1．下列各圖中，與是對頂角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．華為Mate20系列搭載了麒麟980芯片，這個被華為稱之為全球首個7納米工藝的AI芯片，擁有8個全球第一，7納米就是米．數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，則值為（ ）
A．7B．10C．D．
5．如圖，在長為，寬為的長方形鐵片上，挖去長為，寬為b的小長方形鐵片，則剩余部分面積是（ ）
A．B．C．D．
6．∠1與∠2互余，∠1與∠3互補，若∠3=125°，則∠2=（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
7．如圖，下列能判定的條件有（ ）個．
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1B．2C．3D．4
8．下列語句正確的有（ ）個
①任意兩條直線的位置關系不是相交就是平行； ②過一點有且只有一條直線和已知直線平行；
③過一點有且只有一條直線與已知直線垂直； ④若直線， ，則．
A．4B．3C．2D．1
二、填空題（本大題共5小題）
9． ．
10．如圖，有三個快遞員都從位于點P的快遞站取到快遞后，同時以相同的速度把取到的快遞分別送到位于筆直公路l旁的三個快遞點A，B，C．結(jié)果送到B快遞點的快遞員先到理由是： ．
11．計算： ．
12．如圖，和都是直角，若，則 ．
13．若，則 ．
三、解答題（本大題共5小題）
14．計算題
(1)；
(2)
(3)；（用乘法公式計算）
(4)．
15．先化簡，再求值：，其中，．
16．已知一個角的余角是這個角的補角的，求這個角的度數(shù)．
17．如圖，，，．試說明．
18．【背景】對于兩數(shù)和（差）的完全平方公式中的三個代數(shù)式：，和，若已知其中任意兩個代數(shù)式的值，則可求第三個代數(shù)式的值．由此解決下列問題：
【應用】（1）若，，求的值；
【遷移】（2）如圖，在長方形中，，，點分別是邊上的點，且，分別以為邊在長方形外側(cè)作正方形和正方形，若長方形的面積為60，求圖中兩個正方形的面積之和．
四、填空題（本大題共5小題）
19．已知，則 ．
20．如果的乘積中不含項，則= ．
21．若多項式是關于的完全平方式，則 ．
22．若，則滿足條件的的值為 ．
23．若一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”（如，，，，，，，，）從上面的例子中可以看到所有大于3的奇數(shù)都是智慧數(shù)，則第26個“智慧數(shù)”是 ；2025是第 個“智慧數(shù)”．
五、解答題（本大題共3小題）
24．如圖，直線交于點O，，垂足為O，．
(1)求的度數(shù)；
(2)若平分，求的度數(shù)．
25．把關于的二次三項式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，最值問題，解方程等問題中都有著廣泛的應用．配方法的本質(zhì)是完全平方公式的逆運用，即：．
例如：將配方如下：．
請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
【初步應用】（1）用上面的方法對多項式配方；
【類比應用】（2）求代數(shù)式的最小值；
【拓展應用】已知，求的值．
26．若規(guī)定，且m，n為正整數(shù)，例如，，．
(1)計算；
(2)試說明：；
(3)利用（2）中的方法解決下面的問題，記，．
①a，b的值分別為多少？②試確定的個位數(shù)字．
參考答案
1．【答案】C
【詳解】解：．的兩邊不是的兩邊的反向延長線，則與不是對頂角，故該選項不符合題意；
．與沒有公共頂點，不是對頂角，故該選項不符合題意；
．與是對頂角，故該選項符合題意；
．的兩邊不是的兩邊的反向延長線，則與不是對頂角，故該選項不符合題意；
故選C．
2．【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，完全平方公式對每一項判斷解答即可．
【詳解】解：A．、不是同類項不能合并，故原計算錯誤，不符合題意；
B． ，故原計算錯誤，不符合題意；
C． ，故原計算錯誤，不符合題意；
D． ，故原計算正確，符合題意；
故選D．
3．【答案】D
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【詳解】解：．
故選D．
4．【答案】B
【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則即可得出答案
【詳解】
故選B
5．【答案】B
【分析】根據(jù)長方形的面積公式分別計算出大長方形、小長方形的面積，再進行相減即可得出答案．
【詳解】解：
，
故剩余部分面積是，
故選B．
6．【答案】A
【詳解】解：根據(jù)題意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，則∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，則∠2=35°
故選A．
7．【答案】C
【分析】根據(jù)題目中的條件，可以寫出各個小題中的條件可以得到哪兩條線平行，從而可以解答本題．
【詳解】解：（1），
，符合題意；
（2），
，不符合題意；
（3），
，符合題意；
（4），
，符合題意；
綜上所述，能判定的條件有3個，
故選C．
8．【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的定義、平行公理、垂線的性質(zhì)對各小題分析判斷后利用排除法求解即可．
【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關系不是相交就是平行，故原說法錯誤；
②過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，故原說法錯誤；
③在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯誤；
