考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章，第二章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. ?D.
2. 的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，則下列不等式正確是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（ ）
A. 每一個(gè)命題都能判斷真假
B. 存在一條直線與兩條相交直線都平行
C. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，若，則
D. 存在，使
5. 若集合，，則的子集有（ ）
A. 15個(gè)B. 16個(gè)C. 7個(gè)D. 8個(gè)
6. 某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有95%的學(xué)生喜歡籃球或羽毛球，60%的學(xué)生喜歡籃球，82%的學(xué)生喜歡羽毛球，則該中學(xué)既喜歡籃球又喜歡羽毛球的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（ ）
A. 63%B. 47%C. 55%D. 42%
7. 對(duì)于任意的，定義運(yùn)算.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則（ ）
A B.
C. D.
8. 若正數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A. 2B. C. 4D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知全集，集合M、N的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 的最小值為2
D. 的最小值為2
11. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）

A. B. C. D.
12. 已知全集是的子集，當(dāng)時(shí)，且，則稱為A的一個(gè)“孤立元素”，則下列說法正確的是（ ）
A. 若A中元素均為孤立元素，則A中最多有3個(gè)元素
B. 若A中不含孤立元素，則A中最少有2個(gè)元素
C. 若A中元素均為孤立元素，且僅有2個(gè)元素，則這樣的集合A共有9個(gè)
D. 若A中不含孤立元素，且僅有4個(gè)元素，則這樣集合A共有6個(gè)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 命題否定為__________.
14. 如圖，坐標(biāo)系中矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為__________.

15. 若，則__________.
16. 若對(duì)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合.
（1）求
（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18. 已知，求證：的充要條件是．
19. 已知.
（1）若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，
（2）若和中至多有一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20. （1）設(shè)為正數(shù)，求證：；
（2）解關(guān)于的不等式.
21. 為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個(gè)三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設(shè).
（1）當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙（矩形）的周長(zhǎng)；
（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？
22 若實(shí)數(shù)滿足，則稱比遠(yuǎn)離．
（1）若比1遠(yuǎn)離，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，試問：與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離2？并說明理由．
2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)
檢測(cè)試卷
考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章，第二章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. ?D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷.
【詳解】解：選項(xiàng)A：因?yàn)槭羌现械脑?，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)橹泻性?，1，而且還有其他元素，所以?，所以選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)槭菬o理數(shù)，而是有理數(shù)集，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：C
2. 的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)集合的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【詳解】的一個(gè)必要不充分條件對(duì)應(yīng)集合設(shè)為,則?，
則滿足條件，
故選：C．
3. 若，則下列不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】結(jié)合得，即可逐個(gè)判斷.
【詳解】由知單調(diào)遞減，又，則，B錯(cuò)誤；
則，A錯(cuò)誤；
，C錯(cuò)誤；
由二次函數(shù)知，單調(diào)遞減，則，D正確.
故選：D
4. 下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（ ）
A. 每一個(gè)命題都能判斷真假
B. 存在一條直線與兩條相交直線都平行
C. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，若，則
D. 存在，使
【正確答案】A
【分析】根據(jù)全稱量詞命題以及存在量詞命題的概念以及命題的真假判斷，一一判斷各命題，即得答案.
【詳解】對(duì)于A，“每一個(gè)命題都能判斷真假”是全稱量詞命題，命題都能判斷真假，
A是真命題，符合題意；
對(duì)于B，“存在一條直線與兩條相交直線都平行”是存在量詞命題，不符合題意；
對(duì)于C，該命題是全稱量詞命題，當(dāng)時(shí)，，C中命題是假命題，不符合題意；
對(duì)于D，該命題是存在量詞命題，不符合題意，
故選：A.
5. 若集合，，則的子集有（ ）
A. 15個(gè)B. 16個(gè)C. 7個(gè)D. 8個(gè)
【正確答案】B
【分析】利用交集的運(yùn)算法則以及集合子集的計(jì)算公式求解.
【詳解】因?yàn)?，或?br>所以或，
它有個(gè)子集.
故選：B.
6. 某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有95%的學(xué)生喜歡籃球或羽毛球，60%的學(xué)生喜歡籃球，82%的學(xué)生喜歡羽毛球，則該中學(xué)既喜歡籃球又喜歡羽毛球的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（ ）
A. 63%B. 47%C. 55%D. 42%
【正確答案】B
【分析】設(shè)只喜歡籃球的百分比為，只喜歡羽毛球的百分比為，兩個(gè)項(xiàng)目都喜歡的百分比為，畫出圖形，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)只喜歡籃球的百分比為，只喜歡羽毛球的百分比為，兩個(gè)項(xiàng)目都喜歡的百分比為，
由題意，可得，，，解得．
該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是．
故選：B．
7. 對(duì)于任意的，定義運(yùn)算.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)運(yùn)算法則得到恒成立，由根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】由已知得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，
所以，解得.
故選：C.
8. 若正數(shù)滿足，則最小值是（ ）
A 2B. C. 4D.
【正確答案】C
【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知全集，集合M、N關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)集合的的運(yùn)算與韋恩圖即可求解.
【詳解】由圖可知，,A錯(cuò)誤；
，B正確；
，C錯(cuò)誤；
,D正確，
故選:BD.
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 的最小值為2
D. 的最小值為2
【正確答案】AB
【分析】利用基本不等式逐一判斷即可.
【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故本選項(xiàng)正確；
B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故本選項(xiàng)正確；
C：當(dāng)時(shí)，顯然不成立，因此本選項(xiàng)不正確；
D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)無實(shí)數(shù)解，故取不到等號(hào)，所以本選項(xiàng)不正確，
故選：AB
11. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）

