2021北京房山高三一模數    學本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將答題卡交回，試卷自行保存。第一部分 （選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)若集合，集合，則等于(A)         (B)     (C)       (D) (2)下列函數中，值域為且為偶函數的是(A)  (B) (C)             (D)(3)已知，，且，則下列各式中一定成立的是(A) (B) （C） (D)(4)將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，則函數的圖象的一條對稱軸方程為(A)               (B)        (C)              (D)(5) “十三五”期間，我國大力實施就業(yè)優(yōu)先政策，促進居民人均收入持續(xù)增長.下面統(tǒng)計圖反映了年我國居民人均可支配收入（單位：元）情況.根據圖中提供的信息，下列判斷不正確的是(A) 年，全國居民人均可支配收入每年都超過元(B) 年，全國居民人均可支配收入均逐年增加(C) 根據圖中數據估計，年全國居民人均可支配收入可能高于元(D) 根據圖中數據預測，年全國居民人均可支配收入一定大于元(6)已知雙曲線的離心率為，則點到雙曲線的漸近線的距離為(A) (B) (C) (D)(7)“”是“直線與平行”的(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件(8)在矩形中，與相交于點, 是線段的中點，若,則的值為(A)                  (B)               (C)                (D)(9)已知等差數列的前項和為，且，，則下面結論錯誤的是(A)                                     (B)          (C)                                    (D)與均為的最小值 (10)祖暅是我國南北朝時代偉大的科學家，他在實踐的基礎上提出了體積計算的原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是：如果兩個等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等，此即祖暅原理.利用這個原理求球的體積時，需要構造一個滿足條件的幾何體，已知該幾何體三視圖如圖所示，用一個與該幾何體的下底面平行且相距為的平面截該幾何體，則截面面積為(A)  (B)  (C)   (D)第二部分 （非選擇題 共110分）二、   填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11) 若為虛數單位，則       ．(12) 二項式的展開式中常數項是       （用數字作答）．(13) 拋物線的焦點為，則點的坐標為       ，若拋物線上一點到軸的距離為，則       ．(14) 設，，則使得命題“若,則”為假命題的一組的值是       ．(15) 設函數的定義域為，若對于任意，存在，使（為常數）成立，則稱函數在上的“半差值”為．下列四個函數中，滿足所在定義域上“半差值”為的函數是       （填上所有滿足條件的函數序號）．①         ②         ③       ④ 三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）如圖，在直三棱柱中，已知，，，為上一點，且.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.
（17）（本小題14分）在△中，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）△的面積.條件①：邊上的高為；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（18）（本小題14分）單板滑雪型池比賽是冬奧會比賽中的一個項目，進入決賽階段的名運動員按照預賽成績由低到高的出場順序輪流進行三次滑行，裁判員根據運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進行評分，最終取單次最高分作為比賽成績.現有運動員甲、乙二人在賽季單板滑雪型池世界杯分站比賽成績如下表：分站運動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站第2站第3站第4站第5站假設甲、乙二人每次比賽成績相互獨立.（Ⅰ）從上表站中隨機選取站，求在該站運動員甲的成績高于運動員乙的成績的概率；（Ⅱ）從上表站中任意選取站，用表示這站中甲的成績高于乙的成績的站數，求的分布列和數學期望；（Ⅲ）假如從甲、乙人中推薦人參加年北京冬奧會單板滑雪型池比賽，根據以上數據信息，你推薦誰參加，并說明理由.（注：方差，其中為，，…，的平均數）（19）（本小題15分）已知函數． （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若，求證：；（Ⅲ）設，是否存在唯一的自然數，使得與的圖象在區(qū)間上有兩個不同的公共點？若存在，試求出的值，若不存在，請說明理由.  （20）（本小題14分）已知橢圓過點，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點為橢圓的上頂點，是橢圓上兩個不同的動點（不在軸上），直線的斜率分別為，且，求證：直線過定點.  (21)(本小題14分)對于數列，記，其中表示這個數中最大的數，并稱數列是的“控制數列”，如數列的“控制數列”是.（Ⅰ）若各項均為正整數的數列的“控制數列”為，寫出所有的；（Ⅱ）設.（i）當時，證明:存在正整數，使得是等差數列；（ii）當時，求的值（結果可含）.
