注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號?姓名?考場號?填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，
用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷
上無效.
3.考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷?答題卡一并收回.
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 已知隨機(jī)變量 ，若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望、方差列方程，從而求得 .
【詳解】根據(jù)分布列方差的性質(zhì)得： ，
依題意知， 滿足二項(xiàng)分布，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，或 （舍去）.
故選：D.
2. 已知平面向量 ，則 在 方向上的投影向量坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，則 ，
第 1頁/共 17頁
所以 在 方向上的投影向量坐標(biāo)為 .
故選：B.
3. 已知拋物線 與斜率為 的直線恰有一個(gè)公共點(diǎn) ，則點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于 0 即可求解.
【詳解】由題意知： ，設(shè)直線方程為 ,
聯(lián)立方程 ,消 x 得
直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)， 解得 ,
方程 可得公共點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 .
故選：B
4. 斗不僅是我國古代容量單位，還是量糧食的器具，其可近似看作正四棱臺，現(xiàn)制作一上底面的面積為 81
平方分米，側(cè)面積為 120 平方分米，側(cè)高為 5 分米的米斗，若斗面的厚度忽略不計(jì)，則該斗可以裝米（1 立
方分米 1 升）（ ）
A. 39 升 B. 156 升 C. 201 升 D. 210 升
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正棱臺的側(cè)面積及體積公式求解即得.
【詳解】設(shè)米斗的下底面邊長為 分米，高為 分米，
由上底面的面積為 81 平方分米，得上底面邊長為 9 分米，
由側(cè)面積為 120 平方分米，側(cè)高為 5 分米，得 平方分米，解得 ，
即該米斗的下底面邊長為 3 分米，因此 分米，
第 2頁/共 17頁
則該米斗的體積為 立方分米，
所以該斗可以裝米 156 升.
故選：B
5. 下列四個(gè)條件中，使 成立的充要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用賦值法易判斷 ABC，利用函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，可判斷 D.
【詳解】對于 A，由 ，得 ，
反之，當(dāng) 時(shí)，不能推出 ，
故 是 成立的充分不必要條件，故 A 錯(cuò)誤；
對于 B，當(dāng) 時(shí)， 不成立，故 不是 成立的充分條件，
反之，當(dāng) 時(shí)， 成立，故 是 成立的必要不充分條件，故 B 錯(cuò)誤；
對于 C，當(dāng) 時(shí)， 成立，但 不成立，所以 是 成立的不充分條件，
反之 ，滿足 成立，但 不成立，所以 是 成立的不必要條件，
所以 是 的既不充分也不必要條件，故 C 錯(cuò)誤；
對于 D，由 在 上單調(diào)遞增，可得 是 的充要條件，故 D 正確.
故選：D．
6. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如
1，3，6，10，15，…，我國宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一
形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，從上到下，頂上一層 1 個(gè)球，第二層 3 個(gè)
球，第三層 6 個(gè)球…），若一“落一形”三角錐垛有 20 層，則該錐垛第 18 層球的個(gè)數(shù)為（ ）
第 3頁/共 17頁
A. 190 B. 171 C. 153 D. 136
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及合情推理中的歸納推理，利用參考等差數(shù)列公式即可求解.
【詳解】設(shè)“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下的各層球的個(gè)數(shù)形成數(shù)列 ，
， ， ， ， ，…，
由此得 ，即 ，則 ，
所以若一“落一形”三角錐垛有 20 層，則該錐垛第 18 層球的個(gè)數(shù)為 171.
故選：B.
7. 已知函數(shù) ，若曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 ，則
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代點(diǎn)求解出 ，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對應(yīng)求解出 ，最后求解 .
【詳解】由已知 ， ，
故 ，
，
則切線斜率為 ，故 ，
所以 ．
故選：B.
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8. 設(shè)函數(shù) ，若對于任意的 ，都有 ，則 的最
小值為（ ）
A 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 可得 在 和 處取得最值，再由圖象性質(zhì)可得 的
最小值為半個(gè)周期即可.
【詳解】由題得函數(shù) 在 處取得最小值，在 處取得最大值，
則 的最小值為相鄰兩條對稱軸間的距離，
又最小正周期 ，
故 的最小值為 ．
故選：B
二?選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ， ，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到數(shù)列 是以為周期 3 的周期數(shù)列，根據(jù)周期性計(jì)算
可得.
【詳解】由 ， ，可得
，故 A 正確；B 錯(cuò)誤；
對于 C，由上可知，數(shù)列 是以 3 為周期的周期數(shù)列，
第 5頁/共 17頁
則 ，故 C 正確；
對于 D， ，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知復(fù)數(shù) （ 為虛數(shù)單位），則（ ）
A.
