注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由即可求解；
【詳解】由題意可得：，得：，
所以數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故選：B
2. 命題“”的否定為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解；
【詳解】的否定為：，.
故選：D
3. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念可求得，利用函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)可得，由此可計(jì)算的值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，
所以，即，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，即，
所以，解得，
所以.
故選：A.
4. 將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象的函數(shù)解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），
可得：，
再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得：，
故選：C
5. 函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可得答案.
【詳解】因均在0,+∞上單調(diào)遞減，則在 0,+∞上單調(diào)遞減，
又，
，，
，.
注意到，由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為2,3.
故選：C
6. 如圖，摩天輪的半徑為，點(diǎn)距地面的距離為，摩天輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處，則在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，（ ）
A. 轉(zhuǎn)動(dòng)后點(diǎn)距離地面
B. 第和第點(diǎn)距離地面的高度相同.
C. 轉(zhuǎn)速減半時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所需的時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的
D. 轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)距離地面的高度不低于的時(shí)長(zhǎng)為
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)離地面距離的函數(shù)為，由題意求得解析式，然后逐項(xiàng)求解判斷.
【詳解】設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)離地面距離的函數(shù)為：，
由題意得：，又，
即，故，，
所以
所以，
選項(xiàng)A，轉(zhuǎn)到后，點(diǎn)距離地面的高度為，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，因?yàn)?，
，
所以，
即第和第點(diǎn)距離地面的高度相同，故B正確；
選項(xiàng)C，若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所需的時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，故C不正確；
選項(xiàng)D，令，則，
由，解得，
考慮第一圈時(shí)，點(diǎn)距離地面的高度不低于的時(shí)長(zhǎng)，可得
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)距離地面的高度不低于m的時(shí)間為，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
7. 函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得答案.
【詳解】由題.
在一個(gè)周期內(nèi)，所過(guò)5個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)表格為：
據(jù)此可在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出大致圖像如下，由圖可得共8個(gè)交點(diǎn).
故選：A
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】題目條件可變形為，構(gòu)造函數(shù)，分析可知在上為增函數(shù)，把不等式等價(jià)變形為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.
【詳解】∵，
∴，即，
令，則任意的，有，
∴函數(shù)在上為增函數(shù).
∵不等式可變形為，即，
∴，
∴，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是把條件等價(jià)變形為，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、分析函數(shù)的單調(diào)性可解不等式.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列命題正確的是（ ）
A B.
C. D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】AB由指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)正誤；
CD由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】對(duì)于A，由指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得：，故A正確；
對(duì)于B，由指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得：，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由題，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，則.故D正確.
故選：AD
10. 已知函數(shù)（且，），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則的圖象過(guò)定點(diǎn)B. 若，則的最小值為4
C. 若，則D. 若，
【答案】ABD
【解析】
【分析】A由可得的圖象所過(guò)定點(diǎn)；B由題可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合作差法，正切函數(shù)單調(diào)性可判斷選項(xiàng)正誤；
【詳解】對(duì)于A，令，，則的圖象過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；
對(duì)于C，因，則在R上單調(diào)遞增，又，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因，則在R上單調(diào)遞減，
又注意到時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
則，故D正確.
故選：ABD
11. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（ ）
A. 是以2為周期的函數(shù)B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由題及周期函數(shù)定義可完成判斷；對(duì)于B，由題可得4是的一個(gè)周期，為圖象一條對(duì)稱軸，據(jù)此可完成判斷；對(duì)于C，由fx+2=?fx及可得為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，然后由B中所得周期可判斷選線正誤；對(duì)于D，利用賦值法結(jié)合fx+2=?fx，可得，然后由題可得，據(jù)此可完成判斷.
【詳解】對(duì)于A，若是以2為周期的函數(shù)，
則，但由題目條件不能得到只有滿足題意，故A不一定正確；
對(duì)于B，，
則4是的一個(gè)周期，又為奇函數(shù)，
則，
則，故為偶函數(shù)，為圖象一條對(duì)稱軸，
又，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，由為奇函數(shù)，可得為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，
又由B分析，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，因fx+2=?fx，令，則，
得f1+f2+f3+f4=0，則
.
又由為奇函數(shù)，則，令可得
結(jié)合為偶函數(shù)，可得f1=0，故，故D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知扇形的圓心角為2，半徑為，則這個(gè)扇形的面積為_(kāi)_____.
