數(shù)學(xué)
時(shí)量：120分鐘 分值：150分
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．設(shè)集合，，且，則（ ）
A．6B．4C．D．
2．已知，則（ ）.
A．B．C．2D．1
3．已知的圖象與直線在區(qū)間上存在兩個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，曲線的對(duì)稱軸為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．函數(shù)的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
5．若平面單位向量，，滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫(huà)像磚等發(fā)展而來(lái)，明清時(shí)代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門(mén)窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個(gè)梅花磚雕，其正面是一個(gè)扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對(duì)的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（ ）

A．B．C．D．
7．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且，若點(diǎn)在拋物線上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．已知，直線，且，則（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F、G分別在棱、、上，滿足，，記平面與平面的交線為，則（ ）
A．存在使得平面截正方體所得截面圖形為四邊形
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐體積為
C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為
D．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角的正弦值為
11．已知函數(shù)，的定義域均為，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．已知，且，若的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中的系數(shù)為 .
13．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).若以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓在x軸上方的部分恰好是圖像的一部分，則的解析式為 .
14．如圖，對(duì)于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角，使得對(duì)于曲線G上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)恒有成立，則稱角為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”.已知曲線C：（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為，則 .
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）
15．某校組織了科技展參觀活動(dòng)，學(xué)生自愿參觀，事后學(xué)校進(jìn)行了一次問(wèn)卷調(diào)查，分別抽取男、女生各40人作為樣本．據(jù)統(tǒng)計(jì)：男生參觀科技展的概率為，參觀科技展的學(xué)生中女生占．
(1)根據(jù)已知條件，填寫(xiě)下列列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生參觀科技展情況與性別是否有關(guān)．
(2)用分層隨機(jī)抽樣的方式從參觀科技展的人中抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取6人，用隨機(jī)變量表示女生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式和數(shù)據(jù)：，其中．
16．在中，角，的對(duì)邊分別為，的面積為，．
(1)求角．
(2)若的面積為，，為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
17．如圖（1），在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．將沿折起到的位置，使，如圖（2）．
(1)求證：．
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，說(shuō)明理由．
18．費(fèi)馬原理，也稱為時(shí)間最短原理：光傳播的路徑是光程取極值的路徑．在凸透鏡成像中，根據(jù)費(fèi)馬原理可以推出光線經(jīng)凸透鏡至像點(diǎn)的總光程為定值（光程為光在某介質(zhì)中傳播的路程與該介質(zhì)折射率的乘積）．一般而言，空氣的折射率約為1．如圖是折射率為2的某平凸透鏡的縱截面圖，其中平凸透鏡的平面圓直徑為6，且與軸交于點(diǎn)．平行于軸的平行光束從左向右照向該平凸透鏡，所有光線經(jīng)折射后全部匯聚在點(diǎn)2,0處并在此成像．（提示：光線從平凸透鏡的平面進(jìn)入時(shí)不發(fā)生折射）

(1)設(shè)該平凸透鏡縱截面中的曲線為曲線，試判斷屬于哪一種圓錐曲線，并求出其相應(yīng)的解析式．
(2)設(shè)曲線為解析式同的完整圓錐曲線，直線與交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)不與的頂點(diǎn)重合）．若，，試求出點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)．
19．已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．
(2)若的極大值為，求的取值范圍．
(3)當(dāng)時(shí)，求證：．
參觀科技展
未參觀科技展
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
0．1
0．05
0．025
0．01
0．001
2．706
3．841
5．024
6．635
10．828
1．D
【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.
【詳解】，，
∵，∴，∴，
故選：D.
2．C
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的模的公司及即可得解.
【詳解】由，得，
則，所以.
故選：C.
3．D
【分析】先根據(jù)條件求出的取值范圍，再求出對(duì)稱軸.
【詳解】當(dāng)時(shí)，
要使得的圖象與直線存在兩個(gè)交點(diǎn)，
則，解得，
又因?yàn)?，所以，所以?br>此時(shí)曲線的對(duì)稱軸為，，
解得，，
故選：D
4．C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，
對(duì)任意，，
所以，
所以的定義域?yàn)椋?br>，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定義域?yàn)椋?br>又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，
則，，
所以，排除A選項(xiàng).