B. 的虛部為
C.
D. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
【答案】AC
【解析】
【分析】AB 選項(xiàng)，由共軛復(fù)數(shù)和虛部概念進(jìn)行判斷；C 選項(xiàng)，分別求出兩復(fù)數(shù)的模長，比較大小；D 選項(xiàng)，
利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出 ，得到對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行判斷.
【詳解】A 選項(xiàng)， ，故 ，A 正確；
B 選項(xiàng)， 的虛部為-2，B 錯(cuò)誤；
C 選項(xiàng)， ，故 ，C 正確；
D 選項(xiàng)， ，
故 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為 ，位于第二象限，D 錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 平行六面體 所有棱長都等于 1， ，如 圖，則有（
）
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A.
B.
C. 平面 平面
D. 平行六面體 的體積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于 A：可知： ，結(jié)合三角形的性質(zhì)分析判斷即可；對于 B：取 的中點(diǎn) ，
可證 平面 ，即可得結(jié)果；對于 C：可證 平面 ，即可得面面垂直，對于 D：可知：
三棱錐 為正三棱錐，結(jié)合正三棱錐的結(jié)果特征求高，即可得體積.
【詳解】對于選項(xiàng) A：由題意可知： ，
若 ，則 ，這與三角形性質(zhì)不符，
所以 ，故 A 錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng) B：取 的中點(diǎn) ，連接 ，
由題意可知： 均為正三角形，則 ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
又因?yàn)?平面 ，所以 ，故 B 正確；
第 7頁/共 17頁
對于選項(xiàng) C：設(shè) ，連接 ，
因?yàn)?為菱形，則 ，且 為 的中點(diǎn)，
又因?yàn)?均為正三角形，則 ，可得 ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
且 平面 ，所以平面 平面 ，
對于選項(xiàng) D：由題意可知：三棱錐 為正三棱錐，
可知頂點(diǎn) 在底面 的投影為正 的中心 ，
則 ，
所以平行六面體 的體積為 ，故 D 正確；
故選：BCD.
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 命題“ ”的否定是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題寫出答案即可．
【詳解】命題“ ”的否定是“ ”.
第 8頁/共 17頁
故答案為： .
13. 若數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 ，則通項(xiàng)公式 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用當(dāng) 時(shí)， ，求通項(xiàng)公式，并驗(yàn)證 n=1 時(shí)是否適合，可得答案.
【詳解】當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， 不適合上式，
∴ ，
故答案為: .
14. 數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同
一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知 的頂點(diǎn) ， ，其歐拉線方程為 ，
則 外接圓的半徑 ______________，頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，由歐拉線定義可得 AB 中垂線與其交點(diǎn)即為外心，然后由外心坐標(biāo)可得外接圓半徑；第二
空，設(shè) ，由重心坐標(biāo)公式及歐拉線方程可得縱坐標(biāo)，然后由外接圓半徑可得橫坐標(biāo).
【詳解】第一空，因 ， ，則 AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為 ， ，
則 AB 中垂線方程為： ，
則其與 交點(diǎn)為 ，即外心坐標(biāo)為 ，
則外接圓半徑 ；
第 9頁/共 17頁
第二空，設(shè) ，結(jié)合 ， ，可得重心坐標(biāo)為： ，
因其在 上，則 ，則 .又 ，外心坐標(biāo)為 ，
則 或 3（與 B 重合，舍去），則 .
故答案為： ；
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知 ，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，設(shè)動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為曲線 .
（1）求曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過點(diǎn) 且與曲線 相切的直線的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）設(shè) ，根據(jù) 得到方程，整理得到曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）曲線 是以 為圓心，1 為半徑的圓，當(dāng)斜率不存在時(shí)，滿足要求，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線
方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，求出答案.
【小問 1 詳解】
設(shè) ，則 ，
故 ，
化簡整理得 ，
故曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
【小問 2 詳解】
曲線 是以 為圓心，1 為半徑的圓，
當(dāng)過點(diǎn) 的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為 ，
此時(shí) 到 距離為 1，故 與圓 相切，滿足要求，
第 10頁/共 17頁
當(dāng)過點(diǎn) 的直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為 ，即 ，
圓心 到 的距離 ，
解得 ，故切線方程為 ，即 ，
綜上，過點(diǎn) 且與曲線 相切的直線方程為 或 .
16. 在 中，內(nèi)角 的對邊分別為 .已知 .
