本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 命題“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得正確答案.
【詳解】命題“，”的否定是，，
故選：C
2. 已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先確定陰影部分表示的集合為,再根據(jù)補(bǔ)集與交集定義求解.
【詳解】由題意得陰影部分表示的集合為,
因?yàn)?br>故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集與交集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
3. 若實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)ACD可以舉反例判斷，選項(xiàng)B可以利用函數(shù)單調(diào)性判斷.
【詳解】選項(xiàng)A，可以舉反例，如，滿足，但是，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：對(duì)于函數(shù)是上單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，正確；
選項(xiàng)C：可以舉反例，如，滿足，但是，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：可以舉反例，如，，滿足，但是，錯(cuò)誤；
故選：B
4. 已知，，則“，”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件分別判斷充分性和必要性，即可得到答案.
【詳解】當(dāng)，時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，故充分性成立；
當(dāng)時(shí)，若，，此時(shí)不能推出，，故必要性不成立.
所以“，”是“”的充分不必要條件.
故選：A
5. “高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購(gòu)”稱為中國(guó)的“新四大發(fā)明”．某中學(xué)為了解本校學(xué)生對(duì)“新四大發(fā)明”的使用情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中使用過共享單車或掃碼支付的學(xué)生共有80位，使用過掃碼支付的學(xué)生共有65位，使用過共享單車且使用過掃碼支付的學(xué)生共有30位，則使用過共享單車的學(xué)生人數(shù)為（）
A. 65B. 55C. 45D. 35
【答案】C
【解析】
【分析】
用集合表示使用過共享單車的人，集合表示使用過掃碼支付的人，根據(jù)集合運(yùn)算確定結(jié)果．
【詳解】參數(shù)調(diào)查的所有人組成全集，使用過共享單車的人組成集合，使用過掃碼支付的人組成集合，表示集合中的元素，
由題意，，，
∴，∴．
故選：C．
6. 已知為上的增函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，從而得到，即可求解.
【詳解】因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，
所以由，得：，
即，即，解得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：C.
7. 若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先對(duì)進(jìn)行討論,當(dāng)時(shí),不等式為,恒成立，當(dāng)時(shí),利用不等式恒成立的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后求解.
【詳解】若,則原不等式等價(jià)為,此時(shí)不等式恒成立,
若,則要使不等式恒成立,
則有，解得，
綜上滿足題意的的范圍為.
故選：D.
8. 設(shè)（其中為常數(shù)），若，則
A. 31B. 17C. 24D. －31
【答案】A
【解析】
【詳解】令 ，則 為奇函數(shù)．
∴
∴ ,故選A
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知單元素集合，則集合的所有子集構(gòu)成的集合，下列表示正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)集合N中有兩個(gè)元素：，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】集合，即集合N中有兩個(gè)元素：，故，，選項(xiàng)A正確，CD錯(cuò)誤；空集是任何集合的子集，故，選項(xiàng)B正確.
故選：AB.
10. 已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）
A. 的定義域?yàn)锽. 的值域?yàn)?br>C. D. 若，則x的值是
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以的定義域?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的值域?yàn)椋訠正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，得，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，由，得，解得或（舍去），
綜上，，所以D正確.
故選：BD.
11. 若關(guān)于的不等式的解集是，則下列說法正確的是（）
A. B. 的解集是
C. D. 的解集是
【答案】AB
【解析】
【分析】首先利用不等式和對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，可得，，再判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)榈慕饧?，所以，且的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是或，即，，解得：，，
故A正確；C不正確；，即，解得：，故B正確；，即，解得：，故D不正確.
故選：AB
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查一元二次方程和不等式的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值.
12. 中國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出了用三角形的三邊求面積的“三斜求積術(shù)”，即已知三角的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式求得，此公式化簡(jiǎn)后與海倫公式完全一致.其中p為三角形周長(zhǎng)的一半.現(xiàn)有一個(gè)三角形滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. 三角形的面積S的最大值為12D. 三角形的面積S沒有最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】A.利用基本不等式判斷；B. 利用基本不等式判斷；CD.根據(jù)，得到，利用二次函數(shù)判斷.
【詳解】A.因，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；
B. 因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；
C.因?yàn)?，所以p=8，則，
，
，
因?yàn)?，解得?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故正確；
D.由選項(xiàng)C知，錯(cuò)誤；
故選：BC
第II卷非選擇題
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知集合，集合，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根據(jù)交集的概念得結(jié)果即可
【詳解】因?yàn)榧?，集?br>則
故答案為：
14. 不等式解集為___________________.
【答案】
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)不等式為即得解.
【詳解】原不等式可變形為,
,
∴,
則原不等式的解集是.
