命題人：林潤(rùn)昊、胡琦、李瑤 審題人：周賽君
考生注意：本試卷共三道大題，25道小題，滿分120分，時(shí)量120分鐘
一、單選題：本題共10小題，每小題3分，共30分.
1．下列實(shí)數(shù)中，比2大的數(shù)是（ ）
A．5B．1C．0D．
2．的出現(xiàn)為全球領(lǐng)域帶來了新的活力和機(jī)遇，其日活用戶數(shù)量在上線僅僅20天就突破了2000萬大關(guān)，日活增長(zhǎng)速度超過了當(dāng)初爆火的，數(shù)據(jù)2000萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
3．近年來，隨著環(huán)保意識(shí)的提升，越來越多的消費(fèi)者選擇購(gòu)買新能源汽車，以實(shí)現(xiàn)更加節(jié)能的出行方式．下列圖案是我國(guó)四款新能源汽車的標(biāo)志，其中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖，直線，交于，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，內(nèi)接于，連結(jié)，，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．它的圖象必經(jīng)過點(diǎn)B．它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限
C．當(dāng)時(shí)，D．y的值隨x值的增大而增大
8．長(zhǎng)沙市某中學(xué)開展“經(jīng)典誦讀”比賽活動(dòng)，九年級(jí)某班7名同學(xué)在此次比賽中的得分單位：分分別是91，91，91，92，98，99，99，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．91，91 B．91，91.5 C．91，92 D．99，92
9．2025年3月是全國(guó)第62個(gè)學(xué)習(xí)雷鋒月，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)弘揚(yáng)雷鋒精神，學(xué)校開展一系列“學(xué)雷鋒”活動(dòng)．某班級(jí)為響應(yīng)學(xué)校號(hào)召，計(jì)劃從“護(hù)綠植綠”、“志愿服務(wù)”、“公益環(huán)保”、“文化宣講”4項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選取2項(xiàng)進(jìn)行實(shí)踐，則恰好選中“護(hù)綠植綠”和“文化宣講”的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，點(diǎn)A在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，交軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)B是的中點(diǎn)，的面積為4，則的值為（ ）
A．26B．16C．12D．8

第5題圖 第6題圖 第10題圖
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共18分.
11．已知有意義，則的取值范圍為 .
12．分式方程的解是 ．
13．設(shè)分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 ．
14．某節(jié)活動(dòng)課上，安安用一張半徑為的扇形紙板做了一個(gè)圓錐形帽子（如圖，接縫處忽略不計(jì)）．若圓錐形帽子底面圓的半徑為，則這張扇形紙板的面積為 ．
15．如圖，在的兩邊上分別截取，使，分別以點(diǎn)A，B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接，若，四邊形的面積為，則的長(zhǎng)為 ．

