注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需
改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1.設(shè)命題：對(duì)任意的等比數(shù)列也是等比數(shù)列，則命題的否定為（ ）
A.對(duì)任意的非等比數(shù)列是等比數(shù)列
B.對(duì)任意的等比數(shù)列不是等比數(shù)列
C.存在一個(gè)等比數(shù)列，使是等比數(shù)列
D.存在一個(gè)等比數(shù)列，使不是等比數(shù)列
2.已知（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
3.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
4.若函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢圓上，則的最小值為（ ）
A.6 B.12 C.16 D.18
5.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)向量若，則（ ）
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)的解析式可以為（ ）
A. B.
C. D.
7.已知分別是圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值為12，則的值為（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列對(duì)函數(shù)的判斷中，正確的有（ ）
A.函數(shù)為奇函數(shù)
B.函數(shù)的最大值為
C.函數(shù)的最小正周期為
D.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
10.甲?乙兩名同學(xué)分別從四門不同的選修課中隨機(jī)選修兩門.設(shè)事件“兩門選修課中，甲同學(xué)至少選修一門”，事件“乙同學(xué)一定不選修”，事件“甲?乙兩人所選選修課至多有一門相同”，事件“甲?乙兩人均選修”，則（ ）
A. B.
C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立
11.如圖，在平行六面體中，底面是正方形，為與的交點(diǎn)，則下列條件中能成為“”的必要條件有（ ）
A.四邊形是矩形
B.平面平面
C.平面平面
D.直線所成的角與直線所成的角相等
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若曲線在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn)，則__________.
13.已知圓臺(tái)的高為3，中截面（過高的中點(diǎn)且垂直于軸的截面）的半徑為3，若中截面將該圓臺(tái)的側(cè)面分成了面積比為1：2的兩部分，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為__________.
14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的中位數(shù)為__________..
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
16.（15分）
2024龍年春節(jié)期間哈爾濱旅游火出圈，“小土豆”等更成為流行詞，旅游過節(jié)已成為一種新時(shí)尚.等旅行社為了解某市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次是否有關(guān)，從該市隨機(jī)抽取了200位市民，通過調(diào)查得到如下表格：
單位：人
（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次是否有關(guān)聯(lián).
（2）從樣本中按比例分配選取10人，再隨機(jī)從中抽取4人做某項(xiàng)調(diào)查，記這4人中青年人愿意出游的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
17.（15分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求在區(qū)間上的最大值.
18.（15分）
如圖，在四棱錐中，平面，為的中點(diǎn).
（1）試判斷是否為正三角形，并給出證明；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.
19.（17分）
在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在圓上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作垂直于的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，且，記的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程.
（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，與曲線交于兩點(diǎn)，其中，且同向，直線交于點(diǎn).
（i）證明：點(diǎn)在一條確定的直線上，并求出該直線的方程；
（ii）當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，試把表示成的函數(shù).
2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一模擬考試
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
2024.4
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.D
【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以：存在一個(gè)等比數(shù)列，使不是等比數(shù)列.故選D.
2.B
【解析】由題意得，所以.故選B.
3.A
【解析】由題易得，所以.故選A.
另：角為第二象限角，，不妨令，則.故選A.
4.C
【解析】由題意得，函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選C.
5.C
【解析】由得，由正弦定理得.因?yàn)橹校?又，所以，即.故選C.
6.A
【解析】?jī)?nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增.故選A.
7.D
【解析】由題意知的最大值等于12，則圓與圓相內(nèi)切，所以.又，所以.故選D.
8.B
【解析】由題意可得，且，所以在中，由余弦定理得，.
因?yàn)?，所以，平方化?jiǎn)整理得，.又，所以，即，所以，得，則.故選B.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.BCD
【解析】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故選項(xiàng)A不正確.因?yàn)?，所以的最大值為，最小正周期為，函?shù)圖象的對(duì)稱軸為，故選項(xiàng)B，C，D正確.故選BCD.
10.AC
【解析】因?yàn)?，故選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤；因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確，錯(cuò)誤.故選AC.
11.ACD
【解析】在平行六面體中，由得，四邊形為矩形，選項(xiàng)正確；假設(shè)平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，與四邊形為正方形矛盾，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由四邊形是正方形，得，因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平面，選項(xiàng)正確；因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，又正方形中，是公共邊，所以，所以，又，所以分別為直線所成的角與直線，所成的角（或其補(bǔ)角），由，知選項(xiàng)D正確.故選.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.
【解析】因?yàn)?，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為.又切線過原點(diǎn)，則，所以.
13.5
【解析】設(shè)圓臺(tái)的上?下底面圓的半徑分別為，因?yàn)橹薪孛娴陌霃綖?，所以.又中截面將該圓臺(tái)的側(cè)面分成了面積比為的兩部分，所以，解得，所以.又圓臺(tái)的高為3，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為.
14.
【解析】由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
得，
兩式相減得，所以.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得.
又，
所以成首項(xiàng)為0?公差為1的等差數(shù)列，
所以，
所以的中位數(shù)為.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為.
由題可得，，
解得，
所以.
（2）證明：由（1）可得為正整數(shù)，
所以.
16.解：（1）零假設(shè)：該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次無(wú)關(guān).
依題意，得
單位：人
所以.
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.
（2）從樣本中按比例分配選取10人，則青年人愿意出游?青年人不愿意出游?老年人愿意出游?老年人不愿意出游的人數(shù)分別為，
再隨機(jī)從中抽取4人，青年人愿意出游的人數(shù)的所有可能取值為，且，
即的分布列為
所求數(shù)學(xué)期望為.
17.解：（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
解可得（舍去）或.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
函數(shù)的極大值為，沒有極小值.
（2）由題意得.
若，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為
若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；
若，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；
若，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為.
綜上，
18.解：（1）為正三角形.
證明如下：如圖，設(shè)，連接.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以四邊形均為菱形，所以，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫?
因?yàn)椋?br>所以平面，所以平面.
又平面，所以.
又易知為的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以，所以為正三角?
（2）由（1）知平面，所以為直線與平面所成的角，
所以，所以，所以.
因?yàn)榫鶠檎切危?，所以，所?
又，所以平面.
又，
所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.令，則，所以.
設(shè)平面的法向量為，則得
令，則，所以平面的一個(gè)法向量.
由平面，得是平面的一個(gè)法向量，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
19.（1）解：由題意得，.
設(shè)，則，化簡(jiǎn)整理得，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）（i）證明：設(shè)，
聯(lián)立整理得，則，得，
且，同理.
設(shè)的中點(diǎn)分別為，則，
由題意可知存在實(shí)數(shù)，使，
所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在定直線上.
（ii）解：由（i）得，，
同理，設(shè)的底邊上的高為，梯形的高為，則由相似比得，解得，
所以的面積.
又，所以.
整理得，所以，即.市民
春節(jié)旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
市民
春節(jié)旅游意愿
合計(jì)
愿意
不愿意
青年人
80
20
100
老年人
40
60
100
合計(jì)
120
80
200
0
1
2
3
4

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