1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
所以，
故選：A.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，
所以.
故選：C.
3. 在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，
令，解得，所以，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：D.
4. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象
A. 向右平移個(gè)單位B. 向左平移個(gè)單位
C. 向右平移個(gè)單位D. 向左平移個(gè)單位
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位，選D.
考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換
5. 已知等比數(shù)列，，，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】已知，，可得公比.
再將，代入通項(xiàng)公式，可得，解得. 可得：
；；.
可得：.
故選：A.
6. 已知曲線，則“”是“為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若，則，
所以，即，
所以為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；
若為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，
則對(duì)于，即，
可得，即且，不一定得到，
綜上，“”是“為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的充分不必要條件.
故選：A
7. 已知，，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由，，得，
整理得，所以.
故選：B
8. 某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示．這條河兩岸所在直線，互相平行，橋DE與河岸所在直線垂直．休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個(gè)入口分別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)A，B，C處，其中入口A點(diǎn)（定點(diǎn)）在橋DE上，且A到直線，的距離分別為，（為定值），入口B，C分別在直線，上，公園的一邊AB與直線所成的銳角為，另一邊AC與AB垂直．設(shè)該休閑公園的面積為，當(dāng)變化時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 函數(shù)的最大值為
B. 函數(shù)的最小值為
C. 若，且則
D. 若，且，則
【答案】D
【解析】在中，，，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得.
因?yàn)椋?，所以，在中，，根?jù)余弦函數(shù)的定義，可得.
對(duì)于，，將，代入可得：
，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，.
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以?當(dāng)取最小值（取不到），最大值時(shí)，沒(méi)有最大值，所以A錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)B，由，，當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值，所以B錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.
所以若且，不一定有，C錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)D，若且，則，.因?yàn)?，，所以，D正確.
故選：D.
9. 在中，，，點(diǎn)M為所在平面內(nèi)一點(diǎn)且，則的最小值為（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】在三角形中，由余弦定理，故為鈍角；
又，故點(diǎn)在三角形底邊的高線上，
則以所在直線為軸，以其上的高線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：
又，則，
故，；
則，設(shè)，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；
也即的最小值為.
故選：C.
10. 位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類(lèi)單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進(jìn)行一場(chǎng)比賽．每場(chǎng)比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝者計(jì)分，負(fù)者計(jì)分，平局各計(jì)分．所有比賽結(jié)束后，若這位同學(xué)的得分總和為分，且平局總場(chǎng)數(shù)不超過(guò)比賽總場(chǎng)數(shù)的一半，則平局總場(chǎng)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)平局總場(chǎng)數(shù)為，且所有比賽的場(chǎng)數(shù)為，
由題意可知，，
由于能決定勝負(fù)的每場(chǎng)選手的得分之和為分，每場(chǎng)平局選手的得分之和為分，
由題意可得，所以，，
因?yàn)槠骄挚倛?chǎng)數(shù)不超過(guò)比賽總場(chǎng)數(shù)一半，則，
整理可得，因?yàn)?，解得?br>所以，平局的局?jǐn)?shù)為.
故選：B.
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______．
【答案】
【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得，
故函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
12. 已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)______；以F為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是_______．（填“相交”“相切”或“相離”）
【答案】①. ②. 相切
【解析】由題意可得，所以，
所以拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；
由兩點(diǎn)間距離公式可得，即為圓的半徑，
又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，
所以為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相切.
故答案為：；相切.
13. 已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_______；若存在，使得，則c的一個(gè)取值為_(kāi)______．
【答案】①. ②. 4（答案不唯一）
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，且時(shí)，，
所以.
當(dāng)時(shí)，由，可得，
令，即，解得，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，，
由為函數(shù)是上的奇函數(shù)，可得時(shí)，，又，
由，可得或，
所以的取值范圍為.
故答案為：；4（答案不唯一）.
