1．（3分）下面圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列長(zhǎng)度的線(xiàn)段能構(gòu)成三角形的是（ ）
A．3，2，1B．2，1，1C．5，3，4D．3，2，6
3．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠A＝70°，∠C＝50°，則∠ABD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4．（3分）如圖，△ABC≌△EDC，B、C、D在同一直線(xiàn)上，且CE＝2cm，CD＝3cm，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．1.5cmB．2cmC．4.5cmD．6cm
5．（3分）如圖，∠C＝∠DFE＝90°，下列條件中，不能判定△ACB與△DFE全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DEB．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
6．（3分）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線(xiàn)，BE是△ABD的邊AD上的中線(xiàn)，若△ABC的面積是16，則△ABE的面積是（ ）
A．16B．8C．4D．2
7．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，其中說(shuō)明△O′C′D′≌△OCD的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（3分）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在OA邊上，OP＝8cm，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，則OM為（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．1cm
9．（3分）如圖，線(xiàn)段AB，BC的垂直平分線(xiàn)l1，l2相交于點(diǎn)O．若∠1＝35°，則∠A+∠C＝（ ）
A．30°B．40°C．17.5°D．35°
10．（3分）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點(diǎn)M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當(dāng)BM+BN最小時(shí)，∠MBN的度數(shù)為（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）在直角三角形中，一個(gè)銳角為38°，則另一個(gè)銳角等于 °．
12．（3分）如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，則∠EAC的度數(shù)＝ °．
13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，BC＝9cm，DA⊥BA，垂足為A，那么AD＝ cm．
14．（3分）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，則∠C的度數(shù)為 ．
15．（3分）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線(xiàn)CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線(xiàn)CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF＝8，則AB的長(zhǎng)為 ．
三、解答題（共8題，共75分）
16．（9分）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC的各內(nèi)角的度數(shù)．
17．（9分）如圖，已知△ABC≌△DEB，點(diǎn)E在AB上，DE與AC相交于點(diǎn)F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)．
（2）求∠DBC的度數(shù)．
18．（9分）已知一個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n．
（1）若這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為135°，求n的值；
（2）若這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為其外角和的4倍，求n的值．
19．（9分）已知：如圖，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）畫(huà)出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1；
（2）寫(xiě)出△A1B1C1各頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求△ABC的面積．
20．（9分）如圖，△ABC，
（1）在△ABC中，按要求完成尺規(guī)作圖；
①求作BC邊上一點(diǎn)D，使∠BAD＝∠DAC；
②求作線(xiàn)段AC的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)l，交AD于點(diǎn)G；
③連接GC；
（2）（1）中得到的圖形中，若∠B＝40°，∠BCA＝2α，則∠AGC＝ .（用含α的式子表示）．
21．（9分）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．
（1）求證：△ACD≌△CBE；
（2）試探究線(xiàn)段AD，DE，BE之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，解決以下問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為等邊三角形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為直角三角形．
23．（11分）[問(wèn)題情境]如圖1，AB＝AC，∠BAC＝90°，直線(xiàn)AE是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則△ADB≌△CEA．
（1）[類(lèi)比訓(xùn)練]如圖2，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直線(xiàn)AE是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的任一直線(xiàn)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，證明：BD＝DE+CE．
（2）[問(wèn)題創(chuàng)設(shè)]如圖3，在△ABC中，AB＝AC，若頂點(diǎn)A在直線(xiàn)m上，點(diǎn)D，E也在直線(xiàn)m上，如果∠BAC＝∠ADB＝∠AEC，那么（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，BD，DE，CE三條線(xiàn)段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．
（3）[情境更換]如圖4，把等腰直角三角板放在黑板上畫(huà)好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直角頂點(diǎn)H在y軸正半軸上，頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，
①若另一頂點(diǎn)K（a，﹣3a+10）落在第四象限，求a的值；
②直接寫(xiě)出頂點(diǎn)K的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系．
2024-2025學(xué)年河南省商丘市多校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分.下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）
1．（3分）下面圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：選項(xiàng)A、C、D不能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，
選項(xiàng)B能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，正確記憶軸對(duì)稱(chēng)的概念是解題關(guān)鍵．
2．（3分）下列長(zhǎng)度的線(xiàn)段能構(gòu)成三角形的是（ ）
A．3，2，1B．2，1，1C．5，3，4D．3，2，6
【答案】C
【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可知．
