考生須知：
1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；
2．答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方．
3．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效．
4．考試結束后，只需上交答題卷．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知隨機變量，則（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根據正態(tài)分布的定義即可得解.
【詳解】因，所以.
故選：D.
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據指數(shù)函數(shù)單調性計算集合B，解一元二次不等式得出集合A，最后應用交集定義計算求解.
【詳解】因為集合，
則.
故選：C.
3. 在平面直角坐標系中，動點滿足方程，則動點軌跡離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據雙曲線的定義結合雙曲線的離心率公式即可得解.
【詳解】表示點到點和點的距離之差的絕對值等于，
又因為，
所以點是以點和點為焦點的雙曲線，
其中焦距，，
所以動點軌跡的離心率.
故選：C.
4. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】應用偶函數(shù)的定義列式結合對數(shù)運算計算求參.
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，所以且，
則.
故選：A.
5. 已知，則的最大值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由兩角和與差的正弦和余弦公式結合化簡，再由基本不等式即可得出答案.
【詳解】
，
當且僅當時取等
故選：B.
6. 對空間中的非零向量，記向量，與的夾角為，對，則的最大值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先找到6個滿足題設條件的向量，然后用反證法證明滿足題設條件的向量個數(shù)不能超過7.
【詳解】不妨設對空間中的非零向量都是單位向量，它們的起點都在坐標原點，
則終點在單位球面上，
當時，
對，滿足題設條件對，，
這說明的最大值不少于6.
下面證明不會超過6.
假設有7個以上的向量滿足條件，則存在7個以上的向量終點.
總可以找到一個大圓面，不經過任何一個終點，
于是這個大圓面的某一側必然有四個以上的終點，不妨設是這樣的四個點，
它們在某個大圓面的同一側，且使得所對應的任意兩個向量所成的角不小于直角.
將這些向量適當集中一下，可以使得它們兩兩變成直角而不改變在這個大圓的同一側的屬性，
這樣一來，這個向量所在的直線是兩兩垂直的，這是不可能的，
實際上過同一點兩兩垂直的直線至多有三條，
如果還有第四條的話，根據線面垂直的判定定理，必然會和原來三條中的任意兩條所確定的平面垂直，
則與第三條重合，這樣就產生了矛盾.
至此，我們證明了的最大值確實為6，
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵難點是用一個不經過任何一點的大圓面分割，借助于抽屜原理，以及適當變換而不改變基本屬性的思想轉化為在平面的同一側互相垂直的向量不超過三條的問題，最后利用線面垂直的判定定理進行推理論證得到矛盾.
7. 在四邊形中，已知，若，則的長度為（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】設分別為的中點，先證明兩點重合，則四邊形為平行四邊形，再分別將用表示，結合數(shù)量積的運算律即可得解.
【詳解】如圖，設分別為的中點，
則，
所以，
兩式相加得，①
同理可得，②
由①②得，③
因為為的中點，
所以，
則，④
而，則，⑤
由④⑤得，⑥
由③⑥可得，
即，
又因為，
所以，所以兩點重合，
所以互相平方，所以四邊形為平行四邊形，
則，
故，即，
所以，
因為，
所以，
所以，即.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，對任意，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據函數(shù)是奇函數(shù)及函數(shù)單調性，化簡不等式計算，應用函數(shù)最值求解.
【詳解】因為函數(shù)，定義域為R，
函數(shù)，所以函數(shù)是奇函數(shù)；
對任意，都有恒成立，
則，
所以，
化簡得
所以或，
所以或
令，單調遞減，單調遞增，
當時，；
當時，，當時，；
所以，
對任意，
所以.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是把恒成立問題轉化為最值問題結合函數(shù)單調性得出函數(shù)最值即可解題.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 在二項式的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，則下列結論中正確的是（ ）
A.
B. 展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128
C. 常數(shù)項為
D. 展開式中系數(shù)最大項為第3項和第4項
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出展開式的通項，根據題意可得，即可判斷A；根據二項式定理的性質即可判斷B；令的指數(shù)等于零，即可判斷C；理由不等式法即可判斷D.