故選：C
5．A
【分析】先根據(jù)題意確定，得到，再根據(jù)進(jìn)行求解，或在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)出，，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解．
【詳解】解：法一 由，，得，
所以，
所以，故選：A．
法二 由題意可設(shè)，，（），
則，得，
又，則，故，
所以．
故選：A
6．C
【分析】先求出，，進(jìn)而求得梅花磚雕的側(cè)面積及扇環(huán)的面積可得該梅花磚雕的表面積.
【詳解】
延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．由，，得，．
因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角為直角，所以，．
所以該梅花磚雕的側(cè)面積，
扇環(huán)的面積為，
則該梅花磚雕的表面積．
故選：C．
7．A
【分析】設(shè)，，從而得到，利用拋物線的定義得到，解得，根據(jù)題意可知點(diǎn)在直線上，故將的最小值轉(zhuǎn)化為求與平行的切線與直線之間的距離.
【詳解】設(shè)，由的中點(diǎn)為，得，
由拋物線的定義可得，
又，所以，故拋物線的方程為．
易知點(diǎn)在直線上，
設(shè)與平行且與拋物線相切的直線方程為，
由，可得，
則，得，
則切線與直線之間的距離即的最小值，故的最小值為．
故選：A
8．D
【分析】求出數(shù)列的通項(xiàng)，再分奇偶求出半探討其范圍，并建立關(guān)于的不等式求解即得.
【詳解】由，得數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，則，
于是，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因此，
由不等式恒成立，得，即，解得，
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意：（1）抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；（2）將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原項(xiàng)相等．
9．ABD
【分析】利用，找到，結(jié)合基本不等式及不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】，且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確．
故選：ABD.
10．BD
【分析】對(duì)于，對(duì)分情況討論，圖形展示即可；
對(duì)于， 當(dāng)時(shí)，，得出平面 ，利用等體積可求體積；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球心在過(guò)線段EG的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線上，可求出，得表面積；
對(duì)于，求出的方向向量與平面法向量，利用向量公式可得答案.
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，以為原點(diǎn)，以、、所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，在點(diǎn)，，由可知，所以截面即為四邊形；由圖形知，截面為五邊形或六邊形．故A錯(cuò)誤．

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以平面，，又平面，
所以，三棱錐體積為，故B正確．
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，且平面，
所以根據(jù)球的性質(zhì)容易判斷，三棱錐的外接球的球心在過(guò)線段的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線上，
，，所以的中點(diǎn)，可記球心，，
外接球的半徑，解得，，
所以三棱錐的外接球表面積為，故C錯(cuò)誤．
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，，，
所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，，所以可取，
由平面知，平面的法向量為，
記平面與平面的交線的一個(gè)方向向量為，
則，令，則，，所以可取，
又平面的法向量為
，則，，，設(shè)與平面所成的角為，
則，故D正確．
故選：BD．
11．ABD
【分析】根據(jù)題意分析可知為偶函數(shù)，，且的周期為8，利用賦值法結(jié)合題意逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】已知函數(shù)，的定義域均為，
因?yàn)椋?br>可得，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，
可得，即為偶函數(shù)，
則，即，
可得，
所以，可知的周期為8.
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?br>令，則，，
可得，，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>令，可得，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，
則，
令，可得，
又因?yàn)椋?br>令，則，，
可得，可得，
但由題設(shè)條件無(wú)法推出，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈闹芷跒?，故，故D正確；
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．
12．6
【分析】根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)公式及存在常數(shù)項(xiàng)確定，再求出展開(kāi)式中含的項(xiàng)即可得解.
【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
因?yàn)榇嬖诔?shù)項(xiàng)，所以，故只有當(dāng)時(shí)滿足題意，
即求展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)，
令 ，即，
所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，
所以展開(kāi)式中的系數(shù)為6.
故答案為：6
13．
【分析】求出給定圓的方程，再根據(jù)給定條件結(jié)合奇函數(shù)的定義求出的解析式.
【詳解】以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的方程為，
則該圓在x軸上方的部分的方程為，
由是奇函數(shù)，得，當(dāng)時(shí)，，
，
所以的解析式為.
故答案為：
14．1
【分析】求過(guò)原點(diǎn)曲線的兩條切線，求解兩切線的夾角即可.
【詳解】函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以該函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
過(guò)原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，
由，則切線的斜率為，
直線過(guò)，
∴，∴，
即，由函數(shù)與的圖象在有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
且當(dāng)時(shí)滿足方程，故方程有唯一解，則；
過(guò)原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，
由，得切線的斜率，
則切線過(guò)原點(diǎn)，
則有，∴，
則，則有，
∴兩切線垂直，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為，
則，.
