的體積V關(guān)于h的表達(dá)式為；
∵Ω具有圓錐的一切對稱性，
∴其底面π為圓，
又S＝4πh，得其半徑，
由幾何體的空間位置，可建立h與r得關(guān)系：r2＝4h，
即C在平面yOz中的方程為：y2＝4z；
（ii）在平面yOz中，過點P（﹣2，1）作兩條互相垂直的弦PA，PB，分別交C于A，B兩點，
A，B都在第一象限內(nèi)且A在B的右側(cè)，AO，BO分別交z＝﹣2于M，N兩點．
設(shè)△MON的面積為S1，△AOB的面積為S2，
設(shè)A（yA，zA），B（yB，zB），AB：z＝ky+m，
由PA⊥PB得①
聯(lián)立直線與拋物線②
由①②得（m﹣3）2＝（2k﹣2）2，
即m＝2k+1（舍）或m＝4﹣2k，
∴AB恒過定點（2，5），
改寫AB為（yA+yB）y＝4z+yAyB，
代入（2，5）得2（yA+yB）＝20+yAyB，
即③
易得，④
∴
由③④得，
令，
則有，
其中，
對于函數(shù)，當(dāng)時，有如下圖像：
∴，
所以，
即的最大值為．
【點評】本題基于微積分基本定義的背景，以拋物線的“三分之一”原則引出推論，對不規(guī)則幾何體的體積求法加以拓展，巧妙的考查了考生的理解能力，計算能力和綜合運(yùn)用能力．
考點卡片
1．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【知識點的認(rèn)識】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||csθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當(dāng)，方向相同時，＝||||；當(dāng)，方向相反時，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）
（4）csθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||
2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．
【解題方法點撥】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是 ①② ．
解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【命題方向】
本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．
2．球外切幾何體
【知識點的認(rèn)識】
若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球．
【解題方法點撥】
研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系．
正方體的內(nèi)切球，切點是各個面的中心，球心是正方體的中心，球的直徑等于正方體棱長．
如果一個長方體有內(nèi)切球，那么它一定是正方體．
正六面體的內(nèi)切球：正六面體的內(nèi)切球是一個以正六面體的中心為球心的球，它與正六面體的所有面都相切，且半徑等于正六面體邊長的一半乘以．
【命題方向】
內(nèi)切球是近幾年高考的熱門考點，要求考生有足夠的空間想象能力．部分空間能力比較薄弱的考生，可以熟記常見的內(nèi)切球模型結(jié)論，或許在考場上能有幫助．內(nèi)切球常見的解決方法是等體積法求球的半徑，常見的題型以選擇壓軸，填空壓軸為主．
3．棱錐的體積
【知識點的認(rèn)識】
棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度．
【解題方法點撥】
﹣計算公式：體積計算公式為．
﹣底面面積計算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算．
【命題方向】
﹣棱錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計算棱錐的體積．
﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用棱錐體積計算．
4．球的表面積
【知識點的認(rèn)識】
球的表面積依賴于球的半徑r，計算公式為．
【解題方法點撥】
﹣計算公式：表面積計算公式為．
﹣實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的球尺寸進(jìn)行表面積計算．
【命題方向】
﹣球的表面積計算：考查如何根據(jù)球的半徑計算表面積．
﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用球的表面積計算．
5．異面直線及其所成的角
【知識點的認(rèn)識】
1、異面直線所成的角：
直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．
2、求異面直線所成的角的方法：
求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．
3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：
6．直線與平面垂直
【知識點的認(rèn)識】
直線與平面垂直：
如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．
直線與平面垂直的判定：
（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．
（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．
（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．
直線與平面垂直的性質(zhì)：
①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b
②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．
7．空間向量法求解二面角及兩平面的夾角
【知識點的認(rèn)識】
1、二面角的定義：
從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：
設(shè)平面α和β的法向量分別為和，若兩個平面的夾角為θ，則
（1）當(dāng)0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此時csθ＝cs＜，＞＝．
（2）當(dāng)＜＜，＞＜π時，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
【解題方法點撥】
﹣數(shù)量積和模：使用向量數(shù)量積和模計算夾角，應(yīng)用反余弦函數(shù)得到結(jié)果．
【命題方向】
﹣向量法計算：考查如何使用空間向量法計算兩平面之間的夾角．
8．點、線、面間的距離計算
【知識點的認(rèn)識】
9．空間中點到平面的距離
【知識點的認(rèn)識】
﹣點到平面的距離：點P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量為（A，B，C））的距離為：
【解題方法點撥】
﹣計算距離：代入點和平面的系數(shù)，使用公式計算距離．
【命題方向】
﹣距離計算：考查如何計算點到平面的距離．
10．空間向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系
【知識點的認(rèn)識】
1．直線與平面平行
（1）已知兩個非零向量和與α共面，直線l的一個方向向量為，則由共面向量定理可以得：
l∥α或l在α內(nèi)?存在兩個有序?qū)崝?shù)（x，y）使
（2）由共面向量定理還可以得，如果A，B，C三點不共線，則點M在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在一對有序?qū)崝?shù)（x，y）使向量表達(dá)式成立．
2．線面垂直：
（1）設(shè)直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α?∥?＝k；