2021北京房山高三一模數學參考答案一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)（9）（10）答案(A)（C）（B）（C）（D）（B）（B）（A）（C）(D)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11） （12）  （13）    （14）滿足且即可 （15）② ③三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。(16)(Ⅰ)證明：解: （Ⅰ）解法1因為三棱柱為直三棱柱,所以平面.又因為平面,所以.又因為，所以.所以.因為，平面所以平面.因為平面,所以平面平面.                         ……………………………………7分 解法2. 三棱柱為直三棱柱,所以平面.因為平面所以.又因為，所以.所以.以點為坐標原點, 所在直線分別為軸, 軸,軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以設平面的法向量為，則 ,所以 ，令則，.則由（Ⅰ）可知，平面的法向量為,因為,所以平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面的法向量為， 設直線與平面所成角為，則所以,直線與平面所成角的正弦值為        ……………………………………14分 （17）選①解：方法1：（Ⅰ）設邊上高為在中，                                      ……………………………………10分 （Ⅱ）在中，因為所以又因為，，所以……………………………………14分 方法2：（I）在中,(答案與選擇條件①相同）             ……………………10分 （Ⅱ）設邊上高為在中，因為，所以在中,又因為所以……………………………………14分選②解：（Ⅰ）又                                  ……………………………………10分 （Ⅱ）……………………………………14分 選③解：（Ⅰ）方法1：又                                   ……………………………………10分 方法2：       即解得：（Ⅱ）     ……………………………14分 （18）解：（Ⅰ）解：設“該站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績”為事件；運動員甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為： ……………………………1分運動員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為： ……………………………2分其中第2站和第4站甲的成績高于乙的成績                                  ……………………………………4分（Ⅱ）的可能取的值為，則                      ……………………………………5分                                  ……………………………………6分                                        ……………………7分                              ……………………………………8分 所以的分布列為012   ……………………………………9分          ……………………………………10分 （Ⅲ）答案一：推薦乙.                              ……………………………………12分理由是：從2021賽季前5站的成績可以看出：任意1站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績的概率為，乙的成績高于該站運動員甲的成績的概率為.因為，所以乙的成績好于甲的成績的可能性大.                                        ……………………………………14分答案二：推薦乙.                                   ……………………………………12分用“”表示任意1站運動員甲的成績高于乙的成績，用“”表示任意1站運動員甲的成績低于乙的成績，則，  ，用“”表示運動員乙的成績高于甲的成績，用“”表示運動員乙的成績低于甲的成績，則  , 因為, 所以乙的成績好于甲的成績. …………………………………14分答案三：推薦乙.                                        ………………………………12分甲5站的平均成績?yōu)椋?/span>乙5站的平均成績?yōu)椋?/span>甲5站成績方差為：乙5站成績方差為： 所以預測乙的成績會更好.                            ……………………………………14分答案四：推薦甲.                                    ……………………………………12分甲5站的平均成績?yōu)椋?/span>乙5站的平均成績?yōu)椋?/span>甲乙5站的平均成績雖然相同，但是甲成績的極大值為92.80，乙成績的極大值為89.10，甲成績的極大值高于乙成績的極大值，所以甲的成績會比乙的更好.   ……………………………………14分（19）解：（Ⅰ）因為，所以.因為,所以切線方程為，即.     ……………………………………4分 （Ⅱ）設，即，,令，則或.隨變化情況如下表：極小值所以=.所以，.      ……………………………………10分 （Ⅲ）由于，設,，.隨變化情況如下表：極大值極小值由表可知，，因為，，，，所以在，分別有唯一零點.所以在內有兩個零點，在，內無零點，內有唯一零點.所以存在唯一的自然數，使得與的圖象在上有兩個不同公共點.……………………………………15分 （20）解：（Ⅰ）根據題意得:    解得所以橢圓的方程為.        ……………………………………5分（Ⅱ）證法1：因為點M為橢圓上頂點，所以點的坐標為.設直線,由得 .設點,解得 所以..設直線同理可得.又因為 ， 所以.所以.所以.所以直線過定點.                      ……………………………………14分證法2：由題意可知，直線存在斜率設直線的方程為：，則聯立消去得..即,設，，則，所以..因為，所以.所以.所以.所以，即.所以或（舍）.所以直線的方程為：.所以直線過定點.      ……………………………………14分（21）解：解析：(I) ……………………4分(II) i）當的對稱軸，所以當時單調遞增，由于.所以當時,有 ，由于是等差數列，所以存在正整數，使得是等差數列. …………………………9分ii)的對稱軸，由于；.①當時, 此時最大；由于,所以.所以.②當時，，所以.③當時, ,， ，,所以.④當時，，故，.⑤當時,，所以單調遞增，所以.則綜上所述，.…………………………14分 

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