④若直線， ，則，正確．
故選D．
9．【答案】
【分析】根據(jù)單項式除以單項式的運算法則計算即可．
【詳解】解：
10．【答案】垂線段最短
【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：由題意可知送到B快遞點的快遞員先到的理由是：垂線段最短
11．【答案】
【分析】由恒等變形得到計算即可得到答案．
【詳解】解：
12．【答案】/155度
【分析】先求出，再根據(jù)代入數(shù)據(jù)計算即可得解．
【詳解】解：∵和都是直角，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．【答案】4
【分析】利用平方差公式和已知條件代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先計算乘方，零次冪，再合并即可；
（2）先計算積的乘方，再計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可；
（3）把原式化為，再結(jié)合平方差公式可得答案；
（4）利用平方差公式，多項式乘以多項式計算乘法運算，再合并同類項即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
15．【答案】，
【分析】先計算括號內(nèi)的整式的乘法運算，再合并同類項，最后計算單項式除以單項式得到化簡的結(jié)果，把代入計算即可．
【詳解】解：
；
當，時，原式．
16．【答案】這個角的度數(shù)為
【分析】設這個角的度數(shù)為x，則它的余角為，它的補角為，據(jù)此列出方程求解即可．
【詳解】解：設這個角的度數(shù)為x，
由題意得，，
解得，
∴這個角的度數(shù)為．
17．【答案】證明見解析
【分析】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．先求解，證明即可．
【詳解】解：∵，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)題意利用完全平方公式即可求解；
（2）根據(jù)題意先表示出，再利用完全平方公式的變形即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵，，
∴，即，
∴，
∴，
（2）∵，，且，
∴，，
∵長方形的面積為60，
∴，
圖中兩個正方形的面積之和為：
，
．
19．【答案】11
【分析】變形為，代入解答即可．
【詳解】解：，
∵，
∴原式，
故答案為：11．
20．【答案】
【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式展開，即可得出，求解即可得出答案．
【詳解】解：
的乘積中不含項，
21．【答案】或
【詳解】解：∵是關于的完全平方式，
∴，
∴，
∴或
22．【答案】或
【分析】根據(jù)冪等于1的情況分別進行討論求解即可．
【詳解】解：情況一：底數(shù)為時，
當時，即．
此時指數(shù)，那么，滿足條件；
情況二：底數(shù)為，指數(shù)為偶數(shù)時，
當時，即，
此時指數(shù)，，不滿足條件；
情況三：指數(shù)為，底數(shù)不為時，
當時，即，
此時底數(shù)，那么，滿足條件；
綜上，滿足條件的的值為或
23．【答案】 37 1517
【分析】把從1開始的正整數(shù)依次每4個分成一組，除第一組一個智慧數(shù)外，其余各組都有3個智慧數(shù)，而且每組中第二個不是智慧數(shù)，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴第26個“智慧數(shù)”是37；
∵，
∴（個），
∴2025是第1517個“智慧數(shù)”．
24．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義求得，然后根據(jù)垂直的定義即可求解；
（2）根據(jù)角平分線的定義以及對頂角的性質(zhì)求得，然后根據(jù)求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵直線交于點O，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
25．【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的逆運用計算即可；
（2）根據(jù)完全平方公式的逆運用把原式化為，再利用非負數(shù)的性質(zhì)計算即可．
（3）把化為，再結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)進一步求解即可．
【詳解】解：（1）；
（2）
，
∵，，
∴；
∴的最小值為；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，，，
∴．
26．【答案】(1)
(2)見解析
(3)①，；②6．
【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的運算進行計算即可；
（2）根據(jù)規(guī)定的運算先求出和，然后計算，對式子變形后即可得證；
（3）①根據(jù)（2）中結(jié)論列式求出，；②求出的個位數(shù)字以8，4，2，6為一個循環(huán)組依次循環(huán)，進而可得答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，
，
∴
，
∵，
∴；
（3）解：①由（2）可得：，，，….，，
∴，
同理可得：，
②∵，，
∴，
∵，，，，….
∴的個位數(shù)字以8，4，2，6為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵，
∴的各位數(shù)字是6．

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