班級(jí)_____姓名_____
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名及考號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域及二次函數(shù)值域化簡，再由交集運(yùn)算即可求解；
【詳解】根據(jù)題意，由，得，
所以集合，
易知，
，
故選：B.
2. 若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等求出，再利用復(fù)數(shù)乘法求解.
【詳解】設(shè)，則，因此，
則，，即，所以.
故選：A
3. 已知向量，滿足，，，則向量與的夾角為（ ）
A. 30°B. C. D. 135°
【答案】C
【解析】
【分析】由平方，結(jié)合，求得及，即可求解；
【詳解】由已知得，即，
即
又，
兩式聯(lián)立可得：，則向量與的夾角為
故選：C.
4. 高相同的圓柱與圓臺(tái)的體積分別為，，且圓柱的底面積是圓臺(tái)上、下底面積的等差中項(xiàng)，則與的關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 不確定
【答案】A
【解析】
【分析】利用圓臺(tái)體積公式，結(jié)合等差中項(xiàng)，可通過基本不等式轉(zhuǎn)化到圓柱的體積即可得到判斷.
【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面積分別為，，圓柱的底面積為，高為，
根據(jù)圓柱的底面積是圓臺(tái)上、下底面積的等差中項(xiàng)，
，，
，
故選：A.
5. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦的和差角公式化簡等式得到，再由正切的和差角公式求得.
【詳解】由已知，
即
則，
∴，
故選：C.
6. 已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得出，再由函數(shù)的單調(diào)性可得出，結(jié)合參變量分離法可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與均是增函數(shù)，
所以，函數(shù)是上的增函數(shù)只需滿足，即，解得，
由得，即恒成立，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，，即，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
7. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且圓內(nèi)恰好包含的三個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的對(duì)稱軸，由函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到周期的范圍，從而得到的值得到函數(shù)解析式，由圖像得到距離最大和距離最小的點(diǎn)，則可以求出半徑的范圍.
【詳解】由已知在處取得最小值，
，，解得，
∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，即，，
當(dāng)時(shí)，，，符合條件，
.
由圖像知軸右側(cè)包含兩個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，左側(cè)包含一個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，
的取值范圍是大于原點(diǎn)右側(cè)第二個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，小于等于原點(diǎn)左側(cè)第二個(gè)極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，
故選：B.
8. 已知函數(shù)，則是（ ）
A. 偶函數(shù)，有最小值B. 偶函數(shù)，有最大值
C. 奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增D. 奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷為偶函數(shù)，換元法令結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得有最大值.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，
，
，故函數(shù)為偶函數(shù).
令，則，
，
所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，
處取得最大值，
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡和換元法化簡.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 若，則的最小值為4
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)單調(diào)性比較大小，利用基本不等式比較大小即可.
【詳解】對(duì)于A，，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，，即，故A正確；
對(duì)于B，，
等號(hào)成立條件，由于，顯然等式不成立，故最大值比0小，
所以最小值不可能為4，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由已知，，，即，故C正確；
對(duì)于D，，由冪函數(shù)單調(diào)遞增，，即，故D正確，
故選:ACD.
10. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若在上單調(diào)遞減，則的最大值為1
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 存在直線，使得與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，求導(dǎo)確定單調(diào)性即可判斷；對(duì)于BC，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，確定單調(diào)性可判斷；對(duì)于D，畫出得圖象，由圖象可判斷.
【詳解】解：，由，解得，的最大值為，故A不正確；
當(dāng)時(shí)，，即.
設(shè)，則，
在處取得最小值，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，即.
由B選項(xiàng)的過程知，在時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，，故C正確；
畫出的圖象如圖，
可知存在直線，使得與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確，
故選：BCD.
11. 已知常見“對(duì)勾函數(shù)”的圖象也是雙曲線，其漸近線分別為與軸，其實(shí)軸和虛軸是兩條漸近線的角平分線.設(shè)雙曲線的一條漸近線與雙曲線的實(shí)軸夾角為，其離心率為，雙曲線的實(shí)軸長為，離心率為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率公式即可判斷A；求出即可判斷C；求出雙曲線的對(duì)稱軸方程，再與其聯(lián)立，即可判斷BD.
【詳解】如圖1，當(dāng)雙曲線為焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，
過雙曲線的右頂點(diǎn)作軸的垂線交漸近線于點(diǎn)，
則，，故A正確；
由題意知，雙曲線中，漸近線即，其斜率為，
如圖2，它與軸夾角的正切值，
解得或（舍），，
由A選項(xiàng)可知，，故C正確；
頂點(diǎn)是對(duì)稱軸（實(shí)軸）和雙曲線的交點(diǎn)，
，∴對(duì)稱軸為，與雙曲線在第一象限交于，
，故B不正確，D正確.