第14題圖 第15題圖
16．甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球球單打訓(xùn)練，每局兩人進(jìn)行比賽，第三個(gè)人做裁判，每一局都要分出勝負(fù)，勝方和原來的裁判進(jìn)行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，依次進(jìn)行．半天訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，發(fā)現(xiàn)甲共當(dāng)5局裁判，乙、丙分別打了8局、13局比賽，在這半天的訓(xùn)練中，甲、乙、丙三人共打了 局．
三、解答題：本題共8小題，其中17、18、19題每小題6分，20、21題每小題8分，22、23題每小題9分，24、25題每小題10分，共72分.
17．計(jì)算：；
18．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
19．天心閣景區(qū)位于長(zhǎng)沙市中心東南角，自古享有“瀟湘古閣，秦漢名城”的贊譽(yù)，是三千年古城長(zhǎng)沙最具代表性的文化旅游景點(diǎn)，也是長(zhǎng)沙城標(biāo)志性的歷史建筑．景區(qū)內(nèi)有古城墻、天心古閣等建筑，在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組要利用測(cè)角儀測(cè)量天心閣主閣及城墻的高度，如圖，他們選取的測(cè)量點(diǎn)B與城墻底部C在同一水平線上，CD為城墻的高，已知BC=13m，在B處測(cè)得平臺(tái)D的仰角45°，頂部A的仰角為67°．
(1)求城墻CD的高；
(2)求主閣AD的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）
20．人工智能（AI）通過智能算法處理數(shù)據(jù)、自動(dòng)化辦公、客戶服務(wù)等任務(wù)．可以幫助人們高效完成工作并優(yōu)化決策．某學(xué)校計(jì)劃對(duì)初三年級(jí)開展5種AI興趣課程，分別是：A（編程基礎(chǔ)）、B（圖像識(shí)別）、C（語音交互）、D（數(shù)據(jù)分析）、E（智能系統(tǒng)），為了解學(xué)生對(duì)不同AI模塊的喜愛情況，學(xué)校從初三年級(jí)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，對(duì)調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，部分信息如下：
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
(1)本次隨機(jī)抽取調(diào)查的總?cè)藬?shù)為_______，并補(bǔ)全圖①中的條形統(tǒng)計(jì)圖；
(2)圖②中項(xiàng)目E對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為_______；
(3)若該校初三年級(jí)共有500名學(xué)生，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)估計(jì)喜歡B（圖像識(shí)別）模塊的學(xué)生人數(shù)．
21．如圖，在等邊中，點(diǎn)、在邊、上，且，連接、交于點(diǎn)．
(1)求證：≌；
(2)若，求的度數(shù)．
22．隨著交通安全意識(shí)的增強(qiáng)，某城鎮(zhèn)居民開始積極購(gòu)買頭盔以保證騎行安全．某小商店購(gòu)進(jìn)A種頭盔3個(gè)和B種頭盔4個(gè)共需345元，A種頭盔4個(gè)和B種頭盔3個(gè)共需390元．
(1)求A，B兩種頭盔的單價(jià)各是多少元；
(2)若該商店計(jì)劃用不超過570元購(gòu)進(jìn)A，B兩種頭盔共10個(gè)，銷售1個(gè)A種頭盔可獲利35元，銷售1個(gè)B種頭盔可獲利15元，假如這些頭盔能全部售出，請(qǐng)你幫商店設(shè)計(jì)利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案，并求出最大利潤(rùn)，說明理由.
23．已知：如圖，AD為⊙O的一條弦，延長(zhǎng)⊙O的直徑AB至P點(diǎn)，連PD，使得．
(1)求證：是⊙O的切線；
(2)求證：；
(3)若，PA=8，求半徑AO的長(zhǎng)．
24.在平面直角坐標(biāo)系中，我們給出如下定義：對(duì)于兩點(diǎn)A、B，平面直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)P，使得，則稱P為線段AB的“-奇妙點(diǎn)”. 例如：如圖1，，P為線段AB的“-奇妙點(diǎn)”.
(1)已知點(diǎn)，點(diǎn).下列是線段AB的“-奇妙點(diǎn)”的有 ；
①；②；③；④
如圖2，已知直線上有兩點(diǎn)、，若x軸上存在線段AB的“-奇妙點(diǎn)”，求m的取值范圍；
如圖3，二次函數(shù)與x軸交于、B兩點(diǎn)，直線l:與拋物線交于A、兩點(diǎn)，連接BE，已知點(diǎn)P為直線BE上方一點(diǎn)，點(diǎn)P為線段BE的“-奇妙點(diǎn)”，連接AP，點(diǎn)F是線段AP上一點(diǎn)且，連接OF，求OF的最大值.

圖1 圖2 圖3
我們知道，若矩形的短邊與長(zhǎng)邊的比等于黃金比（即），則該矩形叫黃金矩形。黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，在藝術(shù)上和生活中也被廣泛應(yīng)用。
（1）將矩形的短邊長(zhǎng)度設(shè)為，長(zhǎng)邊長(zhǎng)度設(shè)為,請(qǐng)你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）
①若，則該矩形是黃金矩形； （ ）
②若該矩形是黃金矩形，且，則該矩形的面積是； （ ）
③若該矩形是黃金矩形，外接圓半徑為,則一定有. （ ）
如圖1，將一張矩形紙片進(jìn)行如圖所示的操作：①沿對(duì)角線折疊，得到折痕；②折疊紙片使邊落在折痕上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到折痕；③過點(diǎn)折疊紙片，使點(diǎn)分別落在邊上，展開得到折痕,折痕與折痕交于點(diǎn)．如果矩形是一個(gè)黃金矩形，其中. ①求證：；②求的余弦值.
（3）如圖2，在中，高為，，，矩形的一邊在邊上，分別在上，交于點(diǎn),且矩形是黃金矩形．該矩形以每秒1個(gè)單位的速度沿射線勻速向上運(yùn)動(dòng)（當(dāng)矩形的邊到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．

圖1 圖2

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