呂梁市2024年高三年級(jí)第三次模擬考試
數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試卷和答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（ ）
A. B.
C. D.
3.設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)是的（ ）
A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn) 出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（ ）
A. B. C. D.
5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的可能值為（ ）
A.6 B.3.5 C.2.5 D.4.5
6.設(shè)，當(dāng)變化時(shí)的最小值為（ ）
A. B. C. D.
7.在四面體中，與互相垂直，，且，則四面體體積的最大值為（ ）
A.4 B.6 C.8 D.4.5
8.設(shè)函數(shù).若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（ ）
A.當(dāng)最大
B.使得成立的最小自然數(shù)
C.
D.中最小項(xiàng)為
10.已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，，以下結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.是公差為-1的等差數(shù)列
11.已知正方體的棱長(zhǎng)為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為
B.平面平面
C.若，則的最小值為
D.若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在的展開式中，的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）
13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，已知，則__________.
14.對(duì)任意閉區(qū)間I，用表示函數(shù)在I上的最大值，若正實(shí)數(shù)a滿足，則a的值為________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題13分）國(guó)家高度重視食品、藥品的安全工作，某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對(duì)本地的500家食品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行考核，通過隨機(jī)抽樣抽取其中的50家，統(tǒng)計(jì)其考核成績(jī)（單位：分），并制成如下頻率分布直方圖.
（1）求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）及中位數(shù)a（精確到0.01）；
（2）該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會(huì)，并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機(jī)抽取5家考核成績(jī)不低于88分的企業(yè)發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績(jī)?cè)诘钠髽I(yè)數(shù)為Y，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（3）若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績(jī)X服從正態(tài)分布，其中μ近似為50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù) ， 近似為樣本方差 ，經(jīng)計(jì)算得，利用該正態(tài)分布，估計(jì)該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績(jī)高于95.32分的有多少家？（結(jié)果保留整數(shù)）.
附參考數(shù)據(jù)與公式：，則，
16.（本小題15分）已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性
（2）若對(duì)任意的，倠恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.
17.（本小?15分）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面四的內(nèi)接正三角形，且的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線上，且，.
（1）求證：，并求三棱錐的體積；
（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
18.（本小題17分）如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若到左焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過動(dòng)點(diǎn)作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
19.（本小題17分）對(duì)于無窮數(shù)列，若對(duì)任意且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.
（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；
（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，
①若是“數(shù)列”，且，求所有可能的取值；
②若對(duì)任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列為“數(shù)列”.
數(shù)學(xué)參考答案
1.D
【詳解】因?yàn)?，則
則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在第四象限.故選：D.
2.B
【詳解】在中，取為基底，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
所以，
所以.
故選：B.
3.C
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>且，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增.
進(jìn)而可得在上單調(diào)遞增，，
故對(duì)任意實(shí)數(shù)是的充要條件，故選：C
4.C
5.B
【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足
所以，則，即.
令，
則.
所以函數(shù)的圖象與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
令，解得：；令，解得：，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.作出函數(shù)的圖象：又因?yàn)?，所?故選：B
6.C
【詳解】在上，在上，設(shè)到準(zhǔn)線做墼線交準(zhǔn)線于點(diǎn)軸于.
，
又為焦點(diǎn)到上點(diǎn)的最小值，故
，故選C.
7.A
【詳解】由題可知，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，所以，即，由橢圓定義可知，即，所以到中點(diǎn)距離的最大值為，所以中，
時(shí)的最大值為3
8.B
【詳解】函數(shù)，
依題意，對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)恒成立，
因此對(duì)恒成
立，
于是，顯然，否則且，矛盾，
則，顯然，否則且，矛盾，
從而，解得，
所以.故選：B.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.
9.BD
【詳解】根據(jù)題意：，即，兩式相加，
解得：，當(dāng)時(shí)，最大，故錯(cuò)誤
由，可得到，所以，
，所以，故C錯(cuò)誤；
由以上可得：，
，而，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使得成立的最大自然數(shù)，故B正確.當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
由，
所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：BD.
10.BCD
【詳解】設(shè)，
由于橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，所以，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.
根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：
所以，
由余弦定理得，
，
，B選項(xiàng)正確.
，C選項(xiàng)正確.
，
，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.