【解答】解：A、1+2＝3，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、1+1＝2，不夠組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、3+4＞5，能組成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、2+3＜6，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中三邊的關(guān)系，其實(shí)用兩條較短的線(xiàn)段相加，如果大于最長(zhǎng)那條就能夠組成三角形，難度適中．
3．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠A＝70°，∠C＝50°，則∠ABD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答即可．
【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A＝70°，∠C＝50°，
∴∠ABD＝∠A+∠C＝70°+50°＝120°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．
4．（3分）如圖，△ABC≌△EDC，B、C、D在同一直線(xiàn)上，且CE＝2cm，CD＝3cm，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．1.5cmB．2cmC．4.5cmD．6cm
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△EDC，
∴BC＝DC＝3cm，
∴BD＝BC+CD＝6cm，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等解答．
5．（3分）如圖，∠C＝∠DFE＝90°，下列條件中，不能判定△ACB與△DFE全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DEB．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°，根據(jù)AAS判定△ACB與△DFE全等，不符合題意；
B、∵AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根據(jù)SAS判定△ACB與△DFE全等，不符合題意；
C、∵AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根據(jù)HL判斷Rt△ACB與Rt△DFE全等，不符合題意；
D、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠E，∠C＝∠DFE＝90°，由AAA不能判定△ACB與△DFE全等，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
6．（3分）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線(xiàn)，BE是△ABD的邊AD上的中線(xiàn)，若△ABC的面積是16，則△ABE的面積是（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形的中線(xiàn)把三角形分成面積相等的兩部分，求出面積比，即可求出△ABE的面積．
【解答】解：∵AD是BC上的中線(xiàn)，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵BE是△ABD中AD邊上的中線(xiàn)，
∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，
∴S△ABE＝S△ABC，
∵△ABC的面積是24，
∴S△ABE＝×16＝4．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積的求法和三角形的中線(xiàn)，掌握三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分，是解答本題的關(guān)鍵．
7．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，其中說(shuō)明△O′C′D′≌△OCD的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【分析】我們可以通過(guò)其作圖的步驟來(lái)進(jìn)行分析，作圖時(shí)滿(mǎn)足了三條邊對(duì)應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)用SSS，答案可得．
【解答】解：作圖的步驟：
①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；
②任意作一點(diǎn)O′，作射線(xiàn)O′A′，以O(shè)′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；
③以C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)D′；
④過(guò)點(diǎn)D′作射線(xiàn)O′B′．
所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；
在△OCD與△O′C′D′，，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
顯然運(yùn)用的判定方法是SSS．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題是一道綜合題，不但考查了學(xué)生對(duì)作圖方法的掌握，也是對(duì)全等三角形的判定的方法的考查．
8．（3分）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在OA邊上，OP＝8cm，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，則OM為（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．1cm
【答案】B
【分析】過(guò)P作PD⊥OB于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件求出MD，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OD，再求出答案即可．
【解答】解：過(guò)P作PD⊥OB于D，
∵PM＝PN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝1（cm），
∵PD⊥OB，
∴∠PDO＝90°，
∵∠POB＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP，
∵OP＝8cm，
∴OD＝4（cm），
∴OM＝OD﹣MD＝3（cm），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵，注意：在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于30°，那么這個(gè)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
9．（3分）如圖，線(xiàn)段AB，BC的垂直平分線(xiàn)l1，l2相交于點(diǎn)O．若∠1＝35°，則∠A+∠C＝（ ）
A．30°B．40°C．17.5°D．35°
【答案】D
【分析】連接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形的性質(zhì)得∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，進(jìn)而得到∠A+∠C＝∠ABC，由等腰三角形三線(xiàn)合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定義得∠DOE＝145°，最后由四邊形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．
【解答】解：連接OB，
∵線(xiàn)段AB、BC的垂直平分線(xiàn)l1、l2相交于點(diǎn)O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，
∴∠A+∠C＝∠ABC，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，
∴∠DOE＝145°，
∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點(diǎn)M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當(dāng)BM+BN最小時(shí)，∠MBN的度數(shù)為（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
【答案】C