（2）由線面垂直的判定定理，只要證明已知直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線向量垂直．
11．直線的傾斜角
【知識點的認(rèn)識】
1．定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
2．范圍：[0，π） （特別地：當(dāng)直線l和x軸平行或重合時，規(guī)定直線l的傾斜角為0°）
3．意義：體現(xiàn)了直線對x軸正方向的傾斜程度．
4．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系
（1）區(qū)別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．
②傾斜角是從幾何的角度刻畫直線的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫直線的方向．
（2）聯(lián)系：①當(dāng)a≠時，k＝tanα；當(dāng)α＝時，斜率不存在；
②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當(dāng)α∈[0，）時，k＞0且tanα隨α的增大而增大，當(dāng)α∈（，π）時，k＜0 且tanα隨α的增大而增大．
【解題方法點撥】
直線的傾斜角常結(jié)合直線的斜率進(jìn)行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點問題．
【命題方向】
（1）直接根據(jù)直線斜率求傾斜角
例：直線x+y﹣1＝0的傾斜角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
分析：求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．
解答：因為直線x+y﹣1＝0的斜率為：﹣，
直線的傾斜角為：α．
所以tanα＝﹣，
α＝120°
故選C．
點評：本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識的應(yīng)用．
（2）通過條件轉(zhuǎn)換求直線傾斜角
例：若直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點，則直線AB的傾斜角為（ ）
A．30° B.45° C．60° D．120°
分析：由直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點，能求出直線AB的斜率，從而能求出直線AB的傾斜角．
解答：∵直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點，
∴直線AB的斜率k＝＝1，
∴直線AB的傾斜角α＝45°．
故選B．
點評：本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
12．直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系
【知識點的認(rèn)識】
1、兩條直線平行與垂直的判定
對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：
（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1∥l2?k1?k2＝﹣1．
2、直線的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率為﹣，y軸上截距為﹣的直線．
（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設(shè)所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設(shè)所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直線l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時為0），則兩條直線的位置關(guān)系可以如下判別：
①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0時，則l1∥l2?；l1與l2重合?；l1與l2相交?．
13．與直線有關(guān)的動點軌跡方程
【知識點的認(rèn)識】
﹣動點軌跡：動點P（x，y）滿足一定條件（如到定點距離等于常數(shù)）的軌跡方程．常見軌跡包括直線、圓等．
【解題方法點撥】
﹣求軌跡方程：
1．分析條件：將動點的條件轉(zhuǎn)化為方程．
2．轉(zhuǎn)換方程：將幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)方程，如點到直線的距離或點到點的距離等于常數(shù)．
3．求解方程：通過代數(shù)方法或幾何方法得到軌跡方程．
【命題方向】
﹣動點軌跡：考查如何從動點條件推導(dǎo)出軌跡方程，常涉及幾何圖形的方程構(gòu)建．
14．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【知識點的認(rèn)識】
1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圓心C（a，b），半徑為r．
特別地，當(dāng)圓心為坐標(biāo)原點時，半徑為r的圓的方程為：
x2+y2＝r2．
其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．
【解題方法點撥】
已知圓心坐標(biāo)和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關(guān)鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：
（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b，r的方程組；
（3）求出a，b，r的值，代入所設(shè)方程中即可．
另外，通過對圓的一般方程進(jìn)行配方，也可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程．
【命題方向】
可以是以單獨考點進(jìn)行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為基礎(chǔ)考點往往出現(xiàn)在關(guān)于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關(guān)鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
例1：圓心為（3，﹣2），且經(jīng)過點（1，﹣3）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點的坐標(biāo)，求出半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圓M經(jīng)過點（1，﹣3）得R2＝5，從而所求方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案為（x﹣3）2+（y+2）2＝5
點評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑．
例2：若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，半徑已知，只需找出圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標(biāo)的絕對值等于圓的半徑即|b|等于半徑1，由圓心在第一象限可知b等于圓的半徑，確定出b的值，把b的值代入求出的a與b的關(guān)系式中，求出a的值，從而確定出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
解答：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），
由圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝＝r＝1，