14. 干支紀(jì)年法是我國(guó)古代一種紀(jì)年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的組合來(lái)表示年份，循環(huán)紀(jì)年．比如某一年為甲子年‘，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類(lèi)推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年為乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此類(lèi)推．已知2025年是乙巳年，則2025年之后的首個(gè)己巳年是_______年．（用數(shù)字作答）
【答案】2049
【解析】天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，
從2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分別為首項(xiàng)，
因?yàn)榈刂樗?，則經(jīng)過(guò)的年數(shù)為12的倍數(shù)，
又因?yàn)?025年為天干為乙，到天干為已，需經(jīng)過(guò)丙、丁、戊、己，
故經(jīng)過(guò)年數(shù)除以10的余數(shù)為4，故需經(jīng)過(guò)24年，所以2025年之后的首個(gè)已巳年是2049.
故答案為：2049.
15. 在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)P是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的最小值為；
②的最小值為；
③的最大值為；
④的最小值為．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．
【答案】①②④
【解析】設(shè)點(diǎn)、、、關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為、、、，
設(shè)底面、的中心分別為點(diǎn)、，如下圖所示：
對(duì)于①，易知為的中點(diǎn)，則，可得，
所以，，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，底面，此時(shí)，取最小值，
即的最小值為，①對(duì)；
對(duì)于④，
，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，底面，此時(shí)，取最小值，
則的最小值為，④對(duì)；
對(duì)于②，由對(duì)稱(chēng)性可知，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與平面的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，②對(duì)；
對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
所以，的最大值不是，③錯(cuò).
故答案為：①②④.
三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
16. 如圖，在四棱柱中，平面，在四邊形中，，為線段的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若平面平面，，求平面與平面夾角的余弦值．
（1）證明：連接．
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以．
又，所以四邊形為平行四邊形．
所以．
又因?yàn)椋?br>所以．
所以四邊形為平行四邊形．
所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面．
（2）解：因?yàn)槠矫妫?br>所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>且平面，
所以平面．
所以．
所以?xún)蓛纱怪保?br>如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
所以．
因?yàn)槠矫妫?br>所以是平面的法向量．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則．于是．
設(shè)平面與平面夾角為，
則．
17. 在中，
（1）求c的值；
（2）已知，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一，求的周長(zhǎng)．
條件①：；
條件②：AB邊上的高為；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解：（1）由正弦定理及
得．
所以．
所以．
又因?yàn)椋裕?br>所以．
（2）選條件①：因?yàn)?，且?br>所以．
因?yàn)?，所以．所以?br>又因?yàn)?，所以?br>所以．
又，所以．
所以的周長(zhǎng)為．
選條件②：因?yàn)檫吷系母邽?，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>所以．
因?yàn)?，所以?br>a.當(dāng)時(shí)，由，得．
又，所以．
所以．
所以周長(zhǎng)為．
b.當(dāng)時(shí)，由，得．
又，所以，不符合題意．
綜上，的周長(zhǎng)為．
選條件③：
由余弦定理，可得，即。
解得或，此時(shí)不唯一，不符合要求.
18. 某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行．現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進(jìn)行研學(xué)旅行．研學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行滿(mǎn)意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：
假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點(diǎn)選擇相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．
（1）估計(jì)該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿(mǎn)意的概率；
（2）分別從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中至少有2人選擇去B地的概率；
（3）對(duì)于上述樣本，在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿(mǎn)意的學(xué)生
人數(shù)的方差為，調(diào)查結(jié)果為不滿(mǎn)意的學(xué)生人數(shù)的方差為，寫(xiě)出和的大小關(guān)系．`（結(jié)論不要求證明）
解：（1）從表格數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿(mǎn)意的人數(shù)為
，
因此該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿(mǎn)意的概率可估計(jì)為．
（2）設(shè)事件：抽取的高一學(xué)生選擇去B地，
事件：抽取的高二學(xué)生選擇去B地，
事件：抽取的高三學(xué)生選擇去B地，
事件：抽取的3人中恰有人選擇去B地，，
事件：抽取的3人中至少有2人選擇去B地．
從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，
選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；
抽取的100名學(xué)生中高二年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，
選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；
抽取的100名學(xué)生中高三年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，
選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；
因?yàn)椋?br>所以
．
所以抽取的3人中至少有2人選擇去地的概率可估計(jì)為
．
（3）在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，
調(diào)查結(jié)果為滿(mǎn)意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為，
則調(diào)查結(jié)果為滿(mǎn)意的學(xué)生人數(shù)的方差為，
調(diào)查結(jié)果為不滿(mǎn)意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為，
則調(diào)查結(jié)果為不滿(mǎn)意的學(xué)生人數(shù)的方差為，
則.
19. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B．設(shè)，直線BC與直線交于點(diǎn)N，求證：直線AN的斜率為定值．
（1）解：由題意得，解得，
所以橢圓的方程是．
（2）證明：由題可知直線斜率存在．設(shè)直線．
由，得．
由，得，即．
設(shè)，
則．
直線的方程為．
令，得的縱坐標(biāo)為．
因?yàn)?br>，
所以．
．
又
．
所以，即．
所以直線的斜率為定值．
20. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，；
（3）若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．
（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，．
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2）證明：由題設(shè)知．
設(shè)函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以對(duì)任意的恒成立，即．
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．
所以當(dāng)且時(shí)，．
（3）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
③當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，
因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根、，
滿(mǎn)足，，
不妨設(shè)，則，、的情況如下：
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是、，單調(diào)遞減區(qū)間是．
因?yàn)椋詾榈囊粋€(gè)零點(diǎn)．
又，，且，
所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．
又，，且，
所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．
所以函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)．
綜上，的取值范圍為．
21. 已知，，，為有窮正整數(shù)數(shù)列，若存在，其使得，其中，則稱(chēng)Q為連續(xù)可歸零數(shù)列．
（1）判斷：1，3，2和：4，2，4是否為連續(xù)可歸零數(shù)列？并說(shuō)明理由；
（2）對(duì)任意的正整數(shù)，記，其中表示數(shù)集S中最大的數(shù)．令，求證：數(shù)列，，，不是連續(xù)可歸零數(shù)列；
（3）若，，，的每一項(xiàng)均為不大于的正整數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，Q是連續(xù)可歸零數(shù)列．
證明：（1）數(shù)列連續(xù)可歸零數(shù)列，理由如下：
取，則，
所以數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．
數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列，理由如下：
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．
所以數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列．
（2）因?yàn)?，3，5，7是奇數(shù)，故，
所以．
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列．
因?yàn)椋?br>所以與奇偶性相同．
當(dāng)或時(shí)，因?yàn)橹?，為奇?shù)，其余各項(xiàng)均為偶數(shù)，
所以為奇數(shù)．
所以．
當(dāng)取時(shí)，
由（1）可知，
綜上，數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列．
（3）設(shè)，
則是整數(shù)數(shù)列．
下面證明對(duì)任意，均有．
顯然滿(mǎn)足．
假設(shè)結(jié)論不成立，則存在，使得或，
且當(dāng)時(shí)都有．
（i）若，當(dāng)時(shí)，，
因，所以，矛盾；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，矛盾?br>（ii）若，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，矛盾?br>當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>又是整數(shù)，所以，矛盾．
綜上，對(duì)任意，均有．
若存在，使得，
則存在且，使得，
此時(shí)數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．
若任意，
因?yàn)橹泄矀€(gè)非零整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列中存在且，使得，
從而存在，使得，
此時(shí)數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．
綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．
高一
高二
高三
A地
B地
A地
B地
A地
B地
滿(mǎn)意
12
2
18
3
15
6
一般
2
2
6
5
6
8
不滿(mǎn)意
1
1
6
2
3
2
增
極大值
減
極小值
增

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