【答案】4
【解析】
【分析】由扇形面積公式即可求解；
【詳解】由面積公式：，
故答案為：4
13. 若則______.
【答案】
【解析】
【分析】代入即可求解.
【詳解】，
故答案為：
14. 已知是偶函數(shù)，則______，若存在，使得，則最大值為_(kāi)_____.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可求解.
【詳解】由于是偶函數(shù)，
故，
根據(jù)可得，
，解得，
由可得，
故，
因此，
由于，故，令，
則單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)和時(shí)，，，
故，
因此，
故的最大值為，
故答案為：12；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知集合，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式可化簡(jiǎn)集合A，然后由交集，并集定義可得答案；
（2）由題可得，據(jù)此可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
時(shí)，，.
則.故，.
【小問(wèn)2詳解】
因“”是“”的充分條件，則.
則.
16. 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由任意角的定義即可求解；
（2）由誘導(dǎo)公式及弦化切即可求解；
【小問(wèn)1詳解】
由，可知：，
由任意角余弦定義可得：，
解得：，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
.
17. 已知函數(shù).
（1）證明：在上是增函數(shù)；
（2）若對(duì)于任意的，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由單調(diào)性的定義即可求證；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性去求解即可；
【小問(wèn)1詳解】
假設(shè)，
則
，
因?yàn)椋?，即，又?br>所以，
所以在上是增函數(shù)，
【小問(wèn)2詳解】
由，所以為奇函數(shù)，
所以，在恒成立，
等價(jià)于，
又在上是增函數(shù)，
所以在恒成立，
則在恒成立，
，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以，即.
18. 已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）直接寫(xiě)出函數(shù)的增區(qū)間及取得最大值時(shí)的集合；
（3）若關(guān)于的方程在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）單增區(qū)間為，取得最大值時(shí)的集合
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)振幅和周期可得，代入最值點(diǎn)即可求，
（2）利用整體法即可求解，
（3）根據(jù)三角恒等變換可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，利用換元以及三角函數(shù)的圖象，進(jìn)一步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可分離常數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象求解.
【小問(wèn)1詳解】
由圖可知周期，故,
此時(shí)，
代入可得,故，解得
由于，故取，，
【小問(wèn)2詳解】
,解得，
故單增區(qū)間為，
由可得,故，解得，
故取得最大值時(shí)的集合
【小問(wèn)3詳解】
由可得，，
即在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，則，
，則，，
令,則,如圖，
要使在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則需要在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
故，
由于時(shí)，無(wú)解，故，則，
令則且，故，
由于在單調(diào)遞減，此時(shí)至多一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意，
故，如圖：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
故
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)或方程有根求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
19. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)任意的，，，恒有，則稱為—函數(shù).
（1）證明：函數(shù)—函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)，（）是否為—函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且不是常函?shù)，若存在非零常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有，證明：不是—函數(shù).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）是—函數(shù)，（）不是—函數(shù)，理由見(jiàn)解析
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)—函數(shù)的定義即可求解，
（2）根據(jù)—函數(shù)的定義即可求解是—函數(shù)，舉反例即可求解（）不是—函數(shù)，
（3）根據(jù)可判定為周期函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)的大小關(guān)系分兩種情況討論，結(jié)合—函數(shù)的定義可得在上是常數(shù)函數(shù)，這與已知矛盾，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
證明如下：對(duì)任意實(shí)數(shù)及，，
有
故，
函數(shù)是—函數(shù)
【小問(wèn)2詳解】
是—函數(shù)，（）不是—函數(shù)，
理由如下：
對(duì)任意實(shí)數(shù)及，，
，
由于，，故，
因此，故，
即，故是—函數(shù)，
對(duì)于（）
取，，，
則不符合，故
（）不是函數(shù)；
【小問(wèn)3詳解】
（3）假設(shè)是—函數(shù)，
由可得，
所以為周期函數(shù)，且周期，
若存在且，使得
（i）若，
記，，，則，且，
那么
，
這與矛盾；
（ii）若，
記，，，同理也可得到矛盾；
∴在上是常數(shù)函數(shù)， 這與不是常函數(shù)矛盾，
所以不是上的函數(shù).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于以函數(shù)為背景的新定義問(wèn)題的求解策略：
1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；
2、用好函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.
3、對(duì)于函數(shù)問(wèn)題，要熟練基本的概念，數(shù)學(xué)閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.
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