一、選擇題
1．設(shè)命題p：對(duì)任意的等比數(shù)列，也是等比數(shù)列，則命題p的否定為( )
A.對(duì)任意的非等比數(shù)列，是等比數(shù)列
B.對(duì)任意的等比數(shù)列，不是等比數(shù)列
C.存在一個(gè)等比數(shù)列，使是等比數(shù)列
D.存在一個(gè)等比數(shù)列，使不是等比數(shù)列
2．已知(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)( )
A.B.C.D.
3．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則( )
A.B.C.D.
4．若函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢圓，上，則的最小值為( )
A.6B.12C.16D.18
5．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)向量，若，則( )
A.B.C.D.
6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)的解析式可以為( )
A.B.C.D.
7．已知A，B分別是圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值為12，則a的值為( )
A.0B.1C.2D.3
8．已知，分別為雙曲線，的左?右焦點(diǎn)，過作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列對(duì)函數(shù)的判斷中，正確的有( )
A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的最大值為
C.函數(shù)的最小正周期為D.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
10．甲?乙兩名同學(xué)分別從a，b，c，d四門不同的選修課中隨機(jī)選修兩門.設(shè)事件“a，b兩門選修課中，甲同學(xué)至少選修一門”，事件“乙同學(xué)一定不選修c”，事件“甲?乙兩人所選選修課至多有一門相同”，事件“甲?乙兩人均選修d”，則( )
A.B.C.X與Y相互獨(dú)立D.Z與W相互獨(dú)立
11．如圖，在平行六面體中，底面是正方形，O為與的交點(diǎn)，則下列條件中能成為“”的必要條件有( )
A.四邊形是矩形
B.平面平面
C.平面平面
D.直線，所成的角與直線，所成的角相等
三、填空題
12．若曲線在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn)，則__________.
13．已知圓臺(tái)的高為3，中截面(過高的中點(diǎn)且垂直于軸的截面)的半徑為3，若中截面將該圓臺(tái)的側(cè)面分成了面積比為1:2的兩部分，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為__________.
14．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，，，，的中位數(shù)為__________..
四、解答題
15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.
16．2024龍年春節(jié)期間哈爾濱旅游火出圈，“小土豆”等更成為流行詞，旅游過節(jié)已成為一種新時(shí)尚.等旅行社為了解某市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次是否有關(guān)，從該市隨機(jī)抽取了200位市民，通過調(diào)查得到如下表格：
單位：人
(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次是否有關(guān)聯(lián).
(2)從樣本中按比例分配選取10人，再隨機(jī)從中抽取4人做某項(xiàng)調(diào)查，記這4人中青年人愿意出游的人數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
17．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值.
18．如圖，在四棱錐中，平面，，，M為的中點(diǎn).
(1)試判斷是否為正三角形，并給出證明；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.
19．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)A在圓上，動(dòng)點(diǎn)B在直線上，過點(diǎn)B作垂直于的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)M，且，記M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程.
(2)若直線與曲線C交于D，E兩點(diǎn)，與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，其中，且，同向，直線，交于點(diǎn)G.
(i)證明：點(diǎn)G在一條確定的直線上，并求出該直線的方程；
(ii)當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，試把n表示成m的函數(shù).
參考答案
1．答案：D
解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以：存在一個(gè)等比數(shù)列，使不是等比數(shù)列.故選D.
2．答案：B
解析：由題意得，所以.故選B.
3．答案：A
解析：由題易得，所以.故選A.
另：角為第二象限角，，不妨令，則.故選A.
4．答案：C
解析：由題意得，函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故選C.
5．答案：C
解析：由得，由正弦定理得.因?yàn)橹校?又，所以，即.故選C.
6．答案：A
解析：內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增.故選A.
7．答案：D
解析：由題意知的最大值等于12，則圓與圓相內(nèi)切，所以.又，所以.故選D.
8．答案：B
解析：由題意可得，，且，所以在中，由余弦定理得，.
因?yàn)椋?，平方化?jiǎn)整理得，.又，所以，即，所以，得，則.故選B.