故答案為：
15. 已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合配湊法求解即可；
【詳解】，所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
又不等式對(duì)任意恒成立，
所以，即.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)在上的值域A，再分情況求出在上的值域，利用它們值域的包含關(guān)系即可列式求解.
【詳解】“對(duì)任意，總存在，使成立”等價(jià)于“函數(shù)在上的值域包含于在上的值域”，
函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，即在的值域，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，其值域，于是有，即有，解得，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，其值域，于是有，即有，解得，則，
綜上得：或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 集合，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）解不等式求得集合，再根據(jù)并集的運(yùn)算，從而求得.
（2）根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，先求得，然后根據(jù)交集的運(yùn)算，即可求出.
【詳解】解：（1）由題可知，，
因?yàn)?，解得：?br>所以集合，
∴；
（2）或，
所以.
18. 已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）畫出函數(shù)的圖象，并求的單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1）；（2）增區(qū)間為和，減區(qū)間為和.圖象見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)解析式，即可求得函數(shù)定義域；
（2）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象即可畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得單調(diào)區(qū)間.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（2）的圖象如下所示：
由圖象得增區(qū)間為和，減區(qū)間為和.
【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)圖象的繪制，以及函數(shù)定義域的求解，函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.
19. 某隧道長(zhǎng)2150米，通過隧道的車速不能超過20米/秒．一個(gè)由55輛車身都為10米的同一車型組成的運(yùn)輸車隊(duì)勻速通過該隧道．設(shè)車隊(duì)的速度為x米/秒，根據(jù)安全和車流的需要，相鄰兩車均保持米的距離，其中a為常數(shù)且，自第一輛車車頭進(jìn)入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時(shí)間為y(秒)．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）求車隊(duì)通過隧道所用時(shí)間取最小值時(shí)車隊(duì)的速度．
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得關(guān)于的函數(shù)；
（2）利用基本不等式與導(dǎo)數(shù)，分類討論的取值范圍，從而求得的最小值以及此時(shí)的車隊(duì)速度.
【小問1詳解】
依題意，得
.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
即當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，；
所以當(dāng)時(shí)，則當(dāng)車隊(duì)速度為20m/s時(shí)，通過隧道所用時(shí)間最少；
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)車隊(duì)速度為m/s時(shí)，通過隧道所用時(shí)間最少．
20. 已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
（1）求實(shí)數(shù)的值及在上的解析式;
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性（不用證明）;
（3）解不等式.
【答案】（1）;（2）函數(shù)在上為減函數(shù)（3）
【解析】
【分析】（1）由題意得到從而可求出；得到當(dāng)時(shí)，；令，得，得到，根據(jù)函數(shù)奇偶性，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，可直接判斷出該分段函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，以及函數(shù)為奇函數(shù)，將原不等式化為，由題意列出不等式組，求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）奇函數(shù)，，,
時(shí)，；
令，，
，；
（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；
（3）在上為減函數(shù)，
，，
，解得.
【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，以及由函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式，熟記函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的概念即可，屬于?？碱}型.
21. 已知二次函數(shù)滿足，且.
（1）求函數(shù)的解析式;
（2）令，求在上的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由題意結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)算即可得解；
（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)按照、、分類，運(yùn)算即可得解.
【詳解】（1）設(shè)，
則，
，解得，，
又，，
；
（2）由題意，，對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則；
.
22. 已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，，又．
（1）判斷的奇偶性并證明；
（2）求在區(qū)間的最小值；
（3）解關(guān)于的不等式：．
【答案】（1）為奇函數(shù)，證明見解析
（2）
（3）答案見解析
【解析】
【分析】(1)令,得，再令，結(jié)合奇偶性定義可證；
(2)先證明單調(diào)性，利用單調(diào)性求解即可；
(3)先化為，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)含參二次不等式的分類討論求解即可.
【小問1詳解】
為奇函數(shù)，理由如下：
函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
令得，解得，
令得所以對(duì)任意恒成立，所以為奇函數(shù)，
【小問2詳解】
任取，且，則.因當(dāng)時(shí)，，所以.
，即，所以在上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間的最小值為，
因?yàn)?，令得?br>令，得，
在區(qū)間的最小值為，
【小問3詳解】
由，
得，
由得，
由在上單調(diào)遞增得整理得，即，
當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，解集為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，解集為，
當(dāng)時(shí)，，解集為，
當(dāng)時(shí)，，解集為，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集；當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵之處為第（3）問，需要對(duì)含參的二次函數(shù)進(jìn)行分類討論，難點(diǎn)在于分類討論時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的確定，主要是按照是否有根，根的大小進(jìn)行分類求解的．

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