A. B. C. D.
【正確答案】BCD
【分析】由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷．
【詳解】由題意得，對(duì)稱軸，則，
當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；
設(shè)一元二次方程的兩根分別為，由圖象可知，整理可得，故D正確．
故選：BCD
12. 已知全集是的子集，當(dāng)時(shí)，且，則稱為A的一個(gè)“孤立元素”，則下列說法正確的是（ ）
A. 若A中元素均為孤立元素，則A中最多有3個(gè)元素
B. 若A中不含孤立元素，則A中最少有2個(gè)元素
C. 若A中元素均為孤立元素，且僅有2個(gè)元素，則這樣的集合A共有9個(gè)
D. 若A中不含孤立元素，且僅有4個(gè)元素，則這樣的集合A共有6個(gè)
【正確答案】ABD
【分析】由定義可得“孤立元素不相鄰”可判斷A項(xiàng)，結(jié)合逆否命題可判斷B項(xiàng)，對(duì)于C項(xiàng)、D項(xiàng)分別依次列舉即可.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意，孤立元素不相鄰，集合中最多同時(shí)找出3個(gè)孤立元素，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，若A中只有1個(gè)元素，則必為孤立元素，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，易知這樣的集合A有，，，， ，，，，，共10個(gè)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，不含“孤立元素”且包含有4個(gè)元素的集合有，共6個(gè)，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 命題的否定為__________.
【正確答案】
【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞求解即可.
【詳解】命題的否定為.
故答案為.
14. 如圖，坐標(biāo)系中矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為__________.