【分析】如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．證明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共線(xiàn)時(shí)，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此時(shí)∠MBN即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共線(xiàn)時(shí)，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如圖2中，當(dāng)B，N，H共線(xiàn)時(shí)，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴當(dāng)BM+BN的值最小時(shí)，∠MBN＝30°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）在直角三角形中，一個(gè)銳角為38°，則另一個(gè)銳角等于 52 °．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．
【解答】解：在直角三角形中，一個(gè)銳角為38°，則另一個(gè)銳角等于90°﹣38°＝52°．
故答案為52．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，則∠EAC的度數(shù)＝ 45 °．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠BAC，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根據(jù)∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°．
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣25°＝45°．
故答案為：45．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．
13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，BC＝9cm，DA⊥BA，垂足為A，那么AD＝ 3 cm．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求∠B的度數(shù)，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的判定可求得BC＝3AD，進(jìn)而可求解AD的長(zhǎng)．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DA⊥AB，
∴BD＝2AD，∠DAC＝30°，
∴AD＝CD，
∴BC＝3CD＝3AD，
∵BC＝9cm，
∴AD＝3（cm）．
故答案為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)求解標(biāo)出BC＝3AD是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，則∠C的度數(shù)為 30° ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】可設(shè)∠C＝x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EBC＝x，則∠DBE＝130°﹣x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，列出方程即可求解．
【解答】解：設(shè)∠C＝x，
∵BE＝EC，
∴∠EBC＝∠C＝x，
∴∠DBE＝130°﹣x，
∵DB＝BE，
∴，
∵DA＝DE，
∴，
∴，
解得x＝30°．
故答案為：30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到方程是解本題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線(xiàn)CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線(xiàn)CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF＝8，則AB的長(zhǎng)為 11 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，PE′，則當(dāng)E′，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，且E′F⊥AB時(shí)，此時(shí)EP+FP的值最小，由題意可得∠FE′B＝30°，則BE′＝2BF，再由BF＝8，BE＝6，可得16＝2CE+6，解得CE＝5，可求BC＝11，即可求解．
【解答】解：作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接PE′，
∴PE＝PE′，
∴EP+FP＝PE′+PF，
∴當(dāng)E′，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，且E′F⊥AB時(shí)，此時(shí)PE'+PF的值最小，即EP+FP的值最小，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B＝30°，
∴BE′＝2BF，
∵BF＝8，
∴E′B＝16，
∵BE＝6，CE＝CE′，
∴16＝2CE+BE＝2CE+6，
∴CE＝5，
∴AB＝BC＝BE+CE＝11，
故答案為：11．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．
三、解答題（共8題，共75分）
16．（9分）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC的各內(nèi)角的度數(shù)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】將第一個(gè)等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，
∴∠C＝∠A+10°+10°＝∠A+20°，
由三角形內(nèi)角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
所以，∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°，
解得∠A＝50°，
所以，∠B＝50°+10°＝60°，
∠C＝50°+20°＝70°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，用∠A表示出∠C然后列出關(guān)于∠A的方程是解題的關(guān)鍵．
17．（9分）如圖，已知△ABC≌△DEB，點(diǎn)E在AB上，DE與AC相交于點(diǎn)F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)．
（2）求∠DBC的度數(shù)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，
∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
18．（9分）已知一個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n．
（1）若這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為135°，求n的值；
（2）若這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為其外角和的4倍，求n的值．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和與正多邊形的性質(zhì)列得方程，解方程即可；
（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和與外角和列得方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由題意可得（n﹣2）?180°＝135°n，
整理得：180n﹣360＝135n，
解得：n＝8；
（2）由題意可得（n﹣2）?180°＝360°×4，
整理得：180n﹣360＝1440，
解得：n＝10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，正多邊形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件列得正確的方程是解題的關(guān)鍵．
19．（9分）已知：如圖，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）畫(huà)出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1；
