一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1. 已知集合，若，則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】因為，則，
且，則，解得，
此時，滿足，
所以符合題意.
故選：A.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由可得，又由，可得，
又由不一定可得，
反例：當(dāng)時，成立，但，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
3. 已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量在向量上的投影向量.
故選：B.
4. 已知是等差數(shù)列，與是方程的兩根，則的前項和為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
又由根與系數(shù)的關(guān)系得
∴，
故選：C.
5. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知得，即，即，即.
故選：A.
6. 已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)的值域分別為，
當(dāng)時，則，可得；
因為的值域為，可知，
則，且，可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
7. 如圖所示，圓錐的內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則該圓錐體積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則圓錐內(nèi)接的圓柱上面的小圓錐的高為，
如圖易知,
即，
所以該圓錐的體積，則，
令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
時，取得最小值為，
故選：B.
8. 過雙曲線的右焦點的直線與雙曲線右支交于兩點，弦的垂直平分線交軸于點，若，則該雙曲線的離心率（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】設(shè)，弦的中點為，離心率為，則，同理.
由，兩式相減整理得，
所以弦的垂直平分線方程為，令，得，則，此時在的右側(cè)，因為，所以，
所以，，
由，得，所以.
故選：C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 的虛部是B.
C. D.
【答案】AB
【解析】，其虛部是A正確；
B正確；
C不正確；
D不正確，
故選：AB.
10. 已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則（ ）
A. 在上單調(diào)遞增
B. 有極大值
C. 的極小值點為
D. 只有一個零點
【答案】ABD
【解析】，恒成立，
與有相同的根，即的兩個實數(shù)根為，
，，即.，
由得或，，，A正確；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，
函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
在處取得極大值，在處取得極小值
，又當(dāng)時，，B正確，C不正確，D正確，
故選：ABD.
11. 甲、乙兩名乒乓球選手進(jìn)行乒乓球比賽，據(jù)以往的經(jīng)驗統(tǒng)計，甲每局獲勝的概率為，乙每局獲勝的概率是.比賽規(guī)則是前兩局都贏者獲得比賽勝利，若前兩局是，前兩局包含在內(nèi)且先贏三局者獲得比賽的勝利（比賽無平局），則（ ）
A. 甲獲勝的概率為
B. 兩人比賽4局結(jié)束的概率為
C. 在第三局甲贏的條件下乙贏得勝利的概率是
D. 在乙獲勝的條件下乙贏得第二局勝利的概率為
【答案】ABD
【解析】甲獲勝的概率為A正確；
兩人比賽4局結(jié)束的概率為B正確；
對于C，比賽進(jìn)入第三局，前兩局是平，則在第三局甲贏的條件下乙贏得勝利的概率為C不正確；
由A知，乙獲勝的概率為，在此條件下，乙贏得第二局勝利的概率為D正確，
故選：ABD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線與圓交于兩點，過分別作圓的切線，則這兩條切線夾角的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】當(dāng)直線過圓心時，兩條切線平行，所以夾角為0，
當(dāng)直線不過圓心時，如圖，設(shè)兩條切線交于點，則，
設(shè)點到直線的距離為，因為直線過點，所以
當(dāng)時，直線斜率不存在，不符合題意，
所以，則，，綜上，兩條切線夾角的取值范圍是.
故答案為：.
13. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且，試寫出一個滿足上述條件的的解析式：__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因為中間符號為“”，前后兩個代數(shù)式中間符號為“”，
所以類比兩角差余弦公式，
但，所以猜測的一個解析式為.
檢驗，，
所以，滿足題意，
又，滿足題意，
故的一個解析式為.
故答案為：（答案不唯一）.
14. 過拋物線的焦點且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點，若以為直徑的圓分別與軸切于點，且，則__________.
【答案】3
【解析】設(shè)，不妨令，拋物線的焦點，
，由直線的傾斜角為，得，
解得，又，則，于是，
由是以為直徑的圓與軸相切的切點，得點的縱坐標(biāo)為，同理點的縱坐標(biāo)為，
由，得，即，所以.
故答案為：3

四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，三個內(nèi)角的對邊分別為.
（1）若，求；
（2）若邊上高，求的周長.
解：（1）由余弦定理
得，
聯(lián)立，解得（舍）或，
由正弦定理得，得
解得.
（2）由題得的面積，
.
由余弦定理得，
，
，
的周長為.
16. 如圖，在體積為14的四棱臺中，底面是菱形，，分別是四邊形和四邊形對角線的交點，且平面.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
（1）證明：由已知得.
設(shè)，上底面的面積，下底面的面積
，解得，
，
，即.
平面平面，
又平面平面，
平面，且平面.
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則由（1）知，
.
設(shè)平面的法向量為，
則
令，則，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，則，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
平面與平面夾角的余弦值為.
17. 如圖，點是直線上的動點，以為圓心的圓過點，直線是圓在點處的切線，過作圓的兩條切線分別與交于點.
（1）求的值；
（2）設(shè)點的軌跡為曲線，，直線交曲線于兩點，且直線與直線交于兩點，證明：點在以為直徑的圓上.
解：（1）設(shè)，直線與圓切于點，所以，
則
.
（2）由（1）知點的軌跡為橢圓，
設(shè)該橢圓方程為，則，，
所以曲線的方程為.
當(dāng)直線軸時，不妨令，，
則，直線的方程為，，，
同理，所以，
所以點在以為直徑的圓上；
當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)，，直線的方程為，
代入中，整理得，
所以，，
直線方程為，即，
所以，同理，
又，
所以，
所以，所以點在以為直徑的圓上.
綜上所述，點在以為直徑的圓上.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；
（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）對任意，證明：.
（1）解：當(dāng)時，，
恒成立，
在上單調(diào)遞增，又，
的解集為.
（2）解：，
由得，
若，解得，此時恒成立，
在上單調(diào)遞增，；
若，解得或，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，由解得，
在上單調(diào)遞減，
不恒成立.
當(dāng)時，恒成立，實數(shù)的取值范圍是.
（3）證明：取，由（1）知，
當(dāng)時，，
，即.
故只需證明，
設(shè)，
，
在上單調(diào)遞增，
成立，
即成立.
19. 形如的方程叫不定方程，其中是方程中未知數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，則稱元有序數(shù)組為不定方程的解.給出不定方程，對于方程的一組正整數(shù)解，當(dāng)時，若，則稱正整數(shù)解為方程的極值的一組解.
（1）方程中有多少組極值的解；
（2）求的最小值；
（3）在的前提下，求時方程的極值的概率.
解：（1），
是極值時，中有三個337和三個338，
即有組極值解.
（2），
的方差.為常數(shù)，當(dāng)方差最小時最小.
當(dāng)時，不是整數(shù)舍去，
當(dāng)時，即是方程的1—極值的一組解時，方差最小，即最小，
此時.
（3）考慮是方程的1-極值的一組解時的一種情況，由（1）知有20組，
若化為2-極值，只需將個位中的一個7減去1，加到另一個7上，或是將個位中的一個8減去一個8上，即個位化為或是，
則方程的2.-極值的個數(shù)為.
3-極值是1-極值中的個個位7減去1，加到個8上；
或是一個7減去2，另兩個7各加1；
或是兩個8各減1加到另一個8上，
其個位形式為或是或是
或是或是.
其個數(shù)為，
在的前提下，時方程的極值的概率.

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