化簡得：|4a﹣3b|＝5①，
又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圓心坐標(biāo)為（2，1），
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故選：A
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若直線與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，要求學(xué)生靈活運(yùn)用點到直線的距離公式，以及會根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
例3：圓x2+y2+2y＝1的半徑為（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求出圓的半徑．
解答：圓x2+y2+2y＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+（y+1）2＝2，
故半徑等于，
故選B．
點評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及各量的幾何意義，把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，是解題的關(guān)鍵．
15．直線與圓的位置關(guān)系
【知識點的認(rèn)識】
直線與圓的位置關(guān)系
【解題方法點撥】
判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法
直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：
（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．
圓心到直線的距離d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相離：d＞r
（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．
由消元，得到一元二次方程的判別式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相離：△＜0．
16．橢圓的焦點弦及焦半徑
【知識點的認(rèn)識】
焦點弦是通過橢圓的焦點并且與橢圓交于兩點的弦．焦半徑是焦點到橢圓上某點的距離．
【解題方法點撥】
1．計算焦點弦長度：焦點弦的長度與焦點到弦中點的距離有關(guān)．
2．應(yīng)用焦半徑公式：利用焦點和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計算焦半徑．
【命題方向】
﹣給定焦點和弦所在直線，計算焦點弦長度．
﹣分析焦點弦的性質(zhì)及其計算方法．
17．雙曲線的定義
【知識點的認(rèn)識】
雙曲線（Hyperbla）是指與平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點（fcus），定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．
標(biāo)準(zhǔn)方程
①（a，b＞0），表示焦點在x軸上的雙曲線；
②（a，b＞0），表示焦點在y軸上的雙曲線．
性質(zhì)
這里的性質(zhì)以（a，b＞0）為例講解：
①焦點為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準(zhǔn)線方程為：x＝±；③離心率e＝＞1；④漸近線：y＝±x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝|ex﹣a|．
【解題方法點撥】
例1：雙曲線﹣＝1的漸近線方程為
解：由﹣＝0可得y＝±2x，即雙曲線﹣＝1的漸近線方程是y＝±2x．
故答案為：y＝±2x．
這個小題主要考察了對漸近線的理解，如果實在記不住，可以把那個等號后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個式子就是它的漸近線．
例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x﹣2y＝0，且過點P（4，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，
設(shè)雙曲線方程為﹣y2＝λ（λ≠0），
∵雙曲線過點P（4，3），
∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．
∴所求雙曲線方程為﹣y2＝﹣5，
即：﹣＝1．
一般來說，這是解答題的第一問，常常是根據(jù)一些性質(zhì)求出函數(shù)的表達(dá)式來，關(guān)鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點在x軸還是y軸，知道這些參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達(dá)式了．
【命題方向】
這里面的兩個例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當(dāng)大的，在這里可以有所取舍，對于基礎(chǔ)一般的同學(xué)來說，盡量的把這些基礎(chǔ)的分拿到才是最重要的，對于還剩下的部分，盡量多寫．
18．由雙曲線的漸近線方程求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)
【知識點的認(rèn)識】
已知雙曲線的漸近線方程可以確定a和b，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解題方法點撥】
1．計算a和b：由漸近線方程的斜率計算．
2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【命題方向】
﹣給定漸近線方程，求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或參數(shù)．
﹣利用漸近線方程計算標(biāo)準(zhǔn)方程．
19．雙曲線的離心率
【知識點的認(rèn)識】
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
20．軌跡方程
【知識點的認(rèn)識】
1．曲線的方程和方程的曲線
在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面內(nèi)的動點都可以用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示，這就是動點的坐標(biāo)．當(dāng)點按某種規(guī)律運(yùn)動形成曲線時，動點坐標(biāo)（x，y）中的變量x、y存在著某種制約關(guān)系，這種制約關(guān)系反映到代數(shù)中，就是含有變量x、y的方程．
一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看做適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：
（1）曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；
（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．
那么這個方程就叫做曲線的方程，這條曲線就叫做方程的曲線．
2．求曲線方程的一般步驟（直接法）
（1）建系設(shè)點：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用（x，y）表示曲線上任一點M的坐標(biāo)；
（2）列式：寫出適合條件p的點M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐標(biāo)表示出條件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化簡：化方程f（x，y）＝0為最簡形式；
