（時間：120分 滿分：150分）
A卷（共100分）
一、選擇題（每小題4分，共32分，各題均有四個選項，只有一項符合題目要求）
1. 在下列各數(shù)：、、、、、中無理數(shù)的個數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的概念，算式平方根和立方根，以及二次根式的化簡，解題關(guān)鍵是掌握初中范圍內(nèi)涉及到的無理數(shù)的三種情況：①開方開不盡的數(shù)，如；②特定意義的數(shù)，如；③特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如．先化簡，再根據(jù)無理數(shù)的概念逐一判斷，即可得到答案．
【詳解】解：是有限小數(shù)，是有理數(shù)；
是分數(shù)，是有理數(shù)；
是無理數(shù)；
是無理數(shù)；
是分數(shù)，是有理數(shù)；
是整數(shù)，是有理數(shù)，
即無理數(shù)的個數(shù)是2，
故選：B．
2. 剪紙是中國古代最古老的民間藝術(shù)之一．如圖是一張?zhí)N含著軸對稱變換的蝴蝶剪紙，點A與點B對稱，點C與點D對稱，將其放置在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為，，，則點D的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)．由點A與點B對稱，求得對稱軸為直線，再根據(jù)點C與點D對稱，即可求解．
【詳解】解：∵和對稱，
∴對稱軸直線為：，
∵與點D關(guān)于對稱，
∴，
故選：A．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的加法，二次根式的乘法和除法，化簡二次根式，根據(jù)二次根式的運算法則即可得出答案，掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，故選項不符合題意；
B、，故選項不符合題意；
C、 ，計算正確，故選項不符合題意；
D、 ，故選項不符合題意；
故選：C．
4. 要使有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式、分式有意義的條件．熟練掌握二次根式、分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，計算求解，然后作答即可．
【詳解】解：∵有意義，
∴，
解得，且，
故選：C．
5. 估計的值在（ ）之間
A. 5和6B. 6和7C. 7和8D. 8和9
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的運算等知識點，先化簡二次根式，再估算無理數(shù)的大小即可得出答案，解題的關(guān)鍵是找到哪兩個相鄰的有理數(shù)逼近無理數(shù)．
【詳解】，
∵，
∴，
∴的值在7和8之間，
故選：C．
6. 如果點與點關(guān)于y軸對稱，則m，n的值分別為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，二元一次方程組的解法，正確記憶關(guān)于坐標軸對稱點的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變．即點關(guān)于y軸的對稱點的坐標是，進而得出答案．
【詳解】解：∵點與點關(guān)于y軸對稱，
∴，
解得：，
故選：A．
7. 如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，由折疊的性質(zhì)可得，設，則，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面積計算公式求解即可．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，
設，則，
由長方形的性質(zhì)可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故選：C．
8. 關(guān)于一次函數(shù)，下列說法正確的是( )
A. 圖象與軸交于點
B. 其圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
C. 圖象與坐標軸圍成三角形面積為
D. 圖象經(jīng)過第一、二、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)平移的特點逐一分析，即可得到答案．
【詳解】解：一次函數(shù)，，
當時，，當時，
A． 圖象與軸交于點，故該選項不正確，不符合題意；
B． 其圖象可由的圖象向上平移個單位長度得到，故該選項不正確，不符合題意；
C． 圖象與坐標軸圍成的三角形面積為，故該選項不正確，不符合題意；
D． 圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故該選項正確，符合題意；
二、填空題（每小題4分，共20分）
9. 一個直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，則這個三角形第三邊的長為_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，掌握直角三角形兩邊直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：由勾股定理得：第三邊的長為，
故答案為：5．
10. 若與是同一個數(shù)的兩個不等的平方根，則這個數(shù)是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查平方根，解題的關(guān)鍵是正確理解平方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：由題意可知∶，
解得∶，
故答案為：4．
11. 已知正比例函數(shù)，若y隨x的增大而增大，則點在第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，象限的坐標特征等知識點，據(jù)正比例函數(shù)圖象的增減性可求出m的取值范圍，繼而由各象限內(nèi)點的坐標的符號特點可得答案，熟知正比例函數(shù)y=kxk≠0中，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小是解答此題的關(guān)鍵．
【詳解】∵正比例函數(shù)中y隨x的增大而增大，
∴，
∴，
∴，
∴點在第四象限，
故答案為：四．
12. 已知平面直角坐標系中有點，過點A作直線軸，如果，且點B位于第三象限，則點B的坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了垂直于軸點坐標的特征．熟練掌握垂直于軸的點坐標橫坐標相同是解題的關(guān)鍵．
由軸，可知的橫坐標相同，由，且點B位于第三象限，可得點縱坐標為，進而可得點B的坐標．
【詳解】解：∵軸，
∴的橫坐標相同，
∵，且點B位于第三象限，
∴點縱坐標為，
∴點B的坐標為，
故答案為：．
