江西省重點中學(xué)盟校2024屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含答案

這是一份江西省重點中學(xué)盟校2024屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含答案，共11頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試時間：120分鐘 試卷總分：150分
命題人：臨川二中汪少宇 新余四中王功委 余江一中嚴(yán)銀斌
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1.已知集合，則
A. B. C. D.
2.已知為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)滿足，則
A.1 B. C. D.
3.某工廠隨機(jī)抽取名工人，對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下表，則該組數(shù)據(jù)的
分位數(shù)是
A. B. C. D.
4.已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點，為拋物線的焦點，若為直角三角形，則實數(shù)的值為
A． B． C． D．
5.某地區(qū)有10000名考生參加了高三模擬調(diào)研考試.經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成績位于的人數(shù)約為
參考數(shù)據(jù)：，
A．455 B．1359 C．3346 D．1045
6.核酸檢測分析是用熒光定量法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)實時監(jiān)測，在擴(kuò)增的指數(shù)時期，熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閥初始數(shù)值時，的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)滿足，其中為的初始數(shù)量，為擴(kuò)增效率．已知某被測標(biāo)本擴(kuò)增16次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?0000倍，則擴(kuò)增效率約為
(參考數(shù)據(jù)：)
A. B. C. D.
7.過圓：上的動點作圓：的兩條切線，兩個切點之間的線段稱為切點弦，則圓內(nèi)不在任何切點弦上的點形成的區(qū)域的面積為
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)的定義域為，，，若，則
A. B. C. D.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9.在的展開式中
A．二項式系數(shù)之和為 B．第項的系數(shù)最大
C．所有項系數(shù)之和為 D．不含常數(shù)項
10.已知函數(shù)的最小正周期為，則
A.
B. 點是圖象的一個對稱中心
C.在上單調(diào)遞減
D. 將的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得到的圖象
11.如圖，在平面四邊形中，點為動點，的面積是面積的3倍，數(shù)列滿足，恒有，設(shè)的前項和為，則
A.為等比數(shù)列 B.
C.為等差數(shù)列 D.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知，則與夾角為 .
13.在數(shù)學(xué)中，有一個被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù).小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)
字密碼時，打算將自然常數(shù)的前位數(shù)字進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個相鄰，兩個不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有 個.(用數(shù)字作答)
14.如圖，該“四角反棱柱”是由兩個相互平行且全等的正方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、連接而成，其側(cè)面均為等邊三角形，已知該“四角反棱柱”的棱長為4，則其外接球的表面積為 ．
四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，
，.
（1）設(shè)點為棱的中點，證明：平面；
（2）求平面與平面的夾角的大小.
16.（本小題滿分15分）
某學(xué)校為了學(xué)習(xí)、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識比賽，甲、乙兩位教師進(jìn)行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題甲、乙答對的概率分別為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．
（1）求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)這次比賽共有3局，若比賽結(jié)束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．
17.（本小題滿分15分）
如圖，在中，的平分線與邊交于點，且.
（1）若，求的面積.
（2）求的最小值.
18.（本小題滿分17分）
已知橢圓的方程為，由其個頂點確定的三角形的面積為，點在上，為直線上關(guān)于軸對稱的兩個動點，直線與的另一個交點分別為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線經(jīng)過定點；
（3）為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.
19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；
（3）若對任意的，關(guān)于的方程僅有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍
江西省重點中學(xué)盟校2024屆高三第一次聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題答案及評分參考
1-8 9. 10. 11.
12. 13. 14.
8.令，得，即，
令，得，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
令，得，令，得，所以，或，若，解得與已知矛盾，所以，即，解得.
令，得，所以，
即有，所以，從而，所以函數(shù)的周期為，
故.故選.
另解：令，滿足題目條件，則，選.
11.設(shè)交于點，則，即，
故，
由于三點共線，故存在實數(shù)，使得，
即得，
故，整理得，即，則，即，
而，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，正確；
則，故，，正確；
又常數(shù)，故不為等比數(shù)列，錯誤；
運(yùn)用錯位相減法可求得，正確，故選.
14.如圖，由題意可知旋轉(zhuǎn)角度為，設(shè)上、下正方形的中心分別為，
連接，則的中點即為外接球的球心，其中點為所在棱的中點，
即為該幾何體的外接球的半徑，，
過點作于點，則，
. 易得四邊形為矩形，即，則，即，，即該“四角反棱柱”的外接球的表面積為.
15.（1）設(shè)為的中點，連接.
在中，點為棱的中點，，-------------------------2分
因為，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，---------------------------------------4分
因為平面，平面，所以平面.-------------------6分
（2）以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，
.設(shè)平面的一個法向量為，則有，
令，則，得.------------------------------------------------------------------------------------9分
，設(shè)平面的一個法向量為，則有，
令，則，則，------------------------------------------------------------------------------------11分
設(shè)平面與平面的夾角為，有，
所以平面與平面的夾角大小為.------------------------------------------------------------------------------13分
件數(shù)
7
8
9
10
11
人數(shù)
6
14
10
8
2
16.（1）取值可能為，，，，--------------------------------------------------------------------------------------------------------3分
所以的分布列為
．-------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由（1）可知在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得分的概率為．----------------------------------------------9分
在3局比賽中，乙獲得30分的概率為；
在3局比賽中，乙獲得20分的概率為；
在3局比賽中，乙獲得10分的概率為，------------------------13分
所以乙最終獲勝的概率為．------------------------------------------------15分
17.（1）在中，，所以，
又是的平分線，所以，
故，-----------------------------------------------------------2分
在中，，
故，--------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分
所以的面積；-----------------------------------------------------6分
（2）設(shè)，則，
所以，解得，--------------------------------------------------------------------------------------7分
在中，根據(jù)正弦定理，得，
得，---------------------------------------------------------------------9分
所以 ------------------------------------------------------------------------------------------11分
---------------------------------------------------------------------------------14分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為. ----------------------------------------------------------------------------------15分
18.（1）由題意知，解得，
所以橢圓的方程為.------------------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）直線的斜率必存在，設(shè)其方程為.
消去得，
由得.
設(shè)，則，（*）----------------------------------------6分
直線的方程為，令，得，同理，
由，又，
代入得，---------------------------------------------------------------9分
將（*）式代入并整理.
因為直線不過，故不成立，所以，此時直線的方程為，經(jīng)過定點.---------------------------------------------------------------------------------------------------11分
（3）由， ，
所以，
又點到直線的距離為，
所以，--------------------------14分
令，則，當(dāng)，即時取等，所以的面積的最大值為.--------------------------------------------------------------------------------17分
19.（1）當(dāng)時，，，，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.---------------------------3分
（2），令，得，則.-----------4分
當(dāng)時，，此時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有極值點；--------------------------------------------------------------------------------6分
當(dāng)時，，令，則，則，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)有兩個極值點.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點.----------------------------------------------------------------------------9分
（3）依題意，，記，.
（i）由（2）知當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，函數(shù)恰有一個零點，方程僅有一個實數(shù)根，此時.-------------------------------------------------------11分
（ii）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，則，
所以，
，
因為當(dāng)，當(dāng)，故只需或，-------14分
令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，
，又，又，故，
，所以，故.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.--------------------------------------17分
.0
10