（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是在曲線上的點
【解題方法點撥】
（1）直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式（如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、夾角公式等）進(jìn)行整理、化簡．這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧．
（2）定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化為某一基本軌跡的定義條件．
（3）相關(guān)點法：用所求動點P的坐標(biāo)（x，y）表示已知動點M的坐標(biāo)（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再將x0，y0代入M滿足的條件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分點問題、對稱問題可用相關(guān)點法求解，相關(guān)點法的一般步驟是：設(shè)點→轉(zhuǎn)換→代入→化簡．
（4）待定系數(shù)法
（5）參數(shù)法
（6）交軌法．
21．事件的互為對立及對立事件
【知識點的認(rèn)識】
﹣對立事件：事件A的對立事件是指A不發(fā)生的情況，記作．
﹣互為對立：如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，兩個事件A和B互為對立當(dāng)且僅當(dāng)和．
【解題方法點撥】
﹣使用對立事件的概率關(guān)系來計算對立事件的概率．
﹣判斷兩個事件是否互為對立，通常檢查它們的并集是否為樣本空間，交集是否為空．
【命題方向】
﹣主要考察對立事件的概率計算及事件的補(bǔ)集概念．
22．對立事件的概率關(guān)系及計算
【知識點的認(rèn)識】
﹣對立事件的概率關(guān)系是．
【解題方法點撥】
﹣利用對立事件的公式計算對立事件的概率．
【命題方向】
﹣主要考察對立事件概率計算的問題，適用于概率計算的補(bǔ)集部分．
23．概率的應(yīng)用
【知識點的認(rèn)識】
概率相關(guān)知識梳理：
一、古典概型與互斥事件
1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計值．
2．古典概率計算公式：P（A）＝．
集合的觀點：設(shè)試驗的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．
3．古典概型的特征：（1）每次試驗的結(jié)果只有一個基本事件出現(xiàn)；（2）試驗結(jié)果具有有限性；（3）試驗結(jié)果出現(xiàn)等可能性．
4．互斥事件概率
（1）互斥事件：在一個隨機(jī)試驗中，一次試驗中不可能同時發(fā)生的兩個事件A，B稱為互斥事件．
（2）互為事件概率計算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．
（3）對立事件：在一個隨機(jī)試驗中，一次試驗中兩個事件A，B不會同時發(fā)生，但必有一個事件發(fā)生，這樣的兩個事件稱為對立事件．記作：B＝，由對立事件定義知：P（A）＝1﹣P（）
（4）互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立必互斥，互斥未必對立．
用集合的觀點分析對立事件與互斥事件：
設(shè)兩個互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）
設(shè)兩個對立事件A，包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，，A∩＝?，A∪＝I，
則
注：若A1，A2，…，An任意兩個事件互斥，
則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
二、幾何概型
幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．
幾何概型計算公式：
幾何概型的特征：（1）試驗的結(jié)果有無限個（無限性）；（2）試驗的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．
注：幾何概型中的區(qū)域可以是長度、面積、體積等．
三、條件概率與獨立事件
1．條件概率的定義：對于任何兩個事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．
2．把事件A，B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．
3．條件概率計算公式：P（A|B）＝（P（B）＞0），P（B|A）＝（P（A）＞0），
注：
（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒有事件B發(fā)生時的概率是不同的．
（2）對于兩個事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．
此時事件A，B是相互獨立的兩個事件，即有P（A|B）＝P（A）＝（P（B）＞0?P（AB）＝P（A）P（B）．
故當(dāng)兩個事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨立，同時A與，與B，與也相互獨立．
四、二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布
1．二項分布：
（1）n次獨立重復(fù)試驗的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立．
n次獨立重復(fù)試驗的特征：
①每次試驗的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；
②各次試驗的結(jié)果互不影響，且每次試驗只有兩個結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．
（2）二項分步概率計算公式：一般地，在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項分布，記作：X～B（n，p）．
2．超幾何分布
超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）
注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．
3．正態(tài)分布：
（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．
五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．
1、概念：
（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．
（2）離散型隨機(jī)變量：對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．
（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量
（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．
2、離散型隨機(jī)變量
（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．
（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量．
3、離散型隨機(jī)變量的分布列．
（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：
該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．
（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
4、離散型隨機(jī)變量的期望