13. 如圖，長方體的長，寬，高為6，點B處有一只螞蟻，點N處有一滴蜂蜜，如果螞蟻要沿著長方體的表面從點B爬到點N，需要爬行的最短距離是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了平面展開最短路徑問題，勾股定理等知識點，蟻從B到N有三種爬法，要計算每一種爬法的最短路程必須把長方體盒子展開成平面圖形如圖，再利用勾股定理計算線段的長，進行比較即可，熟練掌握螞蟻爬長方形的對角線長時，路徑最短是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖：，寬，高為6，
由已知，的長度即為所求，
∵中，，，
∴，
如圖：
，
如圖：
．
∵，
∴需要爬行的最短距離是，
故答案為：．
三、解答題（共48分，解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
14. （1）計算：
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，立方根解方程等知識點，
（1）先根據(jù)有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根，絕對值，立方根的定義計算，再合并即可；
（2）根據(jù)立方根的定義解方程即可；
熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（1）
；
（2），
，
，
，
∴．
15. 解答下列各題
（1）已知y與成正比例，當時，；①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當時，求y的值．
（2）已知，，求的值；
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本題考查了求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次根式的混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
（1）①根據(jù)題意設，再利用待定系數(shù)法求出的值，即可得到函數(shù)關(guān)系式；②結(jié)合①所得關(guān)系式，將代入，即可求出y的值；
（2）先計算出，，再結(jié)合完全平方公式計算即可．
【小問1詳解】
解：①y與成正比例，
設，
當時，，
，
解得：，
y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
②當時，；
【小問2詳解】
解：，，
，，
．
16. 如圖所示，在平面直角坐標系中，點A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）
（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是 ；
（2）若點D與點C關(guān)于y軸對稱，則點D的坐標為 ；
（3）已知P為x軸上一點，若△ABP的面積為4，求點P的坐標．
【答案】（1）見解析，4；
（2）（?4，3）； （3）（10，0）或（－6，0）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點的坐標，描點、連線即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的性質(zhì)得出答案；
（3）根據(jù)三角形的面積求出BP＝8，進而可得點P的坐標．
【小問1詳解】
解：△ABC如圖所示，△ABC的面積是：3×4?×1×2?×2×4?×2×3＝4，
故答案為：4；
【小問2詳解】
解：∵點D與點C（4，3）關(guān)于y軸對稱，
∴點D的坐標為：（?4，3）；
故答案為：（?4，3）；
【小問3詳解】
解：∵P為x軸上一點，△ABP的面積為4，
∴，
∴BP＝8，
∴點P的橫坐標為：2＋8＝10或2?8＝－6，
故點P坐標為：（10，0）或（－6，0）．
【點睛】此題主要考查了坐標與圖形，網(wǎng)格中三角形面積求法以及關(guān)于y軸對稱的點的性質(zhì)，熟練掌握坐標與圖形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
17. 消防車上的云梯示意圖如圖所示，云梯最多只能伸長到米，消防車高米，如圖，某棟樓發(fā)生火災，在這棟樓的處有一老人需要救援，救人時消防車上的云梯伸長至最長，此時消防車的位置與樓房的距離為米．
（1）求處與地面的距離．
（2）完成處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在處的上方米的處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功地救出小孩，則消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出的長，進而可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出的長，利用即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：在中，
米，米，
米
米)．
答：處與地面的距離是米；
【小問2詳解】
在中，
米，米)，
米
米)．
答：消防車從處向著火的樓房靠近的距離為米．
【點睛】本題考查是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．
18. 已知：△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：
（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：
①線段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）如圖②，若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；
（3）若動點P滿足，求的值．（提示：請利用備用圖進行探求）
【答案】（1）①，2；②；（2）證明見試題解析；（3）或．
【解析】
【詳解】試題分析：
（1）①由已知條件求出AB的長，再減去PA就可得PB的長；如圖1，連接BQ，先證△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可計算出PQ=，從而根據(jù)△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；
②由①中的證明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；
（2）如圖2，連接PB，先證△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，從而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想結(jié)論仍然成立；
（3）如圖3，分點P在點A、B之間和在點A、B的同側(cè)兩種情況討論即可；
試題解析：
（1）如圖①：
①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+，∠ACB=90°，
∴AB=，
∵PA=，
∴PB=AB-PA=.