【正確答案】
【分析】根據(jù)陰影部分點(diǎn)構(gòu)成的集合求解即可.
【詳解】易知陰影部分的點(diǎn)構(gòu)成的集合為.
故答案為.
15. 若，則__________.
【正確答案】
【分析】依題意可得①或②，再求出參數(shù)的值，從而得解，需代入檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性.
【詳解】因?yàn)?，所以①或②?br>由①得或，其中與元素互異性矛盾，舍去，故符合題意，此時(shí)；
由②得符合題意，此時(shí)；
綜上，的值為.
故
16. 若對(duì)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【正確答案】
【分析】由關(guān)于的一元二次不等式恒成立得，參變分離后再由基本不等式求解最值．
【詳解】由，得．
由題意可得，使得成立，
即，使得成立．
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故．
故答案為.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合.
（1）求
（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合A，然后根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求出，最后再求.
（2）由題意可知或，解不等式即可.
【小問1詳解】
解：，，
則.
【小問2詳解】
集合，，
.
若，則，即；
若則解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 已知，求證：的充要條件是．
【正確答案】證明見解析
【分析】由不等式的性質(zhì)及充要條件的含義證明．
【詳解】證明：充分性（條件結(jié)論）
因?yàn)?，所以?br>又，所以，
所以充分性成立；
必要性（結(jié)論條件）
因?yàn)椋?br>而，所以，
所以，所以必要性成立．
綜上，的充要條件是．
19. 已知.
（1）若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，
（2）若和中至多有一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)存在性問題分析求解；
（2）取反面：當(dāng)和均成立時(shí)，求參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而可得結(jié)果.
【小問1詳解】
若成立，
因?yàn)闀r(shí)，，可得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
和中至多有一個(gè)成立，考慮其反面：和均成立，
若成立，
因?yàn)闀r(shí)，，可得；
若成立時(shí)，，解得或；
若均成立時(shí)，可得，
所以至多有一個(gè)成立時(shí)，則.
綜上上述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20. （1）設(shè)為正數(shù)，求證：；
（2）解關(guān)于的不等式.
【正確答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析
【分析】（1）由基本不等式得，，，三式相加即可得證；
（2），即，再?gòu)姆诸愑懻?，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)檎龜?shù)，
由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
以上三式相加有，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
（2）解：，
即，
即，
①當(dāng)時(shí)，的解集為，
②當(dāng)時(shí)，，
等價(jià)于，即；
③當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，
即或，
綜上可得：時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
21. 為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個(gè)三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設(shè).
（1）當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙（矩形）的周長(zhǎng)；
（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？
【正確答案】（1）900cm
（2）選擇長(zhǎng)、寬分別為350cm，140cm的海報(bào)紙，可使用紙量最少
【分析】（1）根據(jù)宣傳欄的面積以及可計(jì)算出直角三角形的高，再根據(jù)留空寬度即可求得矩形的周長(zhǎng)；
（2）根據(jù)陰影部分面積為定值，表示出矩形面積的表達(dá)式利用基本不等式即可求得面積的最小值，驗(yàn)證等號(hào)成立的條件即可得出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)和寬.
【小問1詳解】
設(shè)陰影部分直角三角形的高為cm，
所以陰影部分的面積，所以，
又，故，
由圖可知cm，cm.
海報(bào)紙的周長(zhǎng)為cm.
故海報(bào)紙的周長(zhǎng)為900 cm.
【小問2詳解】
由（1）知，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即cm，cm時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，cm，cm.
故選擇矩形的長(zhǎng)、寬分別為350 cm，140 cm的海報(bào)紙，可使用紙量最少.
22. 若實(shí)數(shù)滿足，則稱比遠(yuǎn)離．
（1）若比1遠(yuǎn)離，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，試問：與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離2？并說明理由．
【正確答案】（1）
（2）比遠(yuǎn)離2，理由見解析
【分析】（1）由題意平方后解不等式，
（2）由基本不等式求取值范圍后判斷．
【小問1詳解】
由題意，，
即，
兩邊平方，得，解得．
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，或時(shí)等號(hào)成立，所以．
此時(shí)比遠(yuǎn)離2；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，或時(shí)等號(hào)成立，所以．
此時(shí)比遠(yuǎn)離2．
綜上，比遠(yuǎn)離2.

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這是一份2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（含解析），共18頁。試卷主要包含了單選題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

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