數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為
則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．
數(shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．
期望的一個性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．
5、離散型隨機(jī)變量的方差；
方差：對于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，
稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的Eξ是隨機(jī)變量ξ的期望．
標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．
方差的性質(zhì)：．
方差的意義：
（1）隨機(jī)變量 的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；
（2）隨機(jī)變量 的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量 的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；
（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛．
【解題方法點撥】
概率和離散型隨機(jī)變量知識是新課標(biāo)高考的重點內(nèi)容之一，重點考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對于基礎(chǔ)知識考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對簡單，即掌握住基礎(chǔ)知識就能解決此類問題．對于綜合性知識的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實際問題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．
【命題方向】
題型一：概率的計算
典例1：已知函數(shù)y＝（0≤x≤4）的值域為A，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個數(shù)，b是從集合B中任取一個數(shù)，則a＞b的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2﹣，故所求概率為．
故選D
題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差
典例2：在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）
解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時，油罐不能被引爆．
，
，
∴
（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．
，
，
，
P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）
＝．
因此，ξ的分布列為：
∴
24．相互獨立事件的概率乘法公式
【知識點的認(rèn)識】
﹣對于相互獨立事件A和B，．
【解題方法點撥】
﹣應(yīng)用乘法公式計算獨立事件的聯(lián)合概率，確保事件的獨立性．
【命題方向】
﹣重點考察獨立事件的概率計算及獨立性證明．
25．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義
【知識點的認(rèn)識】
1．正態(tài)曲線及性質(zhì)
（1）正態(tài)曲線的定義
函數(shù)φμ， σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中實數(shù)μ和σ（σ＞0）為參數(shù)，我們稱φμ，σ（x）的圖象（如圖）為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
（2）正態(tài)曲線的解析式
①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．
③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．
④解析式前面有一個系數(shù)為，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為﹣．
2．正態(tài)分布
（1）正態(tài)分布的定義及表示
如果對于任何實數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，σ2）．
（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正態(tài)曲線的性質(zhì)
正態(tài)曲線φμ， σ（x）＝，x∈R有以下性質(zhì)：
（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；
（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；
（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；
（5）當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
（6）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
4．三個鄰域
會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)．
【解題方法點撥】
正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無從下手或計算錯誤．對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．
【命題方向】
題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察
典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）＝，則這個正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（ ）
A．10與8 B．10與2 C．8與10 D．2與10
解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．
典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，則P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故選B．
題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)
典例1：若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為．
（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；
（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．
分析：要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．
解 （1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是
φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響．
典例2：設(shè)兩個正態(tài)分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．
答案：A．
題型三：服從正態(tài)分布的概率計算
