一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．( )
A.B.C.D.
3．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則( )
A.B.9C.D.
4．已知命題,,命題,,則( )
A.p和q均為真命題B.p和均為真命題
C.和q均為真命題D.和均為真命題
5．設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.B.C.D.
6．已知某種蔬菜的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系（k,b為常數(shù),e為自然對數(shù)底數(shù)）,若該品種蔬菜在時的保鮮時間為小時,在時的保鮮時間為24小時,則在時,該品種蔬菜的保鮮時間大約為( )
A.小時B.小時C.小時D.小時
7．當(dāng),函數(shù)的零點個數(shù)為( )
A.3B.4C.5D.6
8．已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,則不等式的解集為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知關(guān)于x的不等式的解集為,則( )
A.B.
C.D.
10．已知,,則下列等式正確的是( )
A.B.
C.D.
11．已知函數(shù),則( )
A.當(dāng)時,為偶函數(shù)B.既有最大值又有最小值
C.在上單調(diào)遞增D.的圖象恒過定點
三、填空題
12．已知扇形的圓心角為,其弧長是,則該扇形的面積是_____________.
13．已知,,則_______________.（用a,b表示）
14．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則__________________.
四、解答題
15．已知全集,集合,.
(1)若,求;
(2)若“”是“”的充分不必要條件,求a的取值范圍.
16．設(shè)函數(shù).
(1)求的最小正周期,圖象的對稱中心;
(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間.
17．為宣傳村鎮(zhèn)特點,助力鄉(xiāng)村振興,設(shè)計專業(yè)的大學(xué)生小王應(yīng)某村委會要求,設(shè)計一個長為y米,寬為x米的矩形廣告牌,使得該廣告牌的面積等于一個長為米,寬為1米的矩形的面積.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù);
(2)若村委會要求廣告牌的面積最小,小王應(yīng)如何設(shè)計該廣告牌？
18．已知函數(shù).
(1)若,求的值;
(2)判斷在上的單調(diào)性并利用定義法證明;
(3)求在上的最大值.
19．現(xiàn)定義了一種新運算“”：對于任意實數(shù)x,y,都有（且）.
(1)當(dāng)時,計算;
(2)證明：,y,,都有;
(3)設(shè),若在區(qū)間上的值域為,求實數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：由,,得.
故選：C.
2．答案：A
解析：.
故選：A.
3．答案：D
解析：設(shè),因為冪函數(shù)的圖象過,則有,所以,即,所以.
故選：D.
4．答案：B
解析：因為當(dāng)時,成立,故命題p為真命題,為假命題;
當(dāng)時,,故命題,為假命題,為真命題.
故選：B.
5．答案：B
解析：因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增,且,所以,即,
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,所以,即;
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以,即;
所以.
故選:B.
6．答案：C
解析：由題意得：,
兩式相除得,
則.
即該品種蔬菜的保鮮時間大約為小時.
故選：C.
7．答案：B
解析：由,得,
作出,,的圖象,
由圖可知,兩函數(shù)的圖象的交點有4個,
則曲線在上的零點個數(shù)為4.
故選：B.
8．答案：D
解析：依題意,得在上為增函數(shù),且為偶函數(shù),
所以,即,
所以,兩邊平方得,解得.
故選：D.
9．答案：BCD
解析：因為不等式的解集為,
所以,,4是方程的兩根,
所以,,則,A錯誤;
,則,D正確;
因為,所以,B正確;
因為,所以,,兩式相加得,
即,C正確.
故選：BCD.
10．答案：ABD
解析：因為,則.
對于A,,可得,A正確;
對于B,由A可知,,則,
所以,則,B正確;
對于C,,可得則,C錯誤;
對于D,,D正確.
故選：ABD.
11．答案：ACD
解析：當(dāng)時,,定義域為R,因為,所以為偶函數(shù),A正確;
因為,所以,則有最大值,沒有最小值,B錯誤;
因為在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又在R上單調(diào)遞增,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,C正確;
當(dāng)時,,所以的圖象恒過定點,D正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：設(shè)扇形的半徑為R,則,所以,
所以扇形面積為.
故答案為：.
13．答案：
解析：因為,所以,
又,所以
.
故答案為：.
14．答案：
解析：因為函數(shù)為R上的奇函數(shù),所以,
故,
函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).
當(dāng)時,,
則
.
故答案為：
15．答案：(1).
(2).
解析：(1)由題意知,
,
若,則,
所以,
所以.
(2)由(1)得,,
因為“”是“”的充分不必要條件,所以B為A的真子集,
所以且等號不同時成立,
解得,
即a的取值范圍是.
16．答案：(1);.
(2),.
解析：(1)的最小正周期為;
令,,解得,,
故的圖象的對稱中心為.
(2)令,,
解得,,
故的單調(diào)遞減區(qū)間為,.
17．答案：(1)
(2)小王設(shè)計的廣告牌是長為10米,寬為米的矩形,滿足村委會要求
解析：(1)由題意可知,,
所以,又,所以,
所以.
(2)法一：由,得,
解得,或（舍去）,所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時,取得等號.
故小王設(shè)計的廣告牌是長為10米,寬為米的矩形,滿足村委會要求.
法二：,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,
此時,
故小王設(shè)計的廣告牌是長為10米,寬為米的矩形,滿足村委會要求.
18．答案：(1)
(2)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明見解析
(3).
解析：(1)因為,所以,即,
因為,所以.
(2)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明如下：
任取,,且,
則,
因為,,且,所以,,
當(dāng)時,,所以,即,
當(dāng)時,,所以,即,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(3)當(dāng)時,由(2)知在上單調(diào)遞減,所以;
當(dāng)時,由(2)知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
因為,所以若,則,
若,則.
綜上,.
19．答案：(1)5
(2)證明見解析
(3).
解析：(1)當(dāng)時,.
(2)證明：因為,
,
所以.
(3)由新運算可知,
.
令,則在上單調(diào)遞減,
由于在上的值域為,所以,則,
所以在上單調(diào)遞增,則,即,
整理得,,所以,
將代入,得,
同理得,.
所以s,t是函數(shù)在上的兩個不同的零點,
則,解得,
所以,
故實數(shù)a的取值范圍為.

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