【詳解】展開式的通項為，
則前3項的系數(shù)分別為，
對于A，由題意可得，
即，解得或（舍去），
所以，故A正確；
對于B，展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故B正確；
對于C，展開式的通項為，
令，則，
所以展開式中常數(shù)項為，故C錯誤；
對于D，設展開式中第項的系數(shù)最大項，
則有，解得或，
所以展開式中系數(shù)最大項為第3項和第4項，故D正確.
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)部分圖像如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A. 的圖像關于直線對稱
B. 的圖像關于點對稱
C. 將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像
D. 若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】AB
【解析】
【分析】根據圖像周期性求出，代入特殊點求，得到，對四個選項一一驗證，對于A、B，代入驗證即可；對于C，利用平移左加右減的規(guī)律即可求得平移后的函數(shù)，化簡進行比較；對于D，先判斷出單調性，求出最值，根據函數(shù)值的正負進行判斷.
【詳解】由題圖可得，，故，
所以，又，即，
所以，，又，所以，所以.
對于A：當時，，故A正確；
對于B：當時，，故B正確；
對于C：將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)，
，故C錯誤；
對于D：當時，，則當，單調遞減；當， 單調遞增，
因為，，，
所以方程在上有兩個不相等的實數(shù)根時，的取值范圍是，故D錯誤.
故選：AB.
11. 在棱長為2的正方體中，為面內以為直徑的半圓上的動點，則（ ）
A. 的最大值為
B. 與平面所成角的最大值的正弦值為
C. 的最小值為
D. 二面角的最小值的正切值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，再利用向量法對各個選項求解即可.
【詳解】如圖，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則，
設，
對于A，，
則，
所以的最大值為，故A正確；
對于B，因為軸垂直平面，
則平面的法向量可取，
所以
，
當且僅當，即時取等號，
所以與平面所成角的最大值的正弦值為，故B錯誤；
對于C，，
則，
所以的最小值為，故C正確；
對于D，因為軸垂直平面，
則平面的法向量可取，
，
設平面的法向量為，
則有，
令，則，
所以，
設二面角為，由圖可知為銳角，
則
，
所以，
則
，
當，即時，取得最小值，
所以二面角的最小值的正切值為，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：
（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；
（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知復數(shù)滿足，則的最小值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據復數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合即可得解.
【詳解】由復數(shù)的幾何意義可知，表示復數(shù)與對應點之間的距離，
所以復數(shù)對應的點是以為圓心為半徑的圓，如圖，
表示圓上的點到原點的距離，
由圖知，的最小值為.
故答案為：.
13. 已知點為拋物線的焦點，過的直線（傾斜角為銳角）與交于兩點（點在第一象限），交其準線于點，過點作準線的垂線，垂足為，若，則____________．
【答案】2
【解析】
【分析】先聯(lián)立方程計算求解的坐標，再求出所在直線斜率，可得的傾斜角，最后應用兩角和的正切公式計算即可．
【詳解】設所在直線方程為，
聯(lián)立，得．
設，準線交x軸于點M，則，
又，，即，
聯(lián)立 ，過的直線（傾斜角為銳角），解得（舍)或，
則，即，
設的傾斜角為，則，
由，， ，
可得；
故答案為：2．
14. 生活中經常會統(tǒng)計一列數(shù)據中出現(xiàn)不同數(shù)據的個數(shù)．設，對于有序數(shù)組，記為中所包含的不同整數(shù)的個數(shù)，比如：，．當取遍所有的個有序數(shù)組時，的總和為____________．
【答案】10505
【解析】
【分析】根據題意得數(shù)據中的整數(shù)個數(shù)可能有五種情況，分別進行討論即可得出結果.
【詳解】按的取值分類，
當時，有組，
當時，有組，
當時，有組，
當時，有組，
當時，有組，
所以總和為.
故答案為：10505..
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）化簡，并求的值；
（2）在銳角中，內角滿足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將函數(shù)中的切化弦，再分子分母同時乘以，利用二倍角公式及輔助角公式即可化簡，化簡后將代入解析式即可求得結果.
（2）將代入解析式，再由已知求出的取值范圍，即可求出的值，再利用湊角及兩角和差公式代入數(shù)值即可求得結果.
