一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.一個商店銷售某種型號的電視機，其中本地的產(chǎn)品有4種，外地的產(chǎn)品有7種.要買1臺這種型號的電視機，則不同的選法有( )
A. 7種B. 11種C. 14種D. 28種
2.已知某質(zhì)點的位移y(單位：m)與時間x(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x4+3x2，則當x=1時，該質(zhì)點的瞬時速度為( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
3.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，若a1=12，公比q=12，則an的前8項和S8=( )
A. 255256B. 127128C. 255512D. 127256
4.已知函數(shù)fx=e?2x+3，則f′2=( )
A. 2eB. eC. ?1eD. ?2e
5.中國體育代表團在2024年巴黎奧運會獲得40金27銀24銅共91枚獎牌，金牌數(shù)與美國隊并列排名第一?創(chuàng)造了參加境外奧運會的最佳戰(zhàn)績.巴黎奧運會中國內(nèi)地奧運健兒代表團于8月29日至9月2日訪問香港?澳門.訪問期間，甲?乙?丙3名代表團團員與4名青少年站成一排拍照留念，若甲?乙?丙互不相鄰，則不同的排法有( )
A. 2880種B. 1440種C. 720種D. 360種
6.已知函數(shù)fx=x3?mx+6lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A. ?∞,9B. 9,+∞C. ?∞,9D. 9,+∞
7.已知a，b，c成等比數(shù)列，且a+b=?6，b+c=18，等差數(shù)列bn滿足b3=b，b9=a，則當數(shù)列bnbn+1bn+2的前n項和取最小值時，n的值為( )
A. 5B. 7C. 6或7D. 5或7
8.已知點Ax1,a，Bx2,aa>0分別是函數(shù)fx=xex與gx=?lnxx圖象上的點，則x1x2ea的最大值為( )
A. 1 eB. 12 eC. 1eD. 12e
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設(shè)函數(shù)fx的導函數(shù)為f′x，已知函數(shù)f′x的圖象如圖所示，則fx的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
10.給出定義：若函數(shù)fx在D上可導，即f′x存在，且導函數(shù)f′x在D上也可導，則稱fx在D上存在二階導函數(shù)，記f′′x=f′x′.若f′′x≥0在D上恒成立，則稱fx在D上是“下凸函數(shù)”.下列函數(shù)中在定義域上是“下凸函數(shù)”的是( )
A. fx=x2?4x+3B. gx=lg12x
C. ?x=x2+2csxD. φx=x2lnx
11.已知數(shù)列an滿足a1=3, an+1=2n+32n+1ann∈N?，數(shù)列bn滿足b1=1, bn+1=2bn+1n∈N?，設(shè)an中不在bn中的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列cn，記cn的前n項和為Tn，則( )
A. an=2n+1B. bn?1是等比數(shù)列
C. c100=213D. T100=11201
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.一個火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，共有 種不同的停放方法.(用數(shù)字作答)
13.已知fx為偶函數(shù)，曲線y=fx在點2,f2處的切線與直線4x?y?3=0垂直，設(shè)fx的導函數(shù)為f′x，則f′?2= ．
14.近年來，隨著新能源汽車的推廣和智能化趨勢的不斷演進，尤其在新的電子電氣架構(gòu)下，汽車芯片迎來巨大的市場需求.為了滿足日益增長的市場需求，某芯片生產(chǎn)公司于2022年初購買了一套芯片制造設(shè)備，該設(shè)備第1年的維修費用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費用較上一年增加4萬元，從第7年開始每年維修費用較上一年上漲25%.設(shè)an為第n年的維修費用，An為前n年的平均維修費用，若An0,b3?b12=12b5?b1，求證：1a1a2+1a2a3+?+1anan+1=1a1?1an+1．
18.(本小題17分)
已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右頂點分別為A, B，且AB=4 2，橢圓E的焦距為4．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)已知點M, N(M, N不在x軸上)是橢圓E上不同的兩點．
①求直線AM, BM的斜率之積；
②若直線AN的斜率是直線BM的斜率的3倍，試判斷直線MN是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．
19.(本小題17分)
若對?x1,x2∈D且x10，則稱函數(shù)fx是函數(shù)gx在區(qū)間D上的m級控制函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)fx=2x是否是函數(shù)gx=x2在區(qū)間?1,1上的1級控制函數(shù)，并說明理由；
(2)若函數(shù)fx=ex是函數(shù)gx=x在區(qū)間0,3上的m級控制函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)若函數(shù)fx是函數(shù)gx=lnx?x在區(qū)間0,+∞上的m級控制函數(shù)，且函數(shù)fx在區(qū)間0,+∞上存在兩個零點a,b，求證a+b>2．