11.BCD
【詳解】對(duì)于，選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則
則
因?yàn)?br>所以，
故，則的取值范圍為，故A不正確；對(duì)于B，在正方體中，平面平面顯然成立.故B正確；對(duì)于C，如圖1，在上取點(diǎn)，使得，
在上取點(diǎn)，使得，則由，即，故點(diǎn)是線段上一點(diǎn).將平面沿展開至與平面共面，此時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)（如圖2），取得最小值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，又，可知是線段上一點(diǎn)，如圖3，連接并與交于點(diǎn).當(dāng)與重合時(shí)，平面與平面重合，此時(shí)截面面積為4.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)與重合時(shí)，截面為，此時(shí)截面面積最大，由三邊長(zhǎng)均為，故此時(shí)截面面積最大值為.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，如圖4，延長(zhǎng)異與交于點(diǎn)，作平行于并與交于點(diǎn)，則截面為等腰梯形，設(shè)，則，梯形的高，面積為.當(dāng)與重合時(shí)，截面為矩形，面積為.故平面截正方體所得截面面積的最大值為，故D正確，故選BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.15
13.
【詳解】由，可得，所以①，且，又可設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立得：，，
故，從而②，
結(jié)合①②可得從而.
故答案為：
14.或
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
由可得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，或.
若，則由可得，因，故無解；
若，則由可得，此時(shí)，即；
當(dāng)時(shí)，，
因區(qū)間的長(zhǎng)度至少為，故，
而顯然不成立，故舍去；
綜上，a的值為或.
故答案為：或.
四?解答題：本題共5小題，共77分.
15.解：（1）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)為：
由頻率分布直方圖得內(nèi)，
，
解得中位數(shù)（分）.
（2）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績(jī)不低于88分的企業(yè)有
家
其中考核成績(jī)?cè)趦?nèi)的企業(yè)有家，
由題意可知，的可能取值為，
，
的分布列為：
（3）由題意得，
（家）
估計(jì)該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績(jī)高于95.32分的有11家.
16.解：（1）的定義域?yàn)椋?br>令，
又，
，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增
，當(dāng)，即時(shí)，
令，解得
其中，當(dāng)時(shí)，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，
故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.
綜上：
在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以令在
，若恒成立，符合題意.
，當(dāng)恒成立，
令則，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，所以
，若，同理恒成立，由知，當(dāng)
所以不存在滿足條件的.
綜上所述：
法二：.
令，則只需在單調(diào)遞增，
即恒成立
，令，則恒成立；
又
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增成立；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，又，故不恒成立.不滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，由得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
因?yàn)楹愠闪?，所?br>解得
綜上，.
17.解：（1）設(shè)，連接，
為底面圓的內(nèi)接正三角形，
為中點(diǎn)，
又，
；
，
；
平面平面平面平面，
平面平面平面平面，
又面，
又面，又面，
所以
又平面，
平面平面平面；
為中點(diǎn)，，即，
又平面，平面，平面，
平面平面，
，
，
又平面，
.
（2）為中點(diǎn)，又，
為中點(diǎn)，，
，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
，
，
設(shè)，
；
設(shè)平面的法向量，
則
則
令，解得：，
設(shè)直線與平面所成角為，
，
令，則，
，
當(dāng)，
即時(shí)，，
，此時(shí)，
，
點(diǎn)到平面的距離.
18.解：（1）由題知，設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，
由得
又，得
又
，得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
則，即，
又因?yàn)椋?br>取，
所以，
所以切線的斜率，
所以切線方程為
由，可得，
假設(shè)，
所以切線方程為：，
即，
所以切線的方程為，
令得，令知：得，
，則直線，①
，則直線，②
由①②知：，
點(diǎn)的軌跡方程為，
即存在定點(diǎn)，使得為定值6.
19.解：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
對(duì)任意的，都有，
取，則，所以是“數(shù)列”.
（2）數(shù)列為等差數(shù)列，
①若是“數(shù)列”，且，
則，
對(duì)任意的，
，由題意存在，使得，
即，顯然，，
所以，即，
.所以是8的正約數(shù)，即，
時(shí)，時(shí)，；
時(shí)，時(shí)，.
綜上，的可能值為.
②若對(duì)任意，存在，使得成立，
所以存在，
設(shè)數(shù)列公差為，則，
可得，
對(duì)任意，
則，取，
可得，
所以數(shù)列是“數(shù)列”.0
1
2

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