9．答案：BCD
解析：因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故選項(xiàng)A不正確.因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，最小正周期為，函?shù)圖象的對(duì)稱軸為，故選項(xiàng)B，C，D正確.故選BCD.
10．答案：AC
解析：因?yàn)椋?，，，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以X與Y相互獨(dú)立，Z與W不相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.
11．答案：ACD
解析：在平行六面體中，由得，四邊形為矩形，選項(xiàng)A正確；假設(shè)平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，與四邊形為正方形矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由四邊形是正方形，得，因?yàn)?，，所?又因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平面，選項(xiàng)C正確；因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又正方形中，，是公共邊，所以，所以，又，，所以，分別為直線，所成的角與直線，所成的角(或其補(bǔ)角)，由，知選項(xiàng)D正確.故選.
12．答案：e
解析：因?yàn)椋?，所以在點(diǎn)處的切線方程為.又切線過原點(diǎn)，則，所以.
13．答案：5
解析：設(shè)圓臺(tái)的上?下底面圓的半徑分別為r，R，因?yàn)橹薪孛娴陌霃綖?，所以.又中截面將該圓臺(tái)的側(cè)面分成了面積比為的兩部分，所以，解得，所以.又圓臺(tái)的高為3，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為.
14．答案：
解析：由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
得，
兩式相減得，所以.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得.
又，
所以，，，，成首項(xiàng)為0?公差為1的等差數(shù)列，
所以，
所以，，，，的中位數(shù)為.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為.
由題可得，，
解得，
所以.
(2)證明：由(1)可得，n為正整數(shù)，
所以.
16．答案：(1)有關(guān)聯(lián)
(2)分布列見解析，
解析：(1)零假設(shè)：該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次無關(guān).
依題意，得
單位：人
所以.
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.
(2)從樣本中按比例分配選取10人，則青年人愿意出游?青年人不愿意出游?老年人愿意出游?老年人不愿意出游的人數(shù)分別為4、1、2、3，
再隨機(jī)從中抽取4人，青年人愿意出游的人數(shù)X的所有可能取值為0、1、2、3、4，且，，，，，
即X的分布列為
所求數(shù)學(xué)期望為.
17．答案：(1) 函數(shù)的極大值為，沒有極小值
(2)
解析：(1)當(dāng)時(shí)，，，
則，
解可得(舍去)或.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
函數(shù)的極大值為，沒有極小值.
(2)由題意得，.
若，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為
若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；
若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；
若，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為.
綜上，
18．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)為正三角形.
證明如下：如圖，設(shè)，連接，.
因?yàn)椋?，M為的中點(diǎn)，所以四邊形，均為菱形，所以，，所以.
因?yàn)槠矫妫矫?，所?
因?yàn)椋?br>所以平面，所以平面.
又平面，所以.
又易知O為的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，所以為正三角?
(2)由(1)知平面，所以為直線與平面所成的角，
所以，所以，所以.
因?yàn)?，均為正三角形，所以，所以，所?
又，，所以平面.
又，
所以以O(shè)為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸?y軸?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.令，則，，，，所以，，.
設(shè)平面的法向量為，則得
令，則，，所以平面的一個(gè)法向量.
由平面，得是平面的一個(gè)法向量，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
19．答案：(1)
(2)(i)見解析
(ii)，
解析：(1)由題意得，.
設(shè)，則，化簡(jiǎn)整理得，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為.
(2)(i)證明：設(shè)，，，，
聯(lián)立整理得，則，得，
且，，同理，.
設(shè)，的中點(diǎn)分別為K，T，則，
由題意可知存在實(shí)數(shù)，使，
所以G，K，T三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G在定直線上.
(ii)解：由(i)得，，
同理，設(shè)的底邊上的高為h，梯形的高為，則由相似比得，解得，
所以的面積.
又，所以.
整理得，所以，即，.
市民
春節(jié)旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
市民
春節(jié)旅游意愿
合計(jì)
愿意
不愿意
青年人
80
20
100
老年人
40
60
100
合計(jì)
120
80
200
X
0
1
2
3
4
P

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