參考答案
1.B
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
7.D
8.C
9.AC
10.ABC
11.AC
12.1680
13.14/0.25
14.2030
15.解：(1)由題意得函數(shù)fx=ax3+bx2?4x+6，
則f′x=3ax2+2bx?4，由題意得f′1=3a+2b?4=0f1=a+b+2=3，解得a=2,b=?1,
當a=2b=?1時，f′x=6x2?2x?4，令f′x=0，解得x1=?23,x2=1．
則當x∈?∞,?23時，f′x>0,fx單調(diào)遞增；
當x∈?23,1時，f′x0,fx單調(diào)遞增，
則x=1是極小值點，符合題意，故fx=2x3?x2?4x+6．
(2)由(1)知fx=2x3?x2?4x+6,x∈?1,2，
則當x∈?1,?23時，fx單調(diào)遞增；當x∈?23,1時，fx單調(diào)遞減；
當x∈1,2時，fx單調(diào)遞增，則當x=1時，函數(shù)fx取得極小值f1=3，
當x=?23時，函數(shù)fx取得極大值f?23=20627，
而f?1=7,f2=10，故fx在?1,2上的值域為3,10．

16.解：(1)證明：因為四邊形ABCD為正方形，M為CD的中點，AM= 5，所以AD=2．
在?PAD中，由余弦定理得PA= AD2+PD2?2AD?PDcs∠PDA=2 3，
因為PA2+AD2=PD2=16，所以∠PAD=90°，即PA⊥AD．
因為AB=AD,PB=PD,PA=PA，所以?PAB≌?PAD，所以PA⊥AB．
又因為AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD．
又因為PA?平面PAM，所以平面PAM⊥平面ABCD．
(2)由(1)得PA=2 3,AB=AD=2,AB,AD,AP兩兩垂直，以A為原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A0,0,0,C2,2,0,M1,2,0,N23,0,4 33,D0,2,0，
于是AM=1,2,0,CD=?2,0,0,AN=23,0,4 33．
設(shè)平面AMN的法向量為n=x,y,z，
則AM?n=0AN?n=0，即x+2y=023x+4 33z=0,
令x=?2，可得n=?2,1, 33．
設(shè)直線CD與平面AMN所成的角為θ，
則sinθ=csCD,n=CD?nCDn=42×4 3= 32，
解得θ=π3，
故直線CD與平面AMN所成的角為π3．
17.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，
則bn=an?Snn=an?a1+ann2n=an?a12=n?12d，
所以bn+1?bn=n2d?n?12d=12d，
所以數(shù)列bn是公差為12d的等差數(shù)列．
(2)由(1)知數(shù)列bn是公差為12d的等差數(shù)列，
因為b3?b12=12b5?b1，即d2=12×2d，
因為d≠0，所以d=1，
所以an=a1+n?1>0，
所以1a1a2+1a2a3+?+1anan+1=da1a2+da2a3+?+danan+1
=a2?a1a1a2+a3?a2a2a3+?+an+1?ananan+1
=1a1?1a2+1a2?1a3+?+1an?1an+1
=1a1?1an+1.得證．
18.解：(1)由AB=4 2，得2a=4 2，解得a=2 2，
設(shè)橢圓E的焦距為2c，由焦距為4，得2c=4，解得c=2，
又b= a2?c2=2，所以橢圓E的標準方程為x28+y24=1；
(2)①由題意，得A?2 2,0,B2 2,0，
設(shè)Mx1,y1，由Mx1,y1在橢圓E上，得x128+y124=1，即y12=4?x122，
所以kAM?kBM=y1x1+2 2?y1x1?2 2=y12x12?8=4?x122x12?8=?12，
即直線AM, BM的斜率之積為?12．
②設(shè)Nx2,y2，
若直線MN的斜率為0，則M, N關(guān)于y軸對稱，所以kAN+kBM=0，
又直線AN的斜率是直線BM的斜率的3倍，所以kAN=3kBM，即kAN=kBM=0，
由M, N不在x軸上，得kAN≠0, kBM≠0，與kAN=kBM=0矛盾，
所以直線MN的斜率不為0．
設(shè)直線MN的方程為x=my+nn≠±2 2，
由x28+y24=1x=my+n，得m2+2y2+2mny+n2?8=0，
所以Δ=4m2n2?4m2+2n2?8=84m2+8?n2>0，
且y1+y2=?2mnm2+2, y1y2=n2?8m2+2，
由①知kAM?kBM=?12，又kAN=3kBM，所以kAM?kAN=kAM?3kBM=?32，
所以y1y2x1+2 2x2+2 2=?32，即y1y2my1+n+2 2my2+n+2 2=?32，
化簡，得y1y2m2y1y2+mn+2 2y1+y2+n+2 22=?32，
將y1+y2=?2mnm2+2, y1y2=n2?8m2+2代入上式并化簡，得
n2?8m2n2?8?2m2n2?4 2m2n+n+2 22m2+2=?32
即n2+3 2n+4=0，解得n=?2 2或n=? 2，
當n=?2 2時，與n≠±2 2矛盾，舍去，
當n=? 2時，滿足Δ=84m2+8?n2=84m2+6>0
所以直線MN:x=my? 2恒過點? 2,0．
19.解：(1)函數(shù)fx=2x是函數(shù)gx=x2在區(qū)間?1,1上的1級控制數(shù)．
理由如下：因為x12，即證lnba?2?ba?1ba+1>0，
令x=ba>1，構(gòu)造φx=lnx?2?x?1x+1，
所以φ′x=1x?4x+12=x?12xx+12>0，
所以φx在1,+∞上單調(diào)遞增，
所以φx>φ1=0，即x=ba>1時，lnx?2?x?1x+1>0，
即lnba?2?ba?1ba+1>0成立，所以a+b>2得證．

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