∵△ABC和△PCQ均為以點C為直角頂點的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ為直角三角形．
∴PQ=．
∴PC=PQ=2．
故答案為，2；
②如圖1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：
由①中證明可知：△APC≌△BQC，
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，
又∵∠CBA=45°，
∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°，
∴BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（2）如圖②：連接BQ，
∵△ABC和△PCQ均為以點C為直角頂點的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°．
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°，
∴∠PBQ=90°，
∴在Rt△PBQ中，BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（3）如圖③：過點C作CD⊥AB，垂足為D．由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC可得：AD=BD=CD=AB；設AB=，則AD=BD=CD=，
①當點P位于點A、D之間的點P1處時．
∵，
∴P1A=AB=DC= ，
∴P1D=AD=，
在Rt△CP1D中，由勾股定理得：CP1=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= ，
∴；
②當點P位于點A和點B的同側(cè)的點P2處時．
∵，
∴P2A=AB=AD=．
∴P2D=P2A+AD=，
在Rt△CP2D中，由勾股定理得：P2C=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=，
∴；
綜上所述，的比值為或．
點睛：（1）本題第1小題②問和第2小題的解題要點是一致的，就是連接BQ，利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得△APC≌△BQC，得到PA=QB，∠CBQ=∠CAP=45°，就可把PA、PB、BQ三條分散的線段集中到Rt△PBQ中，由勾股定理就可得到三條線段間的數(shù)量關(guān)系；（2）討論本題第3小題時，需注意點P的位置存在兩種情形，討論時不要忽略了其中任何一種.
B卷（共50分）
一、填空題（每小題4分，共20分）
19. 若x，y都是實數(shù)且，則xy的平方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式求出x的值，得到y(tǒng)的值，根據(jù)平方根的定義解答即可．
【詳解】由題意得，2x?3≥0，3?2x≥0，
解得，x＝，
則y＝4，
xy＝6，
6的平方根是，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件和平方根的定義，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．
20. 若函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，則____________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)自變量的次數(shù)為1，比例系數(shù)不為0求解即可．
【詳解】解：函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，
∴且，
解得，，
故答案為：-2．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是明確一次函數(shù)比例系數(shù)不為0這一限制條件．
21. 在數(shù)軸上表示a，b，c三數(shù)的點的位置如圖所示，化簡：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，數(shù)軸，絕對值，立方根等知識點，由數(shù)軸得，，，，進一步得出，，再根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值、立方根的定義計算即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識點．
【詳解】由數(shù)軸得，，，
∴，，
，
故答案為：．
22. 在平面直角坐標系xOy中，O0,0，，，，，若點P關(guān)于某直線l的對稱點落在長方形內(nèi)（不包含邊界），則稱點P是長方形的“l(fā)封閉點”；已知點，若點P是長方形的“l(fā)封閉點”，則直線l可以是______（填序號）①x軸；②y軸；③一三象限角平分線；④長方形的對稱軸；若點Q是長方形的“y軸封閉點”，則求點Q橫坐標x的取值范圍為______．
【答案】 ①. ②③④ ②.
【解析】
【分析】本題主要考查了新定義，坐標與圖形變化?軸對稱等知識點，畫出圖形，根據(jù)“封閉點”的定義判斷即可；分情況畫出圖形，根據(jù)“封閉點”的定義解答即可，理解和掌握新定義是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）如圖，
分別作出點關(guān)于①x軸的對稱點；關(guān)于②y軸的對稱點；關(guān)于③一三象限角平分線的對稱點；關(guān)于④長方形的對稱軸的對稱點和，可知②③④符合題意．
故答案為：②③④，
（2）當點Q在y軸的左側(cè)時，如圖，過點Q作x軸的平行線，交y軸于點E，交于點F，則，
∵點Q是長方形的“y軸封閉點”，
∴，
當點Q在y軸的右側(cè)時，如圖，過點Q作x的平行線，交y軸于點E，交于點G，則，
∵點Q是長方形的“y軸封閉點”，
∴．
當點Q在y軸上時，點Q關(guān)于y軸的對稱點是其本身，符合題意．
綜上可知，若點Q是長方形的“y軸封閉點”，則點Q橫坐標的取值范圍是，
故答案為：點Q橫坐標x的取值范圍為 ．
23. 如圖，在等腰中，，點E為上一點，點H為上一點，連接和交于點F，．連接，若平分，則______，在此條件下，延長到點D，連接，使，此時若，，則______．
【答案】 ①. 1 ②. ##
【解析】
