一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A. (sinα)′=csα(α為常數(shù))B. (lg2x)′=1xln2
C. (3x)′=3xlg3eD. ( x+1)′=2 x+1
2.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)，且△x→0limf(x0+3△x)?f(x0)2△x=1，則f′(x0)等于( )
A. 23B. ?23C. 1D. ?1
3.已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b，則( )
A. a=e，b=?1B. a=e，b=1
C. a=e?1，b=1D. a=e?1，b=?1
4.函數(shù)f(x)=exx2?3在[2,+∞)上的最小值為( )
A. e36B. e2C. e34D. 2e
5.已知函數(shù)f(x)=sinx+csx?2x，a=f(?π)，b=f(2e)，c=f(ln2)，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. c>b>a
6.已知函數(shù)f(x)=13x3?mx2+mx+9在R上無極值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A. (?∞,0)∪(1,+∞)B. (?∞,0]∪[1,+∞)
C. (0,1)D. [0,1]
7.已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有f′(x)?f(x)=ex(2x?1)，f(0)=4，則不等式f(x)0D. 0≤a≤1
9.設(shè)函數(shù)f(x)=|lnx|,x>0ex(x+1),x≤0，若函數(shù)g(x)=f(x)?b有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( )
A. (1,+∞)B. (?1e2,0)C. (1,+∞)∪{0}D. (0,1]
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
10.函數(shù)f(x)=xln(?x)的單調(diào)遞減區(qū)間是______．
11.若函數(shù)f(x)=13x3?4x+m在[0,3]上的最大值為4，則m= ______．
12.已知函數(shù)f(x)=?12x2?3x+4lnx在(t,t+2)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．
13.已知f(x)=xex，g(x)=?(x+1)2+a，若?x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
14.設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，對任意的x>1，不等式λeλx≥lnx恒成立，則λ的取值范圍為______．
三、解答題：本題共5小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知函數(shù)f(x)=alnx+x2?3b，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為2x+y?4=0．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值：
(2)若曲線C：y=?a12x3?4b，求曲線C過點(diǎn)(2,4)的切線方程．
16.(本小題14分)
已知函數(shù)f(x)=ax?ex(a∈R)，g(x)=lnxx．
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；
(2)若存在x∈(0,+∞)，使不等式f(x)≤g(x)?ex成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
17.(本小題18分)
(1)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1，a∈R，若函數(shù)f(x)在(?23,?13)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(2)已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是單調(diào)函數(shù)，則b的取值范圍．
(3)已知函數(shù)f(x)=(ax2+x)?xlnx在[1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(4)已知f(x)=alnx+12x2(a>0)，若對任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(x1)?f(x2)x1?x2>2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．
18.(本小題15分)
設(shè)函數(shù)f(x)=lnx?(m+1)x，g(x)=m2x2，x>0，m∈R．
(1)討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)若?(x)=f(x)+g(x)，討論函數(shù)y=?(x)的單調(diào)性．
19.(本小題20分)
已知函數(shù)f(x)=ax+x2?xlna(a>0,a≠1)．
(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；
(2)求函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間；
(3)若存在x1，x2∈[?1,1]，使得|f(x1)?f(x2)|≥e?1(e是自然對數(shù)的底數(shù))，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
參考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.A
6.D
7.A
8.D
9.D
10.[?1e,0)
11.4
12.[0,1)
13.[?1e,+∞)
14.[1e,+∞)
15.解：(1)f(x)=alnx+x2?3b的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ax+2x，
由曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為2x+y?4=0，
可得a+2=?2，即a=?4，
又f(1)=1?3b=2，解得b=?13，
即有a=?4，b=?13；
(2)曲線C：y=?a12x3?4b，即y=13x3+43，
導(dǎo)數(shù)y′=x2，
設(shè)曲線與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A(x0,13x03+43)，
則切線的斜率 k=x02，
所以切線方程為y?(13x03+43)=x02(x?x0)，
即 y=x02?x?23x03+43，
因?yàn)辄c(diǎn)P(2,4)在切線上，
所以4=2x02?23x03+43，
即x03?3x02+4=0，
即有x03+x02?4x02+4=0，
所以(x0+1)(x0?2)2=0，
解得x0=?1或x0=2，
故所求的切線方程為4x?y?4=0或x?y+2=0．
16.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x?ex，則f′(x)=1?ex，
當(dāng)x0，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)0)，即a≤lnxx2(x>0)，
問題轉(zhuǎn)化為a≤(lnxx2)max(x>0)，
令?(x)=lnxx2，x>0，
?′(x)=x?2xlnxx4=1?2lnxx3，
所以當(dāng)00，?(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x> e時(shí)，?′(x)0?x∈(? 33, 33)；G′(x)0?x∈(0,e)；G′(x)2恒成立，
則有f′(x)≥2在(0,+∞)上恒成立，
∵f′(x)=ax+x，
∴ax+x≥2?a≥?x2+2x=?(x?1)2+1在(0,+∞)上恒成立，
∴a≥1，即得a∈[1,+∞)．
18.
19.解：(1)∵f(x)=ax+x2?xlna，
∴f′(x)=axlna+2x?lna，
∴f′(0)=0，f(0)=1，
即函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為0，
∴圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=1；
(2)由(1)知，
f′(x)=axlna+2x?lna=2x+(ax?1)lna，
①當(dāng)a>1，y=2x單調(diào)遞增，lna>0，
所以y=(ax?1)lna單調(diào)遞增，
故y=2x+(ax?1)lna單調(diào)遞增，
∴2x+(ax?1)lna>2×0+(a0?1)lna=0，
即f′(x)>f′(0)，所以x>0，
故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；
②當(dāng)00，
故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；
綜上，函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間(0,+∞)；
(3)因?yàn)榇嬖趚1，x2∈[?1,1]，使得|f(x1)?f(x2)|≥e?1，
所以當(dāng)x∈[?1,1]時(shí)，
|f(x1)?f(x2)|=f(x)max?f(x)min?e?1，
由(2)知，
f(x)在[?1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈[?1,1]時(shí)，
f(x)min=f(0)=1，
f(x)max=max{f(?1),f(1)},
而f(1)?f(?1)
=(a+1?lna)?(1a+1+lna)
=a?1a?2lna，
記g(t)=t?1t?2lnt(t>0)，
因?yàn)間′(t)=1+1t2?2t=(1t?1)2≥0(當(dāng)t=1時(shí)取等號)，
所以g(t)=t?1t?2lnt在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增，
而g(1)=0，
所以當(dāng)t>1時(shí)，g(t)>0；
當(dāng)0

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