（1）求角 的大?。?br>（2）已知 .求 的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由兩角和的余弦公式化簡結(jié)合二倍角的余弦公式即可求出 的值，進(jìn)而可求角 ；
（2）由余弦定理可得 ，再利用三角形面積公式即可求出.
【小問 1 詳解】
因?yàn)?，
即 ，解得 或 .
因?yàn)樵?中， ，
第 11頁/共 17頁
所以 .
【小問 2 詳解】
在 中，由余弦定理 ，
得 ，
整理得 ，
由 ，解得 ，
所以 的面積為 .
17. 已知向量 ，若 分別表示一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為 )
先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求：
（1） 的概率；
（2） 的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出拋擲兩次骰子的所有基本事件個(gè)數(shù)，再求出事件 包含的基本事件個(gè)數(shù)，再由古
典概率概型公式計(jì)算可得答案；
（2）求出拋擲兩次骰子的所有基本事件個(gè)數(shù)，再求出事件 包含的基本事件個(gè)數(shù)，再由古典概率概
型公式計(jì)算可得答案.
【小問 1 詳解】
∵向量 ，
分別表示一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為 )
先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，
∴樣本點(diǎn)總數(shù) ，
第 12頁/共 17頁
∵ ，∴ ，
∴滿足 的樣本點(diǎn) 有 ，共 3 個(gè)，
∴ 的概率 ；
【小問 2 詳解】
先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的基本事件共 36 個(gè)，
∵ ，∴ ，
∴滿足 樣本點(diǎn) 有 ， ， ，
， ，
，共 27 個(gè)，
∴ 的概率 .
18. 如圖，在五棱錐 中，已知 底面 ， ，
， .
（1）證明：平面 平面 ；
（2）求側(cè)面 與側(cè)面 所成二面角的余弦值.
【答案】（1）證明過程見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由平面垂直得到 ， 兩邊平方得到 ，
，故 ⊥ ，利用空間向量運(yùn)算法則得到 ，所以 ，故 ⊥ ，
第 13頁/共 17頁
得到線面垂直，故平面 平面 ；
（2）先計(jì)算出 ，由余弦定理得 ，從而建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出
兩平面的法向量，利用法向量夾角公式計(jì)算出兩平面的夾角余弦值.
【小問 1 詳解】
因?yàn)?底面 ， 平面 ，
所以 ，
兩邊平方得 ，
即 ，
其中 ，
故 ，解得 ， ，
故 ⊥ ，
其中
，
所以 ，
又 ⊥ ，故 ⊥ ，
又 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
【小問 2 詳解】
連接 ，
，
兩邊平方得 ，
故 ，
在 中，由余弦定理得 ，
第 14頁/共 17頁
故 ，
過點(diǎn) 作 ⊥ ，交 延長線于點(diǎn) ，
則 ，故 ，
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以 ，
則 ，
，
設(shè)平面 的法向量為 ，
則 ，
令 ，則 ，故 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
則 ，
解得 ，令 ，則 ，故 ，
設(shè)側(cè)面 與側(cè)面 所成角為 ，
則 ，
第 15頁/共 17頁
側(cè)面 與側(cè)面 所成角的余弦值為
19. 設(shè)函數(shù) ．
（1）當(dāng) 時(shí)，證明： ．
（2）當(dāng) 時(shí)，證明： ．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）當(dāng) 時(shí)，代入函數(shù)并對函數(shù) 進(jìn)行求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)得出導(dǎo)函數(shù) 在
上單調(diào)遞增函數(shù)，再討論 正負(fù)即可求得函數(shù) 的最小值為 ，從而得證；
（2）對函數(shù) 進(jìn)行求導(dǎo)，得 在 上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可得存在
，使得 ，從而可得 的最小值為 ，再結(jié)合基本不等式即可證明.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)， ，定義域?yàn)?．
，構(gòu)造函數(shù) ，
則 ， ，
第 16頁/共 17頁
所以 在 上單調(diào)遞增，又 ，
所以當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增．
所以 ，故 ．
【小問 2 詳解】
，當(dāng) 時(shí)，易知 在 上單調(diào)遞增，
，
所以存在 ，使得 ，即 ．
當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增．
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等，此時(shí) ，滿足 ．故原不等式得證．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在第二小問證明導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)后，由于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不易求出，故需要找出
兩個(gè)值分別代入，證明導(dǎo)函數(shù) 的值有正有負(fù)，方可設(shè)而不求，此處計(jì)算較難．屬于較難題.
第 17頁/共 17頁

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