【分析】過點作于點，過點作于點，，交的延長線于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，證明，推出，進而證明，得到，即可得到答案；過點作交于點，過點作交延長線于點，先證明，得到，，同理可證，得到，，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，推出，從而證明，得到，然后根據(jù)已知條件求出，，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，，交的延長線于點，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
如圖，過點作交于點，過點作交延長線于點，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
同理可證，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，，
．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
二、解答題（共30分）
24. 閱讀理解：在平面直角坐標系中，，，如何求的距離．如圖，在，，所以．因此，我們得到平面上兩點，之間的距離公式為．根據(jù)上面得到的公式，解決下列問題：
（1）已知點，，試求、兩點間的距離；
（2）已知點，且，求的值；
（3）求代數(shù)式的最小值．
【答案】（1）13 （2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩點距離公式進行計算便可；
（2）根據(jù)兩點距離公式列出m的方程進行解答便可；
（3）把看成點到兩點和的距離之和，求出兩點和的距離便是的最小值．
【小問1詳解】
解：根據(jù)兩點的距離公式得，；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得，，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：∵看成點到兩點和的距離之和，
∴的最小值為點到兩點和的距離之和的最小值，
∵當點在以兩點和為端點的線段上時，點到兩點和的距離之和的最小值，其最小值為以兩點和為端點的線段長度，
∴的最小值為．
【點睛】本題主要考查了兩點的距離公式及應用，關(guān)鍵是讀懂題意，運用兩點距離公式計算兩點距離和應用兩點距離公式解決具體問題．
25. 對于函數(shù)（為常數(shù)），小明用特殊到一般的方法，探究了它的圖象及部分性質(zhì)．請將小明的探究過程補充完整，并解決問題，

（1）當時，函數(shù)為；當時，函數(shù)為．用描點法畫出了這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，觀察函數(shù)圖象可知：函數(shù)的圖象關(guān)于______對稱：對于函數(shù)，當______時，；
（2）當時，函數(shù)為，對于函數(shù)，當時，的取值范圍是______；
（3）結(jié)合函數(shù)，和的圖象，可知函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到，它們具有類似的性質(zhì)．
①若，寫出由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象的平移方式；
②若點和都在函數(shù)的圖象上，且，直接寫出的取值范圍（用含的式子表示）．
【答案】（1）y軸，或；
（2）；
（3）①向左平移個單位長度；②．
【解析】
【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象性質(zhì)、解不等式等知識點，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
（1）結(jié)合圖象可得，求解即可；
（2）分別求出當時，的函數(shù)值，在結(jié)合圖象即可得出答案；
（3）①由再結(jié)合圖象即可得出答案；
②由可得，的圖象關(guān)于對稱，點關(guān)于的對稱點為再根據(jù)進而得出答案．
小問1詳解】
解：由題意，結(jié)合圖象可得，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
又令
，
或，
故答案為：y軸，或；
【小問2詳解】
解：函數(shù)的圖象如圖：
當時，，
當時，，
當時，，
結(jié)合圖象可知，當時，y的取值范圍為，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：
結(jié)合圖象可得，若，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象；
∴的圖象關(guān)于對稱，
∴點關(guān)于的對稱點為，
∵若點和都在函數(shù)的圖象上，且
解得：．
26. 如圖，點D是內(nèi)一點，連接，，．
（1）如圖1，當時，若，，，求的度數(shù)；
（2）如圖2，以為斜邊向上作等腰，連接，若，，求證：且；
（3）如圖3，在第（2）問的結(jié)論下，點P為垂直平分線上一點，連接，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，若射線交直線于點Q，當取得最小值時，直接寫出的值．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出，，進而得出結(jié)果；
（2）作，截取，連接，可證得，從而得出，，，從而，從而推出點E、D、F、C共圓，進而得出，A、D、F共線，進而證得，從而得出，，進一步得出結(jié)論；
（3）設交于F，作，截取，延長交于，連接，可證得，從而，進而得出點B和點重合，從而得出點在與成的的邊上運動，當點Q在E點處時，最小，進一步計算得出結(jié)果．
【小問1詳解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：如圖1，
作，截取，連接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴點E、D、F、C共圓，
∴，，
∴，，
∴A、D、F共線，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖2，
設交于F，作，截取，延長交于，連接，
∴，是等邊三角形，
∴，，，
∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點和點B重合，
∴點在與成的邊上運動，
∴當點Q在E點處時，最小，
如圖3，
在中，，，，
設，則，
∴，
∴，
∴，
如圖4，
不妨設，則，作于X，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

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