故答案為：1.
15．(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，與性別有關(guān)
(2)分布列見(jiàn)解析，
【分析】（1）根據(jù)概率可完善二聯(lián)表，即可根據(jù)卡方公式計(jì)算，與臨界值比較即可求解，
（2）根據(jù)分層抽樣可得抽男生8人，女生4人，即可利用超幾何分布的概率公式求解概率，由期望公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槟猩鷧⒂^科技展的概率為，所以參觀科技展的男生人數(shù)為．
因?yàn)閰⒂^科技展的學(xué)生中女生占，所以參觀科技展的人數(shù)為．
則參觀科技展的女生人數(shù)為．
結(jié)合男、女生各有40人，填寫(xiě)列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：學(xué)生參觀科技展情況與性別無(wú)關(guān)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到
．
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生參觀科技展情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．
（2）用分層隨機(jī)抽樣的方式從參觀科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，
所以的可能取值為0，1，2，3，4，
則，，
，，．
所以的分布列為
所以．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角形面積公式求解角即可.
（2）利用余弦定理得到，再結(jié)合向量中線定理轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】（1）由題意得
，
由正弦定理，得，即，
所以．又，所以．
（2）因?yàn)榈拿娣e為，
所以，所以．
因?yàn)?，所以?br>即，所以．
因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以，
所以，
所以，所以的長(zhǎng)為．
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，
【分析】（1）先利用線線垂直推導(dǎo)線面垂直，得平面，即得；同法再證平面，得；則得平面，故；
（2）根據(jù)題設(shè)條件和（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，由求得，再分別求得兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式求解即得.
【詳解】（1）依題意可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以．
又，，，平面，所以平面．
又平面，所以．
依題意可知，，，，平面，
所以平面．
又平面，所以．
因?yàn)?，，平面，所以平面?br>又平面，所以．
（2）
由題意，得，，
由（1），所以．
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，則，，，，．
所以，，．
設(shè)，即，
則，．
若存在點(diǎn)，使得，則，
解得，則．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得，，
所以平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得，，
所以平面的一個(gè)法向量為．
所以．
由圖可知，二面角為銳角，
故二面角的余弦值為．
18．(1)為雙曲線的一部分，解析式為
(2)或
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)光線經(jīng)凸透鏡至像點(diǎn)的總光程為定值建立等量關(guān)系，簡(jiǎn)、整理即可得解；
（2）設(shè)出，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，的坐標(biāo)，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入的方程，得到兩個(gè)方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及建立方程，解方程即可
【詳解】（1）設(shè)上任意一點(diǎn)，，光線從點(diǎn)至點(diǎn)2,0的光程為，光線穿過(guò)凸透鏡后從點(diǎn)折射到點(diǎn)2,0的光程為，
則，，
由題意得，得，化簡(jiǎn)得，
，．令，得，
為雙曲線的一部分，解析式為．
（2）由題意知．
設(shè)，，，，
則，，，
，，，
易知，，得，，
即，．
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，
化簡(jiǎn)整理得．
同理可得，
與為方程的兩個(gè)解，
．
由題知，，解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)可能為2,0或.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系， 關(guān)鍵是將向量坐標(biāo)化，并將點(diǎn)代入曲線得到關(guān)于k的二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解.
19．(1)，單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，即可與對(duì)比可得，即可利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性，
（2）求導(dǎo)得，即可對(duì)分類討論求解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解單調(diào)性，
（3）將不等式變形為只需要證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求證，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)分別證明，即可求證，進(jìn)而可求解.
【詳解】（1）由題意，得，所以．
因?yàn)榍€在處的切線方程為，
又，所以，所以．
所以．
令，得；令，得．
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）由題意得．
當(dāng)時(shí)，令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)只有極小值，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，令，得，．
因?yàn)榈臉O大值為，所以，解得．
綜上，的取值范圍為．
（3）當(dāng)時(shí)，．
要證，即證，
只需證．
先證：，．
設(shè)，，則．
設(shè)，，則．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以．
再證：，，即證．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以．
設(shè)，，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以．所以，即．
綜上，得證．
故．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
參觀科技展
未參觀科技展
合計(jì)
男生
32
8
40
女生
16
24
40
合計(jì)
48
32
80
0
1
2
3
4

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