數(shù)學(xué)試題
考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名．考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效，
3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．某市教育部門為了解高中學(xué)生參加體育活動情況，對學(xué)生每天參加體育活動時間進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取1000名學(xué)生統(tǒng)計其每天進(jìn)行體育運(yùn)動的時間，按照時長（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組．對統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則該市高中學(xué)生每天體育活動時間的25%分位數(shù)約為（ ）
A．43.5B．45.5C．47.5D．49.5
5．已知，則（ ）
A．-54B．-52C．–50D．-48
6．古希臘亞歷山大時期一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)的動點(diǎn)軌跡為圓錐曲線．今有平面內(nèi)三條給定的直線，且，均與垂直．若動點(diǎn)M到的距離的乘積是M到的距離的平方的4倍，則動點(diǎn)M在直線之間（含邊界）的軌跡是（ ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
7．已知，則（ ）
A．B．C．D．
8．對于給定的正整數(shù)﹐定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：當(dāng)時，且對任意的，都有．若與n有關(guān)的實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間上有且僅有一個實(shí)數(shù)解，則關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．nB．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分
9．下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為4
C．命題使得，則
D．從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則以這3個數(shù)為邊長能構(gòu)成直角三角形的概率為
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B．在區(qū)間的最小值為
C．為偶函數(shù)
D．的圖象向右平個單位后得到的圖象
11．已知AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，N為SA的中點(diǎn)，，圓錐SO的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓O上存在點(diǎn)M使平面SBCB．圓O上存在點(diǎn)M使平面SBC
C．圓錐SO的外接球表面積為D．棱長為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中，且．記，如，即，即，即，…，以此類推．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若向量與的夾角為，且則_________．
14．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸最合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則_________．
15．雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在工軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于的直線分別交于A，B兩點(diǎn)，若成等差數(shù)列，且與方向相反，則雙曲線的離心率為_________．
16．已知曲線與的兩條公切線的夾角余弦值為，則_________．
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（10分）
在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知．
（1）求角A的值；
（2）若的面積，，試判斷的形狀．
18．（12分）
如圖，矩形BCDE所在平面與所在平面垂直，，．
（1）證明：平面ACD；
（2）若平面ADE與平面ABC所成角的余弦值是．且直線AE與平面BCDE所成角的正弦值是，求異面直線DE與AB所成角的余弦值．
19．（12分）
已知數(shù)列，，其前n項(xiàng)和滿足：．
（I）求證：數(shù)列為等差數(shù)列;
（2）若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．
20．（12分）
云計算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長．從中國信息通信研究院發(fā)布的《云計算白皮書（2022年）》可知，我國2017年至2021年云計算市場規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：
經(jīng)計算得：．
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（2）云計算為企業(yè)降低生產(chǎn)成本，提升產(chǎn)品質(zhì)量提供了強(qiáng)大助推力．某企業(yè)引入云計算前，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差，其中m為單件產(chǎn)品的成本（單位：元），且；引入云計算后，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差．若保持單件產(chǎn)品的成本不變，則將會變成多少?若保持產(chǎn)品質(zhì)量不變（即誤差的概率分布不變）．則單件產(chǎn)品的成本將會下降多少?
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．
若，則．
21．（12分）
如圖，已知拋物線在點(diǎn)A處的切線l與橢圓相交，過A作l的垂線交拋物線于另一點(diǎn)B，直線OB（O為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)）與l相交于點(diǎn)D．記，且．
（1）求的最小值：
（2）求時的取值范圍
22．（12分）
已知函數(shù)．
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的值：
（2）若，證明．年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代碼x
1
2
3
4
5
云計算市場規(guī)模y/億元
692
962
1334
2091
3229

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