【小問1詳解】
，所以，
所以；
【小問2詳解】
因為，所以，所以，
又因且，所以，則，
因為，所以，
所以.
16. 在三棱錐中，，為的中點．
（1）求證：；
（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成的角．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作于，連接，根據，求出，利用勾股定理證明，再利用余弦定理求出，再利用勾股定理證明，即可證得平面，再根據線面垂直的性質即可得證；
（2）易得即為二面角的平面角，再證明平面，則即為直線與平面所成角的平面角，即可得解.
【小問1詳解】
作于，連接，
在中，，則，
所以，所以，
所以，
在中，，所以，則，
在中，，
又，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
【小問2詳解】
由（1）知，，，
則即為二面角的平面角，故，
又，則，
在中，，所以，
因為為的中點，所以，
則，所以，
又平面，
所以平面，
所以即為直線與平面所成角的平面角，又，
所以線與平面所成的角為．
17. 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；
（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導，再根據導數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）分，和三種情況討論，利用分離參數(shù)法求解即可.
【小問1詳解】
當時，，
則，則，
所以函數(shù)在點處的切線方程為，即；
【小問2詳解】
當時，恒成立，此時；
當時，問題轉化為對任意的恒成立，
令，則，
令，則，
因為，所以，則在上單調遞增，
又因，
故當時，則在上單調遞減；
當時，則在上單調遞增，
所以，所以；
當時，問題轉化為對任意的恒成立，
仿上設函數(shù)，則有，
因為，所以，則函數(shù)在上單調遞減，
所以，故當時，，
所以函數(shù)在上單調遞減，
所以，所以
綜上所述，的取值范圍為．
18. 已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點，過點作直線（不與軸重合）交橢圓于，連接交于點，連接，直線與軸交于點．
（i）求的值；
（ii）若點在線段上，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根據題意求出，即可得解；
（2）（i）設，記，分別將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出，再求出即可得解；
（ii）由（i）可得點為線段的中點，則，進一步有，再求出的范圍即可.
【小問1詳解】
由題意可得，解得，
所以橢圓的標準方程為；
【小問2詳解】
（i）設，記，
則直線，
聯(lián)立，消得，
則，故，
則，所以，
另一方面直線，
聯(lián)立，消得，
則，所以，
由于，得，
，
所以；
（ii）由（i）的結論可知，點為線段的中點，則，
不妨設都在軸上方，
進一步有，
由（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程得，
由韋達定理得，
則，
因為點在線段上，所以，
所以，
所以得取值范圍為.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
19. 對于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得從數(shù)列的第項起，恒有成立，則稱數(shù)列為第項起的周期為的周期數(shù)列．
（1）已知數(shù)列滿足，且，證明：3是的一個周期．
（2）已知數(shù)列（其中，不全為0），，證明：存在正整數(shù)，使得時，成立，并求出滿足條件的一個周期．
（3）已知數(shù)列，求證：不是周期數(shù)列．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析，；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）升次作差并因式分解得，則；
（2）分和討論即可得到對的自然數(shù)，恒有；
（3）利用反證法假設是周期數(shù)列，遞推得，再利用換元法得，則出現(xiàn)矛盾點，從而假設不成立.
【小問1詳解】
由于，①
，②
由②①得，，
即，
又，則，故3是的一個周期．
【小問2詳解】
由遞推和，，
得，，，．
（i）若，則，，，，．
（ii）若，則，，，，．
無論何種情況，都有，．
由遞推關系得，會逐漸進入循環(huán)，對的自然數(shù)，恒有．
故是的一個周期．
【小問3詳解】
假設是周期數(shù)列，則至少存在，，不妨設，使得．
由遞推關系得，
整理得．
再進一步得到，如此進行下去，最后得到．
設，則，得，但這不可能．
接下來證明：，．
設，，
則；
；
以此類推，得到，．
于是有，（）
若存在，不妨設，其中s，t都是非負整數(shù)，
則式（）經過s步倒推后，得到，則，得．
由于，得，
但經過遞推后得到都是有理數(shù)，兩者矛盾．
故，，假設不成立，故不是周期數(shù)列.
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是采用反證法 ，假設是周期數(shù)列，從而得到矛盾點，即證明不是周期數(shù)列.

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