（2）寫(xiě)出△A1B1C1各頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求△ABC的面積．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)作圖；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)解答；
（3）根據(jù)矩形的面積公式和三角形的面積公式計(jì)算．
【解答】解：（1）所作圖形如圖所示；
（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
（3）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱(chēng)變換中坐標(biāo)的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，注意坐標(biāo)系中不規(guī)則圖形的面積的求法．
20．（9分）如圖，△ABC，
（1）在△ABC中，按要求完成尺規(guī)作圖；
①求作BC邊上一點(diǎn)D，使∠BAD＝∠DAC；
②求作線(xiàn)段AC的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)l，交AD于點(diǎn)G；
③連接GC；
（2）（1）中得到的圖形中，若∠B＝40°，∠BCA＝2α，則∠AGC＝ 40°+2α .（用含α的式子表示）．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）①作∠BAC的角平分線(xiàn)交BC于D，D即為所求；
②作AC的垂直平分線(xiàn)即可；
③直接連接GC即可；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求解．
【解答】解：（1）如圖：
①點(diǎn)D即為所求；
②直線(xiàn)l即為所求；
③連接GC；
（2）∵∠B＝40°，∠BCA＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣2α＝140°﹣2α，
∴∠BAD＝∠DAC＝70°﹣α，
∵點(diǎn)A，C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，
∴AG＝CG，
∴∠GAC＝∠ACG＝70°﹣α，
∴∠AGC＝180°﹣2（70°﹣α）＝40°+2α，
故答案為：40°+2α．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱(chēng)變換，掌握三角形的內(nèi)角和、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（9分）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．
（1）求證：△ACD≌△CBE；
（2）試探究線(xiàn)段AD，DE，BE之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，可證∠BCE＝∠CAD，再利用AAS證明△ACD≌△CBE；
（2）由△ACD≌△CBE，得CD＝BE，AD＝CE，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：
∵△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵CE＝CD+DE，
∴AD＝BE+DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟悉基本幾何圖形是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，解決以下問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為等邊三角形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為直角三角形．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列出方程求出t的值；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)∠DEC為直角時(shí)，②當(dāng)∠EDC為直角時(shí)，分別利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半列方程求出t的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t
∵，∠B＝30°，AC＝6cm
∴BC＝2AC＝12cm，
∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC為等邊三角形，
∴CD＝CE，
6﹣t＝2t，
t＝2，
∴當(dāng)t為2時(shí)，△DEC為等邊三角形；
（2）①當(dāng)∠DEC為直角時(shí)，∠EDC＝30°，
∴CE＝，
2t＝（6﹣t），
t＝；
②當(dāng)∠EDC為直角時(shí)，∠DEC＝30°，
CD＝CE，
6﹣t＝?2t，
t＝3．
∴當(dāng)t為或3時(shí)，△DEC為直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30度角的直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
23．（11分）[問(wèn)題情境]如圖1，AB＝AC，∠BAC＝90°，直線(xiàn)AE是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則△ADB≌△CEA．
（1）[類(lèi)比訓(xùn)練]如圖2，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直線(xiàn)AE是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的任一直線(xiàn)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，證明：BD＝DE+CE．
（2）[問(wèn)題創(chuàng)設(shè)]如圖3，在△ABC中，AB＝AC，若頂點(diǎn)A在直線(xiàn)m上，點(diǎn)D，E也在直線(xiàn)m上，如果∠BAC＝∠ADB＝∠AEC，那么（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，BD，DE，CE三條線(xiàn)段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．
（3）[情境更換]如圖4，把等腰直角三角板放在黑板上畫(huà)好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直角頂點(diǎn)H在y軸正半軸上，頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，
①若另一頂點(diǎn)K（a，﹣3a+10）落在第四象限，求a的值；
②直接寫(xiě)出頂點(diǎn)K的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由“AAS”可證△ABD≌△CAE，可得BD＝AE，AD＝CE，可得結(jié)論；
（2）由“AAS”可證△ABD≌△CAE，可得BD＝AE，AD＝CE，可得結(jié)論；
（3）由“AAS”可證△GHN≌△HKP，可得NG＝HP，NH＝PK，列出等式可求解．
【解答】（1）證明：∵BD⊥AE
∴∠BAC＝∠ADB＝90°
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝DE+CE；
（2）結(jié)論不成立，DE＝CE+BD，理由如下：
∵∠ABD+∠ADB＝∠BAE＝∠BAC+∠CAE，∠BAC＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵DE＝AD+AE，
∴DE＝CE+BD；
（3）①如圖4，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥y軸于N，過(guò)點(diǎn)K作KP⊥y軸于P，
設(shè)OH＝b，
∴∠GNH＝∠KPH＝∠GHK＝90°，
∴∠HGN+∠GHN＝∠GHN+∠KHP＝90°，
∴∠NGH＝∠KHP，
又∵HG＝HK，
∴△GHN≌△HKP（AAS），
∴NG＝HP，NH＝PK，
∵頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，頂點(diǎn)K（a，﹣3a+10）落在第四象限，
∴GN＝NO，PK＝a，OP＝3a﹣10，
∴NH＝PK＝a，HP＝3a﹣10+b＝NG，
∴a+b＝3a﹣10+b，
∴a＝5．
②設(shè)K（x，y），
由①得GN＝NO，PK＝x，OP＝﹣y，
∴NH＝PK＝x，HP＝﹣y+b＝NG，
∴x+b＝﹣y+b，
∴x+y＝0，
∴橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/26 1:03:36；用戶(hù)：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號(hào)：43314264

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