圖1 圖2
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解“對(duì)勾函數(shù)”的圖象的特征是解決本題的關(guān)鍵.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則_____.
【答案】2
【解析】
【分析】由拋物線得定義得到，求解即可；
【詳解】由拋物線的定義得，解得或（舍），故.
故答案為：2
13. 已知數(shù)列中，，，，則的前項(xiàng)和_____.
【答案】
【解析】
【分析】由，得，得到等差數(shù)列，進(jìn)而可求解；
【詳解】由，得，
是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
，
，
，為等差數(shù)列，
.
故答案為：
14. 已知集合，是集合的含兩個(gè)元素的子集，且，則中兩元素之差的絕對(duì)值等于中兩元素之差的絕對(duì)值的概率為_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，中兩元素之差的絕對(duì)值相等時(shí)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】當(dāng)，中兩元素之差絕對(duì)值均為1時(shí)，的個(gè)數(shù)為；
當(dāng)，中兩元素之差的絕對(duì)值均為2時(shí)，的個(gè)數(shù)為；
當(dāng)，中兩元素之差的絕對(duì)值均為3時(shí)，的個(gè)數(shù)為；
當(dāng)，中兩元素之差的絕對(duì)值均為4時(shí)，的個(gè)數(shù)為；
故滿足條件的共有（個(gè)）；
故其概率為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是分，中兩元素之差的絕對(duì)值均為、、、時(shí)的個(gè)數(shù).
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，是的中點(diǎn)，且.
（1）求四棱柱的外接球的表面積；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由四棱柱的外接球直徑就是其體對(duì)角線，即可求解；
（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，，
底面是正方形，且該四棱柱是直四棱柱，平面，
又平面，，
，，都在平面內(nèi)，平面，
又平面，，
，，即，
.
四棱柱的外接球直徑就是其體對(duì)角線，
外接球半徑，
故四棱柱的外接球的表面積.
【小問2詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，.
設(shè)平面的法向量為，則
令，得：，，
而平面就是平面，其一個(gè)法向量是，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
平面與平面夾角的余弦值為.
16. 已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)在橢圓上，過向直線引垂線交于點(diǎn)，若，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由，確定坐標(biāo)，代入橢圓方程，進(jìn)而求解；
（2）設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程，求得，.再由得到，進(jìn)而可求解；
【小問1詳解】
設(shè)，，.
，
設(shè)，則，解得：，
，
代入橢圓的方程，得，整理得，又，
，，
故橢圓的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，易知直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，，
代入橢圓方程中，整理得，
，.
，且，
即，
又，易知：，
，，
解得，
直線的方程為或.
17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，D為邊上一點(diǎn).
（1）若，，求的值；
（2）若，是角的平分線，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，可得，，在中應(yīng)用正弦定理即可求解；
（2）由余弦定理可得，根據(jù)，結(jié)合面積公式即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)，所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，
即，
解得，即；
【小問2詳解】
由余弦定理得，即，
由，得，
又因?yàn)椋裕?br>所以，解得或（舍），
故.
18. 已知，曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處的切線相互垂直.
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：.
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先計(jì)算交點(diǎn)得出，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出斜率結(jié)合斜率乘積計(jì)算求解；
（2）應(yīng)用分析法結(jié)合基本不等式得出，再化簡證明，最后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明即可.
【小問1詳解】
交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，，即，
又，將代入，
得，，
由，得，
，若，則為無理數(shù)，，
則，.
小問2詳解】
由（1）知，
，
要證成立，
可試證在時(shí)成立，
即證上成立.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
在處取得最大值，即在上恒成立，
原不等式成立
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而得出最值即可證明.
19. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，求證：為常數(shù)；
（3）在數(shù)列中，，，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用分式型函數(shù)的對(duì)稱中心及平移計(jì)算求解；
（2）應(yīng)用解析式計(jì)算求解證明即可；
（3）先根據(jù)已知證明數(shù)列是等比數(shù)列，再計(jì)算分項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)和偶數(shù)分別應(yīng)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算證明.
【小問1詳解】
，
其圖象是由的圖象平移而得到的，對(duì)稱中心為，
函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.
【小問2詳解】
由已知，，
，
（常數(shù)），結(jié)論成立.
【小問3詳解】
由已知，
設(shè)，解得，，
由（2）知，則，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，即.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
；
當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，，
，
，
.
當(dāng)時(shí)，也成立，綜上所述，結(jié)論成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是分奇偶兩種情況應(yīng)用裂項(xiàng)相消計(jì)算證明即可.

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