典例1：設(shè)X～N（1，22），試求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上．
典例2：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝ ．
解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用
典例1：2011年中國汽車銷售量達(dá)到1 700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有 輛．
解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸，又因為P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 200×0.15＝180輛．
點評：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當(dāng)P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時必然有＝μ，這是解決正態(tài)分布類試題的一個重要結(jié)論．
典例2：工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，），問在一次正常的試驗中，取1 000個零件時，不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有多少個？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．
∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（個），
即不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有3個．
26．排列組合的綜合應(yīng)用
【知識點的認(rèn)識】
1、排列組合問題的一些解題技巧：
①特殊元素優(yōu)先安排；
②合理分類與準(zhǔn)確分步；
③排列、組合混合問題先選后排；
④相鄰問題捆綁處理；
⑤不相鄰問題插空處理；
⑥定序問題除法處理；
⑦分排問題直排處理；
⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；
⑨構(gòu)造模型；
⑩正難則反、等價轉(zhuǎn)化．
對于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時間發(fā)生的過程進(jìn)行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：
①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；
②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；
③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．
2、排列、組合問題幾大解題方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；
（5）占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；
（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法；
（7）平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有；
（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題；
（9）定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個指定位置則有；
（10）指定元素排列組合問題：
①從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；
②從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；
③從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素．先C后A策略，排列；組合．
27．二項展開式的通項與項的系數(shù)
【知識點的認(rèn)識】
﹣二項式定理是指（a+b）n的展開形式，其展開式的通項為，其中為二項式系數(shù)．
﹣通項公式用于計算展開式中特定項的系數(shù)和冪次，特別是在涉及較大指數(shù)時，通過通項公式可以直接找到所需項．
【解題方法點撥】
﹣熟練掌握二項式定理的通項公式，并理解通項公式中各項的意義．
﹣在涉及系數(shù)計算時，確定通項中k的值，并代入公式計算系數(shù)．對于較復(fù)雜的問題，可以先確定項數(shù)，再代入計算．
﹣在應(yīng)用中，可能需要對展開式進(jìn)行逆運(yùn)算，即通過已知某一項的系數(shù)或冪次，反推出通項公式中的參數(shù)．
【命題方向】
﹣可能要求考生直接求解二項展開式中某一特定項的系數(shù)或冪次，或分析展開式中的通項規(guī)律．
﹣命題可能涉及二項式定理在不完全展開中的應(yīng)用，要求考生逆向推導(dǎo)或分析已知條件．
28．進(jìn)位制
【知識點的認(rèn)識】
進(jìn)位制/位置計數(shù)法是一種記數(shù)方式，故亦稱進(jìn)位記數(shù)法/位值計數(shù)法，可以用有限的數(shù)字符號代表所有的數(shù)值．可使用數(shù)字符號的數(shù)目稱為基數(shù)或底數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制．現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0﹣9進(jìn)行記數(shù)．
對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示．比如：十進(jìn)數(shù)57（10），可以用二進(jìn)制表示為111001（2），也可以用五進(jìn)制表示為212（5），也可以用八進(jìn)制表示為71（8）、用十六進(jìn)制表示為39（16），它們所代表的數(shù)值都是一樣的．
數(shù)制也稱計數(shù)制，是指用一組固定的符號和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)值的方法．計算機(jī)是信息處理的工具，任何信息必須轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制形式數(shù)據(jù)后才能由計算機(jī)進(jìn)行處理，存儲和傳輸．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/1/11 15:26:49；用戶：實事求是；郵箱：18347280726；學(xué)號：37790395

題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
C
B
D
D
標(biāo)準(zhǔn)方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
圖形








性
質(zhì)
焦點
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（ c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對稱
關(guān)于x軸，y軸和原點對稱
頂點
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
軸
實軸長2a，虛軸長2b
離心率
e＝（e＞1）
準(zhǔn)線
x＝±
y＝±
漸近線
±＝0
±＝0
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

x 1
x 2
…
xn
…
P
p 1
p 2
…
pn
